Satz von Vieta

Der Satz von Vieta bietet eine Möglichkeit, das Raten von Lösungen einer quadratischen Gleichung zu erleichtern (vor allem, wenn diese ganzzahlig sind). Er besagt, dass bei einer Gleichung der Form:

die beiden Lösungen x1x_1 und x2x_2 folgende Bedingungen erfüllen:

 

Außerdem sind zwei Zahlen, die diese Bedingungen erfüllen, automatisch Lösungen der Gleichung.

Damit beschränkt sich die Suche nach Nullstellen auf Teiler von q, und zur Überprüfung muss man nur noch eine Summe ausrechnen, anstatt jedesmal Werte in die Gleichung einzusetzen, was man bei sturem Raten machen müsste.

Vieta für allgemeine quadratische Gleichungen

Ist eine Gleichung in der Form ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0 gegeben, dann kann man aa ausklammern und Vieta auf die Klammer anwenden.

Denn wenn die Klammer 0 ist, dann ist auch a0=0a\cdot0=0 und damit die ganze quadratische Gleichung 0.

 

Vorgehensweise am Beispiel

Zu lösen ist die Gleichung  x2x6=0x^2-x-6=0 .

Wir haben also q=6q=-6 und p=(1)=1-p=-\left(-1\right)=1

Nach dem Satz von Vieta muss für die Lösungen x1x2=6x_1\cdot x_2=-6 und x1+x2=1x_1+x_2=1 gelten

Wenn die Lösung ganzzahlig ist, dann gibt es wegen der ersten Bedingung genau folgende Möglichkeiten für die Nullstellen (Vertauschungen sind nicht extra aufgeführt):

1

-6

-5

nicht relevant

-1

6

5

nicht relevant

2

-3

-1

nicht relevant

-2

3

1

-6

In der dritten Spalte wird überprüft, ob die Summe der beiden Variablen den gewünschten Wert hat. Das ist  bei x1=2x_1=-2 und x2=3x_2=3 der Fall. Stimmt die Gleichung q=x1x2q=x_1\cdot x_2 in der vierten Spalte ebenfalls, hat man die Lösungen gefunden, was man durch Einsetzen noch bestätigen kann:


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