Stammfunktion finden

Im Gegensatz zum Ableiten, für das sehr allgemeine Regeln existieren, kann sich das Integrieren als sehr schwer gestalten; es gibt sogar Funktionen, die keine explizite Stammfunktion besitzen (z. B. $\sf f(x)=e^{x^2}$).

Es gilt aber: Findet man eine Funktion $\sf F$, deren Ableitung gleich $\sf f$ ist, so ist $\sf F$ eine Stammfunktion von $\sf f$. Das heißt, wir können problemlos alle Funktionen integrieren, von denen wir wissen, dass sie die Ableitung einer Funktion sind, die wir kennen.

Wir wissen zum Beispiel, dass die Ableitung des natürlichen Logarithmus die Funktion $\sf \dfrac1x$ ist. Also gilt $\sf \int\dfrac1x{dx}=\ln(x)+C$.

Sieht man einer Funktion nicht auf diesem Weg direkt ihre Stammfunktion an, so kann man versuchen, mit Integrationsmethoden wie der partiellen Integration, der Substitution oder der Partialbruchzerlegung zu integrieren.

Man beachte dabei auch die Rechenregeln des Integrals.

Wichtige Stammfunktionen

Weitere (in der Schule nicht gebräuchliche) Stammfunktionen

Integrationsmethoden

Ist von einer Funktion nicht direkt die Stammfunktion ersichtlich (bekannt), lässt diese sich in manchen Fällen dennoch mit einer der folgenden Methoden bestimmen.

Partielle Integration

Substitution

Logarithmische Integration (Sonderfall der Substitution)

Partialbruchzerlegung

Stammfunktionen finden durch Probieren

Falls die oberen Methoden nicht funktionieren, kann man versuchen, selbst eine Stammfunktion zu finden. Durch Ableiten kann man überprüfen, ob die Funktion eine Stammfunktion ist und sie eventuell ergänzen, bis das Ergebnis stimmt.

Beispielaufgaben