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Stetigkeit nachweisen

Eine Funktion ff heißt genau dann stetig an einer Stelle x0x_0, wenn der Funktionswert an dieser Stelle mit sowohl dem links- als auch rechtsseitigem Grenzwert identisch ist. In diesem Artikel werden die Nachweismöglichkeiten für die Stetigkeit behandelt.

"Zeichnen"-Methode

Es gibt eine einfache Methode, um herauszufinden, ob eine Funktion stetig ist: Zeichne den Graphen der Funktion. Wenn dir das in einem Zug gelingt (also ohne den Stift abzusetzen), dann ist die Funktion stetig.

Präzise Methode

Stetigkeit lässt sich auch auf sehr präzise mathematische Art nachweisen. Diese Methode lernt man häufig erst an der Hochschule kennen, aber sie lässt sich auch mit dem Wissen aus der Schule nachvollziehen.

Die allgemeine Definition der Stetigkeit einer Funktion ff ist durch folgende Gleichungen gegeben:

Dabei betrachtet man bei x0x_{0^-} die Funktion auf der linken Seite von x0x_{0} und bei x0+x_{0^+} auf der rechten Seite von x0x_0.

Intuitiv beschreiben die Gleichungen folgenden Sachverhalt: Man schaut sich einen Punkt der Funktion ff an. Dann soll es nach links und rechts jeweils keinen Sprung geben.

Beispiel: Abschnittweise definierte Funktionen

legacy geogebra formula

Im Folgenden wird die Stetigkeit der Funktion 

f(x)={x+2  ,  fu¨r  x1x      ,  fu¨r  x>1\def\arraystretch{1.25} f(x)=\left\{\begin{array}{c}-x+2\;,\;\mathrm{für}\;x\leqslant1\\x\;\;\;,\;\mathrm{für}\;x>1\end{array}\right.

nachgewiesen.

Schritt 1: Im linken Abschnitt definierte Funktion separat auf Stetigkeit überprüfen

Die im linken Abschnitt (⁣x1x\leqslant1) definierte Funktion lautet x+2-x+2, stellt also eine Gerade dar. Bekanntlich besitzen Geraden keine Sprungstellen (= Unstetigkeitsstellen).

\Rightarrow Also ist die Funktion im linken Abschnitt stetig.

Schritt 2: Im rechten Abschnitt definierte Funktion separat auf Stetigkeit überprüfen

Die im rechten Abschnitt (⁣x>1x>1) definierte Funktion lautet xx und stellt ebenso eine Gerade dar.

\Rightarrow Auch die Funktion im rechten Abschnitt ist stetig

Schritt 3: Funktion an der "interessanten" Stelle x0=1x_0=1 auf Stetigkeit überprüfen

\Rightarrow ff ist stetig bei x0=1x_0=1

Übungsaufgaben

Weitere Aufgaben zum Thema findest du im folgenden Aufgabenordner:
Aufgaben zur Stetigkeit

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