Gemäß der allgemeinen Definition der Stetigkeit einer Funktion f ist folgende Gleichungskette zu zeigen:
Dabei betrachtet man bei die Funktion auf der linken Seite von und bei auf der rechten Seite von .
Beispiel
Abschnittweise definierte Funktionen
Im Folgenden wird die Stetigkeit der Funktion
nachgewiesen.
Im linken Abschnitt definierte Funktion separat auf Stetigkeit überprüfen
Die im linken Abschnitt ( ) definierte Funktion lautet , stellt also eine Gerade dar. Bekanntlich besitzen Geraden keine Sprungstellen (= Unstetigkeitsstellen).
Also ist die Funktion im linken Abschnitt stetig.
Im rechten Abschnitt definierte Funktion separat auf Stetigkeit überprüfen
Die im rechten Abschnitt ( ) definierte Funktion lautet und stellt ebenso eine Gerade dar.
Auch die Funktion im rechten Abschnitt ist stetig
Funktion an der "interessanten" Stelle auf Stetigkeit überprüfen
ist stetig bei