In der Kurvendiskussion werden ausgewählte Eigenschaften einer Funktion und ihres Graphen untersucht.
Bestandteile der Kurvendiskussion Eigenschaften berechnen Diese Liste enthält alle Eigenschaften, die man bei einer Funktion überprüfen kann:
Definitionsbereich (mit Definitionslücken ),
Grenzwerte (an den Grenzen des Definitionsbereichs ),
Asymptoten ,
Nullstellen ,
Symmetrieverhalten ,
Monotonieverhalten (über die Ableitung ),
Extrempunkte ,
Krümmungsverhalten (über die Ableitung ),
Wendepunkte und Terrassenpunkte ,
Wertebereich ,
Tangenten ,
Stammfunktion ,
Fläche unter dem Funktionsgraphen .
Graphen skizzieren Bei einer Kurvendiskussion kann noch zusätzlich gefragt werden, den Graphen in ein Koordinatensystem zu skizzieren. Man wählt dabei die Skalierung so, dass die errechneten Eigenschaften sichtbar eingezeichnet werden können und kennzeichnet wichtige Punkte wie die Nullstellen oder Extrema.
Beispiel Diskutiere die Funktion f ( x ) = 2 x 2 + x 4 f(x)=2x^2+x^4 f ( x ) = 2 x 2 + x 4
Arbeitsweise mit der Funktion
D f = R \displaystyle D_f=\mathbb{R} D f = R Kritische Funktionen (Bruch, Wurzel, Logarithmus) überprüfen
lim x → ± ∞ f ( x ) \displaystyle \lim_{x\rightarrow\pm\infty}f(x) x → ± ∞ lim f ( x ) lim x → ± ∞ 2 x 2 + x 4 = ∞ \displaystyle \lim_{x\rightarrow\pm\infty}2x^2+x^4=\infty x → ± ∞ lim 2 x 2 + x 4 = ∞ Überlegen, was die Funktion an den Rändern ihres Definitionsbereichs macht
- Waagrechte bei endlichen Grenzwerten im Unendlichen
- Senkrechte bei nicht hebbaren Definitionslücken
- Schräge bei Brüchen mit Zählergrad = Nennergrad + 1
f ( x ) = 0 \displaystyle f\left(x\right)=0 f ( x ) = 0 2 x 2 + x 4 = 0 ⇔ x = 0 \displaystyle \def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}2x^2+x^4=0\\\Leftrightarrow\\x=0\end{array} 2 x 2 + x 4 = 0 ⇔ x = 0 Überprüfen, wann die Funktion 0 wird.
f ( − x ) = ? f ( x ) f ( − x ) = ? − f ( x ) \displaystyle \def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}f\left(-x\right)\overset?=f\left(x\right)\\f\left(-x\right)\overset?=-f\left(x\right)\end{array} f ( − x ) = ? f ( x ) f ( − x ) = ? − f ( x ) 2 ( − x ) 2 + ( − x ) 4 = 2 x 2 + x 4 \displaystyle 2\left(-x\right)^2+\left(-x\right)^4=2x^2+x^4 2 ( − x ) 2 + ( − x ) 4 = 2 x 2 + x 4 Achsensymmetrisch zur y-Achse
Mit den Formeln überprüfen, ob der Funktionsgraph ein Symmetriezentrum (Punkt, Achse) hat.
f ′ ( x ) ≷ 0 \displaystyle f'\left(x\right) \gtrless 0 f ′ ( x ) ≷ 0 f ′ ( x ) = 4 x + 4 x 3 f ′ ( x ) > 0 ⇔ x > 0 f ‘ : ( x ) < 0 ⇔ x < 0 f'\left(x\right)=4x+4x^3\\f'\left(x\right)>0\;\Leftrightarrow\;x>0\\f`:\left(x\right)<0 \Leftrightarrow x<0 f ′ ( x ) = 4 x + 4 x 3 f ′ ( x ) > 0 ⇔ x > 0 f ‘ : ( x ) < 0 ⇔ x < 0 x > 0 x > 0 x > 0
fallend für x < 0 x < 0 x < 0
