Stammfunktion finden

Eine Stammfunktion F(x)F\left(x\right) einer Funktion f(x)f\left(x\right) ergibt abgeleitet wieder die ursprüngliche Funktion f(x)f\left(x\right).

Das unbestimmte Integral f(x)dx\int_{ }^{ }f(x)dx ergibt alle Stammfunktionen der Funktion f(x)f\left(x\right).

Um es zu lösen, kannst du auf Integraltabellen, die Rechenregeln für Integrale und fortgeschrittene Integrationsmethoden wie beispielsweise die partielle Integration und Substitution zurückgreifen.

Häufig vorkommende Stammfunktionen kannst du dir aus Integraltabellen merken.

Wichtige Stammfunktionen

Funktionsart

Stammfunktion von ff

konstante Funktion

Potenzfunktion

f(x)=kxnf(x)=kx^n mit kR;nR\{1}k \in\mathbb{R}; n\in\mathbb{R}\backslash\{-1\}

Hyperbel

e-Funktion

ln-Funktion

Sinus

Kosinus

Weitere (in der Schule nicht gebräuchliche) Stammfunktionen

Funktion ff

Stammfunktion von ff

f(x)=axf(x)=a^x mit aR+{1}a \in \mathbb{R}^+ \setminus \{1\}

Weitere Stammfunktionen kannst du ausführlicheren Integraltabellen entnehmen.

Hinweis: Eine Funktion hat nicht nur eine, sondern unendlich viele Stammfunktionen. Dies wird durch die Konstante CC verdeutlicht. So ist beispielsweise

zwar eine Stammfunktion von f(x)=sin(x)f\left(x\right)=\sin\left(x\right), aber genauso ist auch

eine weitere Stammfunktion. Mehr Erläuterungen findest du im Artikel zu Stammfunktionen.

Beispiele

Wir suchen die Stammfunktion der Funktion f(x)=sin(x)f\left(x\right)=\sin\left(x\right).

Lösung:

F(x)=cos(x)+CF\left(x\right)=-\cos\left(x\right)+C

Wir wollen die Stammfunktionen der Funktion f(x)=6x4f\left(x\right)=6x^4 finden.

Lösung:

F(x)=65x5+CF\left(x\right)=\frac{6}{5}x^5+C

Verknüpfungen von Integralen

Summenregel

Steht eine Summe oder Differenz von Funktionen im Integral, darfst du gliedweise integrieren.

Beispiel 1

x2+xdx\int_{ }^{ }x^2+xdx

Der Integrand ist x2+xx^2+x. Er besteht also aus zwei Funktionen x2x^2 und xx, die durch ein Plus verknüpft sind. Daher darfst du dieses Integral in zwei einzelne Integrale aufsplitten und anschließend einzeln integrieren. Hierfür kannst du die Regeln aus den oberen Tabellen verwenden.

x2+xdx=x2dx+xdx\int_{ }^{ }x^2+xdx=\int_{ }^{ }x^2dx+\int_{ }^{ }xdx

Beispiel 2

cos(x)sin(x)dx\int_{ }^{ }\cos(x)-\sin(x)dx

Auch dieses Integral darfst du auf zwei Integrale aufteilen, weil der Integrand eine Differenz aus zwei Funktionen ist.

cos(x)sin(x)dx=cos(x)dxsin(x)dx\int{\cos(x)-\sin(x) dx}=\int{\cos(x)dx}-\int{\sin(x)dx}

Vorsicht!

exx2dx\int{e^x \cdot x^2 dx}

Dieses Integral darfst du hingegen nicht zu exdxx2dx\int{e^x dx}\cdot \int{x^2 dx} aufsplitten, weil der Integrand ein Produkt zweier Funktionen ist und keine Summe.

Faktorregel

Konstante Faktoren cRc \in \R bleiben bei der Integration erhalten:

cf(x)dx=cf(x)dx\int{c \cdot f(x) dx}=c \cdot \int{f(x) dx}

Beispiel

3sin(x)dx\int_{ }^{ }3\sin(x)dx

Der Integrand f(x)=3sin(x)f(x)=3\sin(x) besteht aus sin(x)\sin(x), der mit dem konstanten Faktor 33 multipliziert wird. Weil die 33 eine reelle Zahl ist, dürfen wir sie vor das Integral ziehen. Die Stammfunktion von sin(x)\sin(x) kannst du der oberen Tabelle entnehmen.

3sin(x)dx=3sin(x)dx\int_{ }^{ }3\sin(x)dx=3\int_{ }^{ }\sin(x)dx

Vorsicht!

3xcos(x)dx\int{3x \cdot \cos(x) dx}

Hier wird die Funktion cos(x)\cos(x) mit 3x3x multipliziert. 3x3x ist kein konstanter Vorfaktor. Deshalb darfst du nicht schreiben: 3xcos(x)dx3x \cdot \int{\cos(x) dx}.

Beispiele

Wir wollen das unbestimmte Integral 5xdx\int_{ }^{ }\frac{5}{x}dx berechnen.

