Stetigkeit

Eine Funktion ff heißt genau dann stetig an einer Stelle x0x_0, wenn der Funktionswert an dieser Stelle mit sowohl dem links- als auch rechtsseitigem Grenzwert identisch ist, d.h. wenn gilt:

Eine an allen Stellen des Definitionsbereichs stetige Funktion wird allgemein als stetig bezeichnet.

Umgekehrt nennt man eine Funktion unstetig, wenn obige Bedingung an mindestens einer Stelle ihres Definitionsbereichs nicht erfüllt ist.

Anschauliche Darstellung

Eine stetige Funktion hat die Eigenschaft, dass ihr Graph an keiner Stelle einen Sprung macht. Du kannst den Graphen der Funktion also "in einem Zug, ohne Absetzen" zeichnen. Entsprechend besitzt eine unstetige Funktion sogenannte Unstetigkeitsstellen (z.B. Sprünge). Folgende Funktion ist beispielsweise unstetig:

Epsilon-Delta-Definition der Stetigkeit

Alternative Definition von Stetigkeit

Eine Funktion ff nennt man stetig im Punkt xx, wenn es für jedes ε>0\varepsilon>0 ein δ>0\delta>0 gibt, sodass für alle x  ]xδ,x+δ[x'\in\;\rbrack x-\delta,x+\delta\lbrack gilt: f(x)f(x)<ε\left|f(x)-f(x')\right|<\varepsilon

 

Ausführliche Erläuterung der Epsilon-Delta-Definition

Der Ausdruck f(x)f(x)\left|f(x)-f(x')\right| ganz am Schluss bezeichnet den Abstand der Funktionswerte von xx und xx'. Wir wollen, dass stetige Funktionen folgende Eigenschaft haben: Wenn uns jemand einen Abstand ε\varepsilon vorgibt, können wir einen Bereich um xx wählen, in dem der Abstand der Funktionswerte niemals größer als dieses ε\varepsilon  wird. Diesen Bereich wählen wir symmetrisch um xx durch das Intervall ]xδ,x+δ[\rbrack x-\delta,x+\delta\lbrack. Wenn wir für jedes ε\varepsilon so eine Delta-Umgebung von x finden können, in der die Funktionswerte den ε\varepsilon -Abstand einhalten, dann ist die Funktion im Punkt xx stetig.

Übungsaufgaben

Inhalt wird geladen…

Du hast noch nicht genug vom Thema?

Hier findest du noch weitere passende Inhalte zum Thema:

Artikel


Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0.Was bedeutet das?