Stetigkeit nachweisen

Eine Funktion $f$ heißt genau dann stetig an einer Stelle $x_{0}$ , wenn der Funktionswert an dieser Stelle mit sowohl dem links- als auch rechtsseitigem Grenzwert identisch ist. In diesem Artikel werden die Nachweismöglichkeiten für die Stetigkeit behandelt.

"Zeichnen"-Methode

Es gibt eine einfache Methode, um herauszufinden, ob eine Funktion stetig ist: Zeichne den Graphen der Funktion. Wenn dir das in einem Zug gelingt (also ohne den Stift abzusetzen), dann ist die Funktion stetig.

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Präzise Methode

Stetigkeit lässt sich auch auf sehr präzise mathematische Art nachweisen. Diese Methode lernt man häufig erst an der Hochschule kennen, aber sie lässt sich auch mit dem Wissen aus der Schule nachvollziehen.

Die allgemeine Definition der Stetigkeit einer Funktion $f$ ist durch folgende Gleichungen gegeben:

\displaystyle f(x_0)=\lim_{x\rightarrow x_{0^-}}f(x)=\lim_{x\rightarrow x_{0^+}}f(x)

Dabei betrachtet man bei $x_{0^{-}}$ die Funktion auf der linken Seite von $x_{0}$ und bei $x_{0^{+}}$ auf der rechten Seite von $x_{0}$ .

Intuitiv beschreiben die Gleichungen folgenden Sachverhalt: Man schaut sich einen Punkt der Funktion $f$ an. Dann soll es nach links und rechts jeweils keinen Sprung geben.

Beispiel: Abschnittweise definierte Funktionen

Im Folgenden wird die Stetigkeit der Funktion

$\def\arraystretch{1.25} f(x)=\left\{\begin{array}{c}-x+2\;,\;\mathrm{für}\;x\leqslant1\\x\;\;\;,\;\mathrm{für}\;x>1\end{array}\right.$

nachgewiesen.

Schritt 1: Im linken Abschnitt definierte Funktion separat auf Stetigkeit überprüfen

Die im linken Abschnitt (⁣ $x\leqslant1$ ) definierte Funktion lautet $- x + 2$ , stellt also eine Gerade dar. Bekanntlich besitzen Geraden keine Sprungstellen (= Unstetigkeitsstellen).

$\Rightarrow$ Also ist die Funktion im linken Abschnitt stetig.

Schritt 2: Im rechten Abschnitt definierte Funktion separat auf Stetigkeit überprüfen

Die im rechten Abschnitt (⁣ $x > 1$ ) definierte Funktion lautet $x$ und stellt ebenso eine Gerade dar.

$\Rightarrow$ Auch die Funktion im rechten Abschnitt ist stetig

Schritt 3: Funktion an der "interessanten" Stelle $x_{0} = 1$ auf Stetigkeit überprüfen

\displaystyle f(1)=-1+2=1

\displaystyle \lim_{x \rightarrow 1^-}f(x)=\lim_{x \rightarrow 1^-}(-x+2)=-1+2=1

\displaystyle \lim_{x \rightarrow 1^+}f(x)=\lim_{x \rightarrow 1^-}(x)=1

\displaystyle \Rightarrow f(x_0)=\lim_{x \rightarrow 1^-}f(x)=\lim_{x \rightarrow 1^+}f(x)=1

$\Rightarrow$ $f$ ist stetig bei $x_{0} = 1$

Übungsaufgaben

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