Lösung:

5xdx=5lnx+C\int_{ }^{ }\frac{5}{x}dx=5\cdot\ln|x|+C

Berechne das unbestimmte Integral 3x4x2dx\int_{ }^{ }3x^4-x^2dx

3x4x2dx=35x513x3+C\int_{ }^{ }3x^4-x^2dx=\frac{3}{5}x^5-\frac{1}{3}x^3+C

Nutzung von bekannten Ableitungen

Es gilt: Findet man eine Funktion FF, deren Ableitung gleich ff ist, so ist FF eine Stammfunktion von ff.

Wir überlegen uns also als ersten Schritt, ob die Funktion ff die Ableitung irgendeiner Funktion ist, die wir kennen. Denn dann können wir uns zunutze machen, dass die Ableitung der Stammfunktion immer die Funktion selbst ergibt: F(x)=f(x)F'(x)=f(x)

Geschicktes Raten

Außerdem kannst du versuchen, die gesuchte Stammfunktion FF der Funktion ff geschickt zu erraten. Zur Überprüfung deiner Vermutung, leitest du die Stammfunktion ab - entspricht die Ableitung der Funktion ff war deine Vermutung richtig. Ansonsten kannst du die Vermutung ergänzen, bis das Ergebnis stimmt.

Fortgeschrittene Integrationsmethoden

Des Weiteren stehen fortgeschrittene, in der Schule selten benötigte, Integrationsmethoden wie die partielle Integration, die Substitution oder die Partialbruchzerlegung zur Verfügung. Mit diesen lassen sich auch kompliziertere Integrale oft lösen.

Partielle Integration

Die partielle Integration ist das Analogon zur Produktregel beim Ableiten . Mit ihr kann man also Funktionen integrieren, die sich als Produkt von zwei Faktoren u(x)u\left(x\right) und v(x) v'\left(x\right)\ schreiben lassen.

Mit der obenstehenden Formel kann das Integral umgeformt werden, sodass nun die Ableitung von u(x)u\left(x\right), sowie die Aufleitung von v(x)v'\left(x\right) im "neuen" Integral stehen. Zielführend ist die partielle Integration daher nur dann, wenn sich u(x)u\left(x\right) beim Ableiten und v(x)v'\left(x\right) beim Aufleiten vereinfachen. Mehr Informationen findest du in dem Artikel zur partiellen Integration.

Substitution

Mit der Integration durch Substitution lassen sich verkettete Funktionen integrieren, also Funktionen, die sich in eine innere und äußere Funktion aufteilen lassen. Die Kettenregel beim Ableiten bildet die Grundlage der Integration durch Substitution.

Ein Beispiel hierfür wäre f(x)=sin(2x)f\left(x\right)=\sin\left(2x\right). In diesem Fall ersetzt man die innere Funktion 2x2x durch die Substitutionsvariable uu, also u=2xu=2x. Um auch das Differential dxdx an die neue Variable uu anzupassen, leitet man uu nach xx ab: dudx=2\frac{du}{dx}=2. Nun löst man diesen Bruch nach dxdx auf, also dx=12dudx=\frac{1}{2}du und ersetzt im Integral dxdx hierdurch. Anschließend kann ganz "normal" integriert und zum Schluss rücksubstituiert werden. Mehr Informationen findest du im Artikel zur Integration durch Substitution.

Bemerkung

Wir behandeln dudx\frac{du}{dx} so, als wäre es ein Bruch (z.B. weil wir nach dxdx auflösen), obwohl es sich hierbei um die sogenannte Leibniz-Notation der Ableitung - also einfach eine andere Schreibweise der Ableitung - handelt.

Der Missbrauch dieser Notation als Bruch ist mathematisch nicht einwandfrei, sondern dient allein als Merkregel zur Veranschaulichung der Rechenschritte. Es lässt sich allerdings vielfach beweisen, dass die eigentlich inkorrekte Rechnung mit dudx\frac{du}{dx} als Bruch dennoch die richtigen Ergebnisse liefert.

Logarithmische Integration

Die logarithmische Integration ist ein Sonderfall der Substitution. Steht im Integranden ein Bruch mit einer Funktion f(x)f\left(x\right) im Nenner und deren Ableitung f(x)f'\left(x\right) im Zähler, ist die gesuchte Stammfunktion lnf(x)\ln|f\left(x\right)|.

Beispiel

2x3x23x+5dx\displaystyle \int_{ }^{ }\frac{2x-3}{x^2-3x+5}dx==lnf(x)\displaystyle \ln|f(x)|

Genaueres findest du ebenfalls im Artikel zur Integration durch Substitution.

Partialbruchzerlegung

Eine weitere Möglichkeit zur Integration gebrochen rationaler Funktionen stellt die Partialbruchzerlegung dar. Hierbei wird die Funktion in mehrere Brüche mit leichter zu integrierenden Nennern aufgesplittet, sodass anschließend jeder Bruch einzeln integriert werden kann.

Beispiel

17x2+22x66x3+17x211x+2dx=12x1dx+13x1dx+2x2dx\int{\frac{-17x^2 + 22x - 6}{-6x^3 + 17x^2 - 11x + 2}dx}=\int{\frac{1}{2x-1}dx}+\int{\frac{1}{3x-1}dx}+\int{\frac{2}{x-2}dx}

Genauere Erklärungen findest du im Artikel zur Partialbruchzerlegung.

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