Kurvendiskussion

Definitionsbereich

$D_f=ℝ$

Kritische Funktionen (Bruch, Wurzel, Logarithmus) überprüfen

Grenzwerte

$${\displaystyle \underset{x\to \pm \infty }{\lim }f(x)}$$

$${\displaystyle \underset{x\to \pm \infty }{\lim }2x^2+x^4=\infty }$$

Überlegen, was die Funktion an den Rändern ihres Definitionsbereichs macht

Asymptoten

nicht vorhanden

• Waagrechte bei endlichen Grenzwerten im Unendlichen

• Senkrechte bei nicht hebbaren Definitionslücken

• Schräge bei Brüchen mit Zählergrad = Nennergrad + 1

Nullstellen

$f\left(x\right)=0$

$\begin{array}{l}2x^2+x^4=0\\ \iff \\ x=0\end{array}$

Überprüfen, wann die Funktion $0$ wird.

Symmetrieverhalten

$\begin{array}{l}f(-x)\stackrel{?}{=}f\left(x\right)\\ f(-x)\stackrel{?}{=}-f\left(x\right)\end{array}$

$2{(-x)}^2+{(-x)}^4=2x^2+x^4$

Achsensymmetrisch

zur y-Achse

Mit den Formeln überprüfen, ob der Funktionsgraph ein Symmetriezentrum (Punkt, Achse) hat.

Monotonieverhalten

$f^{\prime }\left(x\right)\gtrless 0$

$f^{\prime }(x)=4x+4x^3$

$f^{\prime }(x)>0\iff x>0$

$f^{\prime }(x)<0\iff x<0$

steigend für $x>0$

fallend für $x<0$

Das Vorzeichen der ersten Ableitung gibt an, ob die Funktion steigt (+) oder fällt (-).

Extrempunkte

$f^{\prime }(x)=0$

$f^{\prime \prime }\left(x\right)\gtrless 0$

$\begin{array}{l}{f}^{\prime }\left(x\right)=4x+4x^3\\ f^{\prime \prime }\left(x\right)=4+12x^2\\ f^{\prime }\left(x\right)=0\iff x=0\\ f^{\prime \prime }\left(0\right)=4\end{array}$

Minimum bei $x=0$

• Wenn die erste Ableitung $0$ ist, ist der Graph weder steigend noch fallend. Er besitzt eine waagerechte Tangente.

• Ist der Graph an dieser Stelle linksgekrümmt, dann ist das Extremum ein Minimum, bei Rechtskrümmung ein Maximum.

Krümmungsverhalten

$f^{\prime \prime }\left(x\right)\gtrless 0$

$\begin{array}{l}{f}^{\prime \prime }\left(x\right)=4+12x^2\\ f^{\prime \prime }\left(x\right)>0\forall x\in D_f\end{array}$

immer linksgekrümmt

Das Vorzeichen der zweiten Ableitung gibt an, ob die Funktion linksgekrümmt (+) oder rechtsgekrümmt (-) ist.

Wendepunkte

$f^{\prime \prime }\left(x\right)=0$

$4+12x^2>0\forall x\in D_f$

keine Wendepunkte

Wenn die zweite Ableitung $0$ ist, ist der Graph an dieser Stelle nicht gekrümmt und der Graph "wendet".

Terrassenpunkte

$\begin{array}{l}{f}^{\prime }\left(x\right)=0\\ f^{\prime \prime }\left(x\right)=0\\ f^{\prime \prime \prime }\left(x\right)\ne 0\end{array}$

Wenn am Wendepunkt zusätzlich eine waagerechte Tangente liegt, handelt es sich um einen Terrassenpunkt.

Wertebereich

$\begin{array}{l}\text{max}\left\{f\left(x\right)\right\}\\ \text{min}\left\{f\left(x\right)\right\}\end{array}$

$\begin{array}{l}\text{max}\left\{f\left(x\right)\right\}\to \infty \\ \text{min}\left\{f\left(x\right)\right\}=0\end{array}$

Über Extrema und Grenzwerte die Grenzen des Wertebereichs bestimmen.

Tangenten

$g(x)=mx+b$

Eine Steigungstangente an den Graphen legen.

Stammfunktion

${\int }_{}^{}f\left(x\right)dx$

${\int }_{}^{}2x^2+x^{4}dx=\frac{2}{3}{x}^3+\frac{1}{5}{x}^5+C$

Über Integration die Stammfunktion finden.

Fläche unter dem Funktionsgraphen

$${\displaystyle {\int }_a^{b}f\left(x\right)dx}$$

${\int }_a^{b}2x^2+x^{4}dx=\frac{2}{3}{b}^3+\frac{1}{5}{b}^5-(\frac{2}{3}{a}^3+\frac{1}{5}{a}^5)$

Über ein bestimmtes Integral die Fläche unter dem Funktionsgraphen zwischen zwei Werten berechnen.