h-Methode

Die $h$ -Methode ist eine andere Interpretation des Differentialquotienten. Anstatt $x$ gegen $x_0$ laufen zu lassen, lässt man diesmal die Differenz $h = x - x_0$ gegen $0$ laufen:

\displaystyle f'\left(x_0\right)=\lim _{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}.

Damit lässt sich die Ableitung an der Stelle $x_0$ berechnen.

Veranschaulichung

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Beispiel

Gegeben ist $f(x)=x^2$ .

$\displaystyle f'\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle \lim_{h\rightarrow0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$
	↓	Zunächst setzt man $f$ in die Formel ein.
	$=$	$\displaystyle \lim_{h\rightarrow0}\frac{\left(x_0+h\right)^2-x_0^2}{h}$
	↓	Löse die entstehende binomische Formel auf.
	$=$	$\displaystyle \lim_{h\rightarrow0}\frac{x_0^2+2x_0h+h^2-x_0^2}{h}$
	↓	Klammere $h$ im Zähler aus.
	$=$	$\displaystyle \lim_{h\rightarrow0}\frac{h\left(2x_0+h\right)}{h}$
	↓	Kürze $h$ .
	$=$	$\displaystyle \lim_{h\to 0}(2x_0+\underbrace{h}_{\to 0})$
	↓	Lässt man jetzt $h$ gegen 0 laufen, so ergibt sich der Grenzwert.
	$=$	$\displaystyle 2x_0$

Also ist die Ableitung von $f(x)=x^2$ im Punkt $x_0\in \mathbb R$ : $f'(x_0)=2x_0$

Video zur h-Methode

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Übungsaufgaben

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