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h-Methode

Die hh-Methode ist eine andere Interpretation des Differentialquotienten. Anstatt xx gegen x0x_0 laufen zu lassen, lässt man diesmal die Differenz h=x−x0h = x - x_0 gegen 00 laufen:

f′(x0)=lim⁡h→0f(x0+h)−f(x0)h.f'\left(x_0\right)=\lim _{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}.

Damit lässt sich die Ableitung an der Stelle x0x_0 berechnen.

Veranschaulichung

Beispiel

Gegeben ist f(x)=x2f(x)=x^2.

f′(x)\displaystyle f'\left(x\right)==lim⁡h→0f(x0+h)−f(x0)h\displaystyle \lim_{h\rightarrow0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}
↓

Zunächst setzt man ff in die Formel ein.

==lim⁡h→0(x0+h)2−x02h\displaystyle \lim_{h\rightarrow0}\frac{\left(x_0+h\right)^2-x_0^2}{h}
↓

Löse die entstehende binomische Formel auf.

==lim⁡h→0x02+2x0h+h2−x02h\displaystyle \lim_{h\rightarrow0}\frac{x_0^2+2x_0h+h^2-x_0^2}{h}
↓

Klammere hh im Zähler aus.

==lim⁡h→0h(2x0+h)h\displaystyle \lim_{h\rightarrow0}\frac{h\left(2x_0+h\right)}{h}
↓

Kürze hh.

==lim⁡h→0(2x0+h⏟→0)\displaystyle \lim_{h\to 0}(2x_0+\underbrace{h}_{\to 0})
↓

Lässt man jetzt hh gegen 0 laufen, so ergibt sich der Grenzwert.

==2x0\displaystyle 2x_0

Also ist die Ableitung von f(x)=x2f(x)=x^2 im Punkt x0∈Rx_0\in \mathbb R: f′(x0)=2x0f'(x_0)=2x_0

Video zur h-Methode

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Übungsaufgaben


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