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Diskriminante

An der Diskriminante kann man ablesen, wie viele Lösungen die quadratische Gleichung besitzt: Für D>0D>0 gibt es zwei, für D=0D=0 eine und für D<0D<0 keine Lösung.

Die Diskriminante D einer quadratischen Gleichung ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0 ist definiert durch:

Die Diskriminante stellt den in der Mitternachtsformel unter der Wurzel stehenden Term dar:

Zusammenhang zwischen Diskriminante und Nullstellen

Vorzeichen der Diskriminante

D < 0D\ <\ 0

D = 0D\ =\ 0

D > 0D\ >\ 0

Anzahl der Lösungen der Mitternachtsformel

keine Lösung, da keine negative Zahl unter der Wurzel sein darf

eine Lösung, da die Wurzel in der Mitternachtsformel 0 wird

zwei Lösungen wegen Plus und Minus in der Mitternachtsformel

Anzahl der Nullstellen

keine Nullstelle

eine doppelte Nullstelle

zwei einfache Nullstelle

Beispiel

f(x)=x2+2a=1,b=0,c=2D=02412=8<0f(x)=x^2+2 \\ \Rightarrow a=1, b=0, c=2\\ \Rightarrow D=0^2-4 \cdot 1 \cdot 2=-8<0

f(x)=x24x+4a=1,b=4,c=4D=(4)2414=0f(x)=x^2-4x+4 \\ \Rightarrow a=1,b=-4,c=4 \\ \Rightarrow D=\left(-4\right)^2-4\cdot1\cdot4=0

f(x)=x2+1a=1,b=0,c=1D=024(1)1=4>0f(x)=-x^2+1 \\ \Rightarrow a=-1,b=0,c=1 \\ \Rightarrow D=0^2-4\cdot\left(-1\right)\cdot1=4>0

Graph

Zusammenhang von Diskriminante und Schnittstellen zweier Funktionen

Das Wissen über den Zusammenhang von Diskriminante und Nullstellen kann man nun benutzen, um Aussagen über die Existenz von Schnittpunkten von Funktionen zu machen:

Zur Berechnung der Schnittpunkte setzt man die zwei betreffenden Funktionen ff und gg gleich: f(x)=g(x)f(x)=g(x)

Dies ist gleichbedeutend mit der Aussage fg=0f-g=0. Daraus folgt nun, dass, falls der Ausdruck fgf-g eine quadratische Funktion ist, die Diskriminante von fgf-g die Aussage liefert, ob und wie viele Schnittpunkte existieren.

Vorzeichen der Diskriminante von fgf-g

-

00

++

Beispiel

g(x)=x21f(x)g(x)=x2+1(x21)=2x2+22x2+2=0D=02422=8g(x)=-x^2-1 \\ f(x)-g(x)=x^2+1 - \left(-x^2-1 \right)=2x^2+2 \\ 2x^2+2=0 \\ D=0^2-4 \cdot 2 \cdot 2=-8

f(x)=x2+1g(x)=x2+1f(x)g(x)=x2+1(x2+1)=2x22x2=0D=02420=0f(x)=x^2+1 \\ g(x)=-x^2+1 \\ f(x)-g(x)=x^2+1 - \left(-x^2+1 \right)=2x^2 \\ 2x^2=0 \\ D=0^2-4 \cdot 2 \cdot 0=0

f(x)=x2g(x)=x2+2f(x)g(x)=x2(x2+2)=2x222x22=0D=0242(2)=16f(x)=x^2 \\ g(x)=-x^2+2 \\ f(x)-g(x)=x^2 - \left(-x^2+2 \right)=2x^2-2 \\ 2x^2-2=0 \\ D=0^2-4 \cdot 2 \cdot (-2)=16

Schnittpunkte

Kein Schnittpunkt

Ein Schnittpunkt bei 0,1

zwei Schnittpunkte: nach Rechnung erhält man (1,1)(-1{,}1) und (1,1)(1{,}1)

Graph

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