Kurvendiskussion

Definitionsbereich

$D_f=\mathbb{R}$

Kritische Funktionen (Bruch, Wurzel, Logarithmus) überprüfen

Grenzwerte

$\displaystyle\lim _{x\rightarrow \pm \infty }f(x)$

$\displaystyle\lim _{x\rightarrow \pm \infty }2x^2+x^4=\infty$

Überlegen, was die Funktion an den Rändern ihres Definitionsbereichs macht

Asymptoten

nicht vorhanden

• Waagrechte bei endlichen Grenzwerten im Unendlichen

• Senkrechte bei nicht hebbaren Definitionslücken

• Schräge bei Brüchen mit Zählergrad = Nennergrad + 1

Nullstellen

$f\left(x\right)=0$

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}2x^2+x^4=0\\\Leftrightarrow\\x=0\end{array}$

Überprüfen, wann die Funktion $0$ wird.

Symmetrieverhalten

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}f\left(-x\right)\overset?=f\left(x\right)\\f\left(-x\right)\overset?=-f\left(x\right)\end{array}$

$2\left(-x\right)^2+\left(-x\right)^4=2x^2+x^4$

Achensymmetrisch zur y-Achse

Mit den Formeln überprüfen, ob der Funktionsgraph ein Symmetriezentrum (Punkt, Achse) hat.

Monotonieverhalten

$f'\left(x\right) \gtrless 0$

$f'(x)=4x+4x^3$

$f'(x)>0 ⇔ x>0$

$f'(x)<0\ ⇔\ x<0$

steigend für $x>0$

fallend für $x<0$

Das Vorzeichen der ersten Ableitung gibt an, ob die Funktion steigt (+) oder fällt (-).

Extrempunkte

$f'(x)=0$

$f''\left(x\right) \gtrless 0$

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}f'\left(x\right)=4x+4x^3\\f''\left(x\right)=4+12x^2\\f'\left(x\right)=0\;\Leftrightarrow\;x=0\\f''\left(0\right)=4\end{array}$

Minimum bei $x=0$

• Wenn die erste Ableitung $0$ ist, ist der Graph weder steigend noch fallend. Er besitzt eine waagerechte Tangente.

• Ist der Graph an dieser Stelle linksgekrümmt, dann ist das Extremum ein Minimum, bei Rechtskrümmung ein Maximum.

Krümmungsverhalten

$f''\left(x\right) \gtrless 0$

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}f''\left(x\right)=4+12x^2\\f''\left(x\right)>0\;\forall\;x\;\in\;D_f\end{array}$

immer linksgekrümmt

Das Vorzeichen der zweiten Ableitung gibt an, ob die Funktion linksgekrümmt (+) oder rechtsgekrümmt (-) ist.

Wendepunkte

$f''\left(x\right)=0$

$4+12x^2>0\;\forall x\in D_f$

keine Wendepunkte

Wenn die zweite Ableitung $0$ ist, ist der Graph an dieser Stelle nicht gekrümmt und der Graph "wendet".

Terrassenpunkte

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}f'\left(x\right)=0\\f''\left(x\right)=0\\f'''\left(x\right)\neq0\end{array}$

Wenn am Wendepunkt zusätzlich eine waagerechte Tangente liegt, handelt es sich um einen Terrassenpunkt.

Wertebereich

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}\text{max}\left\{f\left(x\right)\right\}\\\text{min}\left\{f\left(x\right)\right\}\end{array}$

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}\text{max}\left\{f\left(x\right)\right\}\rightarrow\infty\\\text{min}\left\{f\left(x\right)\right\}=0\end{array}$

Über Extrema und Grenzwerte die Grenzen des Wertebereichs bestimmen.

Tangenten

$g(x)=mx+b$

Eine Steigungstangente an den Graphen legen.

Stammfunktion

$\int _{ }^{ }f\left(x\right)dx$

$\int _{ }^{ }2x^2+x^4dx=\frac{2}{3}x^3+\frac{1}{5}x^5+C$

Über Integration die Stammfunktion finden.

Fläche unter dem Funktionsgraphen

$\int _a^bf\left(x\right)dx$

$\int _a^b2x^2+x^4dx=\frac{2}{3}b^3+\frac{1}{5}b^5-\left(\frac{2}{3}a^3+\frac{1}{5}a^5\right)$

Über ein bestimmtes Integral die Fläche unter dem Funktionsgraphen zwischen zwei Werten berechnen.