Monotonie

Eine reelle Funktion (d.h. eine Funktion, deren Definitionsmenge eine Teilmenge von R\mathbb{R} ist und nur Werte in  R\mathbb{R} hat) heißt monoton steigend (oder monoton wachsend), wenn für alle x,yx,y aus der Definitionsmenge gilt:

Analog heißt eine relle Funktion monoton fallend, wenn für alle x,yx,y aus der Definitionsmenge gilt:

Anschaulich bedeutet das: Wird der xx-Wert größer, so wird bei einer monoton steigenden Funktion auch der Funktionswert f(x)f(x) größer oder bleibt gleich. Genauso nennt man eine Funktion monoton fallend, wenn die Funktionswerte bei wachsendem xx kleiner werden oder gleich bleiben.

Die Betrachtung des Monotonieverhaltens einer Funktion ist fester Bestandteil der Kurvendiskussion. Im Artikel Monotonieverhalten berechnen wird erklärt, wie sich das Monotonieverhalten einer Funktion untersuchen lässt.

Strenge Monotonie

Strenge Monotonie ist eine stärkere Eigenschaft als einfache Monotonie. 

Eine Funktion heißt streng monoton steigend, wenn gilt:

Sie ist streng monoton fallend, wenn gilt

Der Unterschied zu der einfachen Monotonie besteht darin, dass keine konstanten Abschnitte mehr erlaubt werden.

Beispiele

streng monoton steigend

streng monoton fallend

monoton steigend

monoton fallend

Bezug zur Ableitung

Ist die Funktion ff differenzierbar, so lässt sich die Monotonie an der Ableitung ablesen:

  • Gilt f(x)0f'(x) \geq 0 für alle xx, so ist ff monoton steigend. Gilt sogar f(x)>0f'(x) > 0, so ist ff streng monoton steigend.

  • Gilt f(x)0f'(x) \leq 0 für alle xx, so ist ff monoton fallend. Gilt sogar f(x)<0f'(x) < 0, so ist ff streng monoton fallend.

Dies wird beim Vorzeichenkriterium zur Charakterisierung von Extrema ausgenutzt.

Monotonieintervalle

Viele Funktionen sind nicht auf ihrem gesamten Definitionsbereich monoton steigend oder fallend, sondern nur auf bestimmten Intervallen. (so ist z. B. f(x)=x2f(x)=x^2 streng monoton fallend im Intervall ],0]\rbrack-\infty,0\rbrack und streng monoton steigend im Intervall [0,[\lbrack0,\infty\lbrack ).

Diese Intervalle heißen Monotonieintervalle von ff.

Beispiel Monotonieintervalle

Die Funktion ff ist im roten Bereich monoton steigend und im blauen Bereich monoton fallend.

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