Das Integral

Notation und Bezeichnungen

Anschauliche Erklärung

Herleitung 

Gegeben sei eine stetige Abbildung $f$, die auf dem Intervall $[a,b]$ definiert ist. Man möchte die Fläche zwischen $f$ und der $x$-Koordinate auf dem Intervall $[a,b]$ bestimmen. Man erhält eine grobe Näherung der Fläche, wenn man das betrachtete Intervall in mehrere Teilintervalle zerlegt. In jedem dieser Teilintervalle lässt sich die Funktion durch ein Rechteck annähern.

Bei der Obersumme bzw. Untersumme wählt man den größten bzw. den kleinsten Funktionswert des betrachteten Teilintervalls als höchsten Punkt des Rechtecks.

Das Integral lässt sich als Grenzwert von Ober- bzw. Untersummen auffassen.

Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung   

Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung (HDI) oder auch Fundamentalsatz der Analysis stellt einen Zusammenhang zwischen Ableitung und Integration dar.

Integral berechnen     

Um den Wert eines Integrals zu berechnen, bildet man eine Stammfunktion und wertet diese an den Stellen $a$ und $b$, des betrachteten Intervalls $\left[\mathrm a,\mathrm b\right]$ aus. Der gesuchte Wert ist dann $F(b)-F(a)$.

Beispiele

• $\int_0^{3{,}5}x \mathrm{d}x=[\frac{1}{2}x^2]_0^{3{,}5}=\frac{1}{2} \cdot 3{,}5^2 - 0 = 6{,}125.$

• $\int_2^6 - \frac{1}{2}x \mathrm{d}x=[-\frac{1}{4}x^2]_2^6=-\frac{1}{4} \cdot 6^2 - (- \frac{1}{4} \cdot 2^2)=-9+1=-8.$

• $\int_0^{3\pi}\sin\left(x\right)\mathrm{d}x\\=\int_0^\pi\sin\left(x\right)\mathrm dx+\int_\pi^{2\pi}\sin\left(x\right)\mathrm dx+\int_{2\pi}^{3\pi}\sin\left(x\right)\mathrm dx\\=[-\cos(x)]_0^{\pi}+[-\cos(x)]_{\pi}^{2\pi}+[-\cos(x)]_{2\pi}^{3\pi}\\=2-2+2=2$

Diese Rechnungen sind also mit den Beispielen aus dem Abschnitt "Anschauliche Erklärung" konsistent (wobei beim dritten Beispiel die Additivitätseigenschaft benutzt wurde, siehe unten).

Rechenregeln

Von Flächen und Funktionen weißt du vielleicht schon, dass du sie addieren und subtrahieren kannst. Hier sind ein paar wichtige Rechenregeln von Integralen aufgelistet.

Obere Grenze = Untere Grenze

Beispiel:

$\int_ 2^2 x\;\mathrm{d}x\;=\left[\frac12x^2\right]_2^2=\frac12\cdot2^2-\frac12\cdot2^2=0$

Umkehren der Grenzen

Beispiel:

$\int_ 2^31\;\mathrm{d}x=\left[x\right]^3_ 2=3-2=1$

und $-\int_ 3^21\;\mathrm{d}x=-\left[x\right]^2_3=-\left(2-3\right)=1$

Additivitätseigenschaft

Beispiel:

$\int_ 1^2x^2\;\mathrm{d}x+\int_ 2^4x^2\;\mathrm{d}x\\=\left[\frac13x^3\right]_ 1^2+\left[\frac13x^3\right]_2^4\\=\left[\frac83-\frac13\right]+\left[\frac{64}3-\frac83\right]\\=\frac{63}3\\=21$

$\int_ 1^4x^2\;\mathrm{d}x\\=\left[\frac13x^3\right]_1^4\\=\frac{64}3-\frac13\\=\frac{63}3\\=21$

Erste Linearitätseigenschaft

Beispiel:

