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Stetigkeit

Stetige Funktion

Eine Funktion ff heißt genau dann stetig an einer Stelle x0x_0, wenn der Funktionswert an dieser Stelle mit sowohl dem links- als auch rechtsseitigem Grenzwert identisch ist, d.h. wenn gilt:

f(x0)=lim⁡x→x0−f(x)=lim⁡x→x0+f(x)f(x_0)=\lim_{x\rightarrow x_0^-}f(x)=\lim_{x\rightarrow x_0^+}f(x)

Eine an allen Stellen des Definitionsbereichs stetige Funktion wird allgemein als stetig bezeichnet.

Umgekehrt nennt man eine Funktion unstetig, wenn obige Bedingung an mindestens einer Stelle ihres Definitionsbereichs nicht erfĂŒllt ist.

Anschauliche Darstellung

Eine stetige Funktion hat die Eigenschaft, dass ihr Graph an keiner Stelle einen Sprung macht. Du kannst den Graphen der Funktion also "in einem Zug, ohne Absetzen" zeichnen. Entsprechend besitzt eine unstetige Funktion sogenannte Unstetigkeitsstellen (z.B. SprĂŒnge). Folgende Funktion ist beispielsweise unstetig:

Unstetige Funktion

Epsilon-Delta-Definition der Stetigkeit

Alternative Definition von Stetigkeit

Eine Funktion ff nennt man stetig im Punkt xx, wenn es fĂŒr jedes Δ>0\varepsilon>0 ein ÎŽ>0\delta>0 gibt, sodass fĂŒr alle xâ€Č∈  ]x−ή,x+ÎŽ[x'\in\;\rbrack x-\delta,x+\delta\lbrack gilt: ∣f(x)−f(xâ€Č)∣<Δ\left|f(x)-f(x')\right|<\varepsilon

 

AusfĂŒhrliche ErlĂ€uterung der Epsilon-Delta-Definition

Der Ausdruck ∣f(x)−f(xâ€Č)∣\left|f(x)-f(x')\right| ganz am Schluss bezeichnet den Abstand der Funktionswerte von xx und xâ€Čx'. Wir wollen, dass stetige Funktionen folgende Eigenschaft haben: Wenn uns jemand einen Abstand Δ\varepsilon vorgibt, können wir einen Bereich um xx wĂ€hlen, in dem der Abstand der Funktionswerte niemals grĂ¶ĂŸer als dieses Δ\varepsilon  wird. Diesen Bereich wĂ€hlen wir symmetrisch um xx durch das Intervall ]x−ή,x+ÎŽ[\rbrack x-\delta,x+\delta\lbrack. Wenn wir fĂŒr jedes Δ\varepsilon so eine Delta-Umgebung von x finden können, in der die Funktionswerte den Δ\varepsilon -Abstand einhalten, dann ist die Funktion im Punkt xx stetig.

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