Ober- und Untersumme

Bei der Untersumme wählt man entsprechend den minimalen Funktionswert.

Die rechte Abbildung zeigt die gleiche Fläche, wie oben. Das Intervall $[0;5]$ wurde in $5$ Teilintervalle der Länge $1$ zerteilt und die Obersumme gebildet. Die berechnete Fläche wird also etwas größer sein als die tatsächliche Fläche.

Man bezeichnet die Länge der Teilintervalle als Feinheit der Zerlegung. Feinheit $0{,}5$ bedeutet beispielsweise, dass jedes Intervall die Länge $0{,}5$ hat (natürlich in x-Richtung).

Je kleiner man die Länge der Teilintervalle wählt, desto genauer ist die Approximation.

Die rechte Abbildung zeigt die Untersumme der Funktion von oben, diesmal mit einer Feinheit von $0{,}5$.

Man kann beweisen, dass sich sowohl Ober- als auch Untersumme für eine Feinheit, die gegen $0$ läuft, dem exakten Flächeninhalt annähern. Diesen Grenzwert definiert man als Integral.

In Formeln bedeutet das für die Obersumme $O(\mu)$ und die Untersumme $U(\mu)$, wobei $\mu$ die Feinheit ist, und das Intervall $\left[a,b\right]$ betrachtet wird, dass:

Video zur Unter- und Obersumme

Die Ungenauigkeit dieser Berechnung

Im unteren Applet kannst du von verschiedenen Funktionen im Intervall $\left[0{,}6\right]$ die Obersumme berechnen lassen. Am Schieberegler lässt sich die Feinheit einstellen und darunter wird der exakte Wert mit dem Wert der Obersumme verglichen.

Die Ungenauigkeit der Obersumme kann je nach Funktion beliebig klein oder groß sein.

Beispielaufgabe

Berechne die Obersumme von $f(x)=x$ über dem Intervall $[0;1]$ mit Feinheit $1$ und gib die Abweichung von $\int_0^1x\mathrm{d}x$ an. Für welche Feinheit ist der Unterschied kleiner als $0{,}0001$?

Lösungsskizze

Wenn Feinheit und vorgegebene Intervalllänge übereinstimmen, erhält man ein einziges Teilintervall, dessen Länge der Länge des Ausgangsintervalls entspricht.

Hier ergibt sich das Intervall $[0;1]$ als Teilintervall der Länge $1$. Aus der Monotonie der Funktion erhält man, dass an der Stelle $x_0=1$ der maximale Funktionswert $f(x_0)=1$ des Intervalls angenommen wird.

Für die Obersumme gilt somit: $O(1)=x_0 \cdot f(x_0)=1 \cdot 1=1$.

Für das Integral gilt hingegen: $\int_0^1x\mathrm{d}x=\lbrack\frac{x^2}2\rbrack_0^1=\frac{1}2-0=\frac{1}2$.

Somit ergibt sich eine absolute Abweichung von $1-\frac{1}2=\frac{1}2$.

Zur Berechnung der Feinheit:

Sei $\mu(n)=\frac{1}n$ für $n\in\mathbb{N}$ die Feinheit der Zerlegung. Somit ist die Länge aller Teilintervalle $\frac{1}n$. Dann nimmt die Funktion am rechten Rand eines jeden Teilintervalls ihren maximalen Funktionswert auf dem Teilintervall an. Somit gilt für die Obersumme: $O(n)=\overset n{\underset{i=1}{\frac1n\cdot\sum\frac in}}=\frac1{n^2}\cdot\sum_{i=1}^ni=\frac1{n^2}\cdot\frac{n\cdot(n+1)}2=\frac{n+1}{2n}$.

Folglich gilt die Abweichung: $O(n)-\frac12=\frac1{2n}$. Also muss die Feinheit $\frac{1}n$ kleiner als $\frac1{5000}$ sein.