$\int_ 1^23x\;\mathrm{d}x=\left[\frac32x^2\right]_ 1^2=\frac32\cdot4-\frac32\cdot1=\frac92$

$3\int_ 1^2x\;\mathrm{d}x=3\cdot\left[\frac12x^2\right]_1^2=3\cdot\left[\frac42-\frac12\right]=3\cdot\frac32=\frac92$

Zweite Linearitätseigenschaft

Beispiel:

$\int_ 1^3\left(x-1\right)\;\mathrm{d}x=\left[\frac12\left(x-1\right)^2\right]_ 1^3=\frac12\cdot4-\frac12\cdot0=2$

$\int_ 1^3x\;\mathrm{d}x-\int_ 1^31\;\mathrm{d}x=\left[\frac12x^2\right]_ 1^3-\left[x\right]_1^3=\left[\frac92-\frac12\right]-\left[3-1\right]=4-2=2$

Monotonieeigenschaft

Beispiel:

Für alle  $x\in\left[0;1\right]$ gilt:$\;x^2\leq x$ $\Rightarrow$

Also: 

Punktsymmetrische Funktionen

Beispiel:

$f\left(x\right)=x$ ist eine zum Ursprung punktsymmetrische Funktion. Da $f(-x)=-x=-f(x)$

Achsensymmetrische Funktionen

Beispiel:

$f\left(x\right)=x^2$ ist eine zur $y$-Achse achsensymmetrische Funktion.

$\int_{-1}^1x^2\mathrm dx\\=\left[\frac13x^3\right]_ {-1}^1\\=\left[\frac131^3-\frac13({-1})^3\right]\\=\left[\frac131^3+\frac131^3\right]\\=2\left[\frac13x^3\right]_ 0^1\\=2\cdot\int_0^1 x^2\mathrm dx$

Betrag eines Integrals

Beispiel:

Gegeben ist $f(x) = \sin(x)$.

Wegen der Punktsymmetrie von $\sin(x)$ gilt:

und aufgrund der Additivität folgt:

mit Auflösen des Betrags folgt:

$\int_ {-\pi}^0-\sin(x)\mathrm dx+\int_ 0^\pi\sin(x)\mathrm dx\\=\int_ {-\pi}^0\left|\sin(x)\right|\;\mathrm dx\;+\int_ 0^\pi\left|\sin(x)\right|\;\mathrm dx$

$=\int_ 0^\pi\sin(x)\;\;\mathrm dx\;+\int_ 0^\pi\sin(x)\;\mathrm dx\\=2\int_0^\pi \sin(x)\;\mathrm dx$.

Bilde die Stammfunktion:

$2\int_0^\pi \sin(x)\;\mathrm dx\;\\=\;2[-\cos(\pi)+\cos(0)]\;\\=\;2(1+1)\\=\;4$

Also ist $\left|\int_ {-\pi}^\pi \sin(x)\mathrm dx\right|=0\leq\;4=\int_{-\pi}^{\pi}\left| \sin(x)\right|\;\mathrm dx$ erfüllt.

Wichtige Begriffe

Bestimmtes und unbestimmtes Integral  

Das unbestimmte Integral besitzt im Vergleich zum bestimmten Integral keine Grenzen.   

Bei einem bestimmten Integral berechnet man den Flächeninhalt zwischen dem Graphen einer Funktion und der $x$-Achse. Als Lösung bekommt man eine Zahl.

Bei einem unbestimmten Integral erhält man als Lösung eine Funktion, eine sogenannte Stammfunktion.

Integralfunktion

Integralfunktionen sind Funktionen der Form $F(x)=\int_a^xf(t)\mathrm dt$.

Uneigentliche Integrale   

Das uneigentliche Integral ist definiert durch:

$\int_a^\infty f(x)\mathrm dx:=\lim_{b\rightarrow\infty}\int_a^b f(x)\mathrm dx$ und

$\int_{-\infty}^bf(x)\mathrm dx:=\lim_{a\rightarrow-\infty}\int_a^bf(x)\mathrm dx$