Monotonieverhalten berechnen

Die Betrachtung des Monotonieverhaltens einer Funktion ist fester Bestandteil der Kurvendiskussion.

Man bestimmt das Monotonieverhalten (bzw. die Monotonieintervalle) einer differenzierbaren Funktion $f$ über ihre erste Ableitung:

Wenn $f^\prime(x)\geq 0$ für alle $x$ -Werte in einem Bereich ist, ist die Funktion dort monoton steigend.
Wenn $f^\prime(x)\leq 0$ für alle $x$ -Werte in einem Bereich ist, ist die Funktion dort monoton fallend.

Berechnung des Monotonieverhaltens

Um herauszufinden, in welchen Bereichen der Graph monoton steigend oder monoton fallend ist, gibt es zwei Möglichkeiten:

Mit einer Monotonietabelle

Hier betrachtet man das Vorzeichen der 1. Ableitung um die Extrempunkte herum und schließt so auf das Monotonieverhalten.

Vorteil	Nachteil
Man braucht nicht die 2. Ableitung.	Man muss die Polstellen berücksichtigen. (Eventuell braucht man die 1. Ableitung in einer faktorisierten Darstellung. Vergleiche dazu Linearfaktorzerlegung.)

Mit der 2. Ableitung

Hier findet man zunächst heraus, ob Hochpunkte oder Tiefpunkte vorliegen und schließt dann auf das Monotonieverhalten.

Vorteil	Nachteil
Man benötigt die 1. Ableitung nicht in einer faktorisierten Darstellung.	Man benötigt die 2. Ableitung. Diese kann mitunter sehr kompliziert werden. Bei manchen Funktionen benötigt man sogar die 3. Ableitung. Manchmal ermöglichen die Ableitungen auch gar keine Aussagen.

Beispiel

Bestimme das Monotonieverhalten der Funktion

\displaystyle f\left(x\right)=\frac13x^3-\frac52x^2+6x+3

Mit einer Monotonietabelle

Bestimme die 1. Ableitung $f^\prime\left(x\right)$ :

$f^\prime\left(x\right)=x^2-5x+6$

Bestimme die Nullstellen von $f^\prime\left(x\right)$ :

$\displaystyle f'(x)$	$=$	$\displaystyle 0$
$\displaystyle x^2-5x+6$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Wende den Satz von Vieta oder die Mitternachtsformel an.
$\displaystyle x_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle \frac{5\pm\sqrt{\left(-5\right)^2-4\cdot1\cdot6}}{2}$

$x_1=2$ und $x_2=3$

Erstelle nun eine Vorzeichentabelle:

Die waagrechte Linie versteht man als Zahlenstrahl. Dort werden der Größe nach die Nullstellen der 1. Ableitung angetragen (und evtl. die Polstellen der Ausgangsfunktion f(x); siehe "Achtung" unten).
Nun betrachtet man die Intervalle zwischen den angetragenen Nullstellen.
Man setzt irgendeinen Wert aus dem jeweiligen Intervall in die 1. Ableitung ein und notiert sich das Vorzeichen in die zweite Zeile.
Für das 1. Intervall $\rbrack-\infty;2\lbrack$ wähle z.B. den Wert
Für das 2. Intervall $\rbrack2;3\lbrack$ wähle z.B. den Wert
Für das 3. Intervall $\rbrack3;\infty\lbrack$ wähle z.B. den Wert $x=5\Rightarrow f^\prime\left(5\right)=25-25+6=6\gt0$

Man kann die Vorzeichentabelle auch ausführlicher machen. Dazu benötigt man aber die 1. Ableitung in faktorisierter Darstellung:

$f^\prime\left(x\right)=\left(x-2\right)\cdot\left(x-3\right)$

Erstelle eine Vorzeichentabelle:

1) Zeile: Betrachte Werte für x, die kleiner als 2 sind. Dann ist das Vorzeichen des Faktors (x-2) ein Minus. Betrachtet man Werte zwischen 2 und 3 wird der Faktor (x-2) größer 0. Genauso für x-Werte, die größer als 3 sind.
2) Zeile: Gleiches Spiel in dieser Zeile nur das man den Faktor (x-3) betrachtet. Für Werte kleiner als 2 wird dieser Faktor natürlich negativ, genauso für Werte zwischen zwei und 3. Alle x-Werte die größer als 3 sind lassen den Faktor positiv werden.
Die Vorzeichen in der letzten Zeile ergeben sich aus der Multiplikation der Vorzeichen, die in einer Spalte darüber liegen.

Egal welche Variante der Vorzeichentabelle man verwendet, kann man nun die Monotonie des Graphen ablesen: Ist das Vorzeichen in der letzten Zeile ein $+$ so ist der Graph in diesem Bereich (inklusive die Ränder, außer die Ränder sind nicht im Definitionsbereich enthalten! Vergleiche hierzu: Monotonie) streng monoton steigend. Ist das Vorzeichen ein $-$ so ist der Graph in diesem Bereich streng monoton fallend:

$f^\prime(x)\gt0\;\rightarrow$ streng monoton steigend

$f^\prime(x)\lt0\;\rightarrow$ streng monoton fallend

Achtung: Wenn die Funktion eine oder mehrere Polstellen hat, müssen diese in der Vorzeichentabelle mit berücksichtigt werden. Man zeichnet dann einfach eine zusätzliche senkrechte Linie ein, die dann die Polstelle repräsentiert. Die Intervalle, die man dann betrachtet, werden somit von den Polstellen "zerstückelt".

Intervall	Monotonie
$]-\infty;2[$	$f^\prime(x)\gt0\;\rightarrow G_f$ ist streng monoton steigend im Intervall $] - \infty ;2]$
$]2;3[$	$f^\prime(x)\lt0\;\rightarrow G_f$ ist streng monoton fallend im Intervall $[2;3]$
$]3;\infty[$	$f^\prime(x)\gt0\;\rightarrow G_f$ ist streng monoton steigend im Intervall $[3;\infty[$

Achtung: Um die maximalen Intervalle anzugeben, in denen der Graph der Funktion streng monoton fällt bzw. streng monoton steigt, müssen die Ränder (also 2 und 3) mit eingeschlossen werden!

Auch wenn die Funktion an diesen Stellen die Steigung 0 hat.

Mit der 2. Ableitung

Bestimme die 1. Ableitung $f^\prime\left(x\right)$

$f^\prime\left(x\right)=x^2-5x+6$

Bestimme die Nullstellen von $f^\prime\left(x\right)$ :

$\displaystyle f'\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle 0$
$\displaystyle x^2-5x+6$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Wende den Satz von Vieta oder die Mitternachtsformel an.
$\displaystyle x_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle \frac{5\pm\sqrt{\left(-5\right)^2-4\cdot1\cdot6}}{2}$

$x_1=2$ und $x_2=3$ .

Bestimme die 2. Ableitung $f^{''}\left(x\right)$

Setze die Nullstellen $x_i$ der 1. Ableitung in die zweite Ableitung ein.

Betrachte folgende Fälle:

Fall	Folgerung
$f''\left(x_i\right)>0$	Tiefpunkt im Punkt $(x_i\vert f(x_i))$
$f''\left(x_i\right)<0$	Hochpunkt im Punkt $(x_i\vert f(x_i))$
$f''\left(x_i\right)=0$	Bestimme die 3. Ableitung $f'''(x)$ und setze die Nullstelle $x_i$ auch hier ein. Wenn $f'''(x_i) =0\rightarrow$ Keine Aussage möglich. Wenn $f'''(x_i)\neq 0 \rightarrow$ Terrassenpunkt und kein Monotoniewechsel

$f^{\prime\prime}\left(x\right)=2x-5$

$f^{\prime\prime}\left(2\right)=2\cdot2-5=-1\lt 0 \;\rightarrow$ Hochpunkt

$f^{\prime\prime}\left(3\right)=2\cdot3-5=1\gt 0\;\rightarrow$ Tiefpunkt

Wenn man weiß, ob ein Hoch-, Tief- oder Terrassenpunkt vorliegt, kennt man auch die Monotonie des Graphen vor bzw. nach diesen Stellen:

Tiefpunkt: links davon fallend, rechts davon steigend
Hochpunkt: links davon steigend, rechts davon fallend
Terrassenpunkt: links und rechts davon gleiche Monotonie

Hochpunkt bei $x=2$ und Tiefpunkt bei $x=3$

Intervall	Monotonie
$]-\infty;2[$	$G_f$ ist streng monoton steigend im Intervall $] - \infty ;2]$
$]2;3[$	$G_f$ ist streng monoton fallend im Intervall $[2;3]$
$]3;\infty[$	$G_f$ ist streng monoton steigend im Intervall $[3;\infty[$

Übungsaufgaben: Monotonieverhalten berechnen

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Weitere Aufgaben zum Thema findest du im folgenden Aufgabenordner:
Aufgaben zum Monotonieverhalten

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