Differenzierbarkeit

Differenzierbarkeit ist eine Eigenschaft von Funktionen, die darüber Auskunft gibt ob und wo sich eine Funktion ableiten lässt.

Eine Funktion ff heißt differenzierbar an einer Stelle x0x_0 ihres Definitionsbereichs, falls der Differentialquotient existiert:

Wir nennen dann diesen Grenzwert Ableitung an der Stelle x0x_0.

Anschaulich bedeutet das, dass der Graph von ff an der Stelle x0x_0 eine eindeutige und nicht senkrechte Tangente besitzt. Der Grenzwert und damit die Ableitung gibt die Steigung dieser Tangente an.

Ist ff an jeder Stelle der Definitionsmenge differenzierbar, so nennt man ff differenzierbar.

Differenzierbarkeit überprüfen

Der obige Grenzwert exisiert genau dann, wenn linksseitiger und rechtseitiger Grenzwert des zugehörigen Differenzenquotienten existieren und übereinstimmen, d. h. wenn gilt:

Diese Äquivalenz ist insbesondere dann hilfreich, wenn die Differenzierbarkeit zusammengesetzter Funktionen an einer "Nahtstelle" x0x_0 überprüft werden soll.

Sind die Ableitungen links und rechts von x0x_0 bereits bekannt, kann die Differenzierbarkeit über die Gleichheit der Ableitungen nachgewiesen werden. Eine an der Stelle x0x_0 stetige Funktion ff ist also differenzierbar, wenn beide Grenzwerte existieren und gilt:

Nicht differenzierbare Funktionen

Differenzierbarkeit einer Funktion bedeutet, dass der Graph der Funktion an jeder Stelle eine eindeutig bestimmbare Tangente besitzt.

Im nebenstehenden Applet kannst Du die Punkte PP und QQ auf dem Graphen von ff verschieben. An PP und QQ sind die jeweiligen Tangenten abgetragen.

Du kannst über das Eingabefeld auch eine andere Funktion eingeben und diese graphisch auf Differenzierbarkeit untersuchen.

Ist eine Funktion an einer Stelle x0x_0 nicht differenzierbar, so ist die Tangente an dieser Stelle nicht bestimmbar. Dafür kann es verschiedene Gründe geben.

Besitzt der Graph an einer Stelle eine "Spitze", so kann man dort zwei unterschiedliche "Tangenten" konstruieren, eine "linksseitige Tangente" und eine "rechtsseitige Tangente". Aber eben keine eindeutige, "einzige" Tangente. Die Funktion ist an dieser Stelle nicht differenzierbar.

Du kannst die Punkte P und Q auf f verschieben. Beobachte, wie sich die Tangentensteigung an der "Spitze" verhält.

Du kannst auch andere Funktionen eingeben und graphisch auf Differenzierbarkeit untersuchen: z.B. f(x)=xf(x) = |x|; Eingabe: abs(x)abs(x).

Die durch f(x)=x3f(x)=\sqrt[3]x gegebene Funktion ist ein weiteres Beispiel für eine nicht differenzierbare Funktion. Es gilt nämlich:limx0x303x0=limx01x32=\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt[3]x-\sqrt[3]0}{x-0}=\lim_{x\to 0}\frac{1}{\sqrt[3]x^2}=\inftySomit ist ff nicht an der Stelle x0=0x_0=0 differenzierbar.

Du kannst die Punkte PP und QQ auf ff verschieben. Beobachte, wie sich die Tangentensteigung an der Stelle x0=0x_0 = 0 verhält.

Du kannst auch andere Funktionen eingeben und graphisch auf Differenzierbarkeit untersuchen.

Differenzierbarkeit höherer Ordnungen

Wir betrachten eine differenzierbare Funktion ff. Ist ihre Ableitung ebenfalls differenzierbar, so heißt die Funktion zweimal differenzierbar. Analog lassen sich die Bezeichnungen dreimal / viermal / nn-mal differenzierbar definieren.

Eine differenzierbare Funktion, deren Ableitungsfunktion ff' stetig ist, heißt stetig differenzierbar.

Differenzierbarkeit nachweisen

Der Differentialquotient lässt sich mit der h-Methode berechnen.

Zusammenhang zwischen Differenzierbarkeit und Stetigkeit


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