Kurvendiskussion

In der Kurvendiskussion werden ausgewählte Eigenschaften einer Funktion und ihres Graphen untersucht.

Bestandteile der Kurvendiskussion

Eigenschaften berechnen

Diese Liste enthält alle Eigenschaften, die man bei einer Funktion überprüfen kann:

• Definitionsbereich (mit Definitionslücken),
• Grenzwerte (an den Grenzen des Definitionsbereichs),
• Asymptoten,
• Nullstellen,
• Symmetrieverhalten
• Monotonieverhalten (über die Ableitung),
• Extrempunkte,
• Krümmungsverhalten (über die Ableitung),
• Wendepunkte und Terrassenpunkte,
• Wertebereich,
• Tangenten,
• Stammfunktion,
• Fläche unter dem Funktionsgraphen

Graphen skizzieren

Bei einer Kurvendiskussion kann noch zusätzlich gefragt werden, den Graphen in ein Koordinatensystem zu skizzieren. Man wählt dabei die Skalierung so, dass die errechneten Eigenschaften sichtbar eingezeichnet werden können und kennzeichnet wichtige Punkte wie die Nullstellen oder Extrema.

Beispiel

Diskutiere die Funktion %%f(x)=2x^2+x^4%%.

Eigenschaft

Arbeitsweise mit der Funktion

Ergebnis

Erklärung

Definitionsbereich

%%\,%%

%%D_f=\mathbb{R}%%

Kritische Funktionen (Bruch, Wurzel, Logarithmus) überprüfen

Grenzwerte

%%\lim_{x\rightarrow\pm\infty}f(x)%%

%%\lim_{x\rightarrow\pm\infty}2x^2+x^4=\infty%%

Überlegen, was die Funktion an den Rändern ihres Definitionsbereichs macht

Asymptoten

%%\,%%

nicht vorhanden

- Waagrechte bei endlichen Grenzwerten im Unendlichen

- Senkrechte bei nicht hebbaren Definitionslücken

- Schräge bei Brüchen mit Zählergrad = Nennergrad + 1

Nullstellen

%%f\left(x\right)=0%%

%%\begin{array}{l}2x^2+x^4=0\\\Leftrightarrow\\x=0\end{array}%%

Überprüfen, wann die Funktion 0 wird

Symmetrieverhalten

%%\begin{array}{l}f\left(-x\right)\overset?=f\left(x\right)\\f\left(-x\right)\overset?=-f\left(x\right)\end{array}%%

%%2\left(-x\right)^2+\left(-x\right)^4=2x^2+x^4%%

Achsensymmetrisch zur y-Achse

Mit den Formeln überprüfen, ob der Funktionsgraph ein Symmetriezentrum (Punkt, Achse) hat

Monotonieverhalten

%%f'\left(x\right) \gtrless 0%%

%%f'\left(x\right)=4x+4x^3\\f'\left(x\right)>0\;\Leftrightarrow\;x>0\\f`:\left(x\right)<0 \Leftrightarrow x<0%% steigend für %%x > 0%%

fallend für %%x < 0%%

Das Vorzeichen der ersten Ableitung gibt an, ob die Funktion steigt (+) oder fällt (-)

Extrempunkte

%%f'\left(x\right)=0\\f''\left(x\right) \gtrless 0%%

%%\begin{array}{l}f'\left(x\right)=4x+4x^3\\f''\left(x\right)=4+12x^2\\f'\left(x\right)=0\;\Leftrightarrow\;x=0\\f''\left(0\right)=4\end{array}%%

Minimum bei %%x = 0%%

- Wenn die erste Ableitung 0 ist, steigt der Graph weder, noch fällt er. Er besitzt eine waagerechte Tangente

- Ist der Graph an dieser Stelle linksgekrümmt, dann ist das Extremum ein Minimum, bei Rechtskrümmung ein Maximum

Krümmungsverhalten

%%f''\left(x\right) \gtrless 0%%

%%\begin{array}{l}f''\left(x\right)=4+12x^2\\f''\left(x\right)>0\;\forall\;x\;\in\;D_f\end{array}%%

immer linksgekrümmt

Das Vorzeichen der zweiten Ableitung gibt an, ob die Funktion linksgekrümmt (+) oder rechtsgekrümmt (-) ist

Wendepunkte

%%f''\left(x\right)=0%%

%%4+12x^2>0\;\forall x\in D_f%%

keine Wendepunkte

Wenn die zweite Ableitung 0 ist, ist der Graph an dieser Stelle nicht gekrümmt und der Graph "wendet"

Terrassenpunkte

%%\begin{array}{l}f'\left(x\right)=0\\f''\left(x\right)=0\\f'''\left(x\right)\neq0\end{array}%%

-

Wenn am Wendepunkt, zusätzlich eine waagerechte Tangente liegt, dann ist er ein Terrassenpunkt

Wertebereich

%%\begin{array}{l}\text{max}\left\{f\left(x\right)\right\}\\\text{min}\left\{f\left(x\right)\right\}\end{array}%%

%%\begin{array}{l}\text{max}\left\{f\left(x\right)\right\}\rightarrow\infty\\\text{min}\left\{f\left(x\right)\right\}=0\end{array}%%

Über Extrema und Grenzwerte die Grenzen des Wertebereich bestimmen

Tangenten

siehe Artikel

%%\,%%

Eine Steigungstangente an den Graphen legen

Stammfunktion

%%\int_{}^{}f\left(x\right)\operatorname{d}x%%

%%\int_{}^{}2x^2+x^4\operatorname{d}x=\frac23x^3+\frac15x^5+C%%

Über Integration die Stammfunktion finden

Fläche unter dem Funktionsgraphen

%%\int_a^bf\left(x\right)\operatorname{d}x%%

%%\int_a^b2x^2+x^4\operatorname{d}x=\frac23b^3+\frac15b^5-\left(\frac23a^3+\frac15a^5\right)%%

Über ein bestimmtes Integral die Fläche unter dem Funktionsgraphen zwischen zwei Werten berechnen

Graph skizzieren

- Einzeichnen der Funktion mit allen relevanten Punkten

- Auch Grenzwerte und Wertebereich müssen stimmen

Weitere Beispielaufgaben

Kurvendiskussion mit Parameter

Bei Funktionstermen, die zusätzlich zu den Variablen noch Parameter enthalten muss man bei einer Kurvendiskussion zusätzlich auf Fallunterscheidungen achten.

Details und ein Rechenbeispiel findet man im Artikel Kurvendiskussion mit Parameter.