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Stetigkeit nachweisen

Gemäß der allgemeinen Definition der Stetigkeit einer Funktion f ist folgende Gleichungskette zu zeigen:

 Dabei betrachtet man bei x0\sf x_{0^-} die Funktion auf der linken Seite von x0\sf x_{0} und bei x0+\sf x_{0^+} auf der rechten Seite von x0\sf x_0 .

Beispiel

Abschnittweise definierte Funktionen

Im Folgenden wird die Stetigkeit der Funktion 

nachgewiesen.

Im linken Abschnitt definierte Funktion separat auf Stetigkeit überprüfen

Die im linken Abschnitt ( x1\sf x\leqslant1 ) definierte Funktion lautet x+2\sf -x+2 , stellt also eine Gerade dar. Bekanntlich besitzen Geraden keine Sprungstellen (= Unstetigkeitsstellen).

\sf \Rightarrow Also ist die Funktion im linken Abschnitt stetig.

Im rechten Abschnitt definierte Funktion separat auf Stetigkeit überprüfen

Die im rechten Abschnitt ( x>1\sf x>1 ) definierte Funktion lautet x\sf x und stellt ebenso eine Gerade dar.

\sf \Rightarrow Auch die Funktion im rechten Abschnitt ist stetig

Funktion an der "interessanten" Stelle x0=1\sf x_0=1 auf Stetigkeit überprüfen

\sf \Rightarrow f\sf f ist stetig bei x0=1\sf x_0=1


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