Stetigkeit nachweisen

Gemäß der allgemeinen Definition der Stetigkeit einer Funktion f ist folgende Gleichungskette zu zeigen:

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\displaystyle \sf f(x_0)=\lim_{x\rightarrow x_{0^-}}{f(x)}=\lim_{x\rightarrow x_{0^+}}{f(x)}

Dabei betrachtet man bei $\sf x_{0^-}$ die Funktion auf der linken Seite von $\sf x_{0}$ und bei $\sf x_{0^+}$ auf der rechten Seite von $\sf x_0$ .

Beispiel

Abschnittweise definierte Funktionen

Im Folgenden wird die Stetigkeit der Funktion

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\displaystyle \sf f(x_0)=\lim_{x\rightarrow x_{0^-}}{f(x)}=\lim_{x\rightarrow x_{0^+}}{f(x)}

nachgewiesen.

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Im linken Abschnitt definierte Funktion separat auf Stetigkeit überprüfen

Die im linken Abschnitt ( $\sf x\leqslant1$ ) definierte Funktion lautet $\sf -x+2$ , stellt also eine Gerade dar. Bekanntlich besitzen Geraden keine Sprungstellen (= Unstetigkeitsstellen).

$\sf \Rightarrow$ Also ist die Funktion im linken Abschnitt stetig.

Im rechten Abschnitt definierte Funktion separat auf Stetigkeit überprüfen

Die im rechten Abschnitt ( $\sf x>1$ ) definierte Funktion lautet $\sf x$ und stellt ebenso eine Gerade dar.

$\sf \Rightarrow$ Auch die Funktion im rechten Abschnitt ist stetig

Funktion an der "interessanten" Stelle $\sf x_0=1$ auf Stetigkeit überprüfen

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\displaystyle \sf f(x_0)=\lim_{x\rightarrow x_{0^-}}{f(x)}=\lim_{x\rightarrow x_{0^+}}{f(x)}

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\displaystyle \sf f(x_0)=\lim_{x\rightarrow x_{0^-}}{f(x)}=\lim_{x\rightarrow x_{0^+}}{f(x)}

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\displaystyle \sf f(x_0)=\lim_{x\rightarrow x_{0^-}}{f(x)}=\lim_{x\rightarrow x_{0^+}}{f(x)}

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\displaystyle \sf f(x_0)=\lim_{x\rightarrow x_{0^-}}{f(x)}=\lim_{x\rightarrow x_{0^+}}{f(x)}

$\sf \Rightarrow$ $\sf f$ ist stetig bei $\sf x_0=1$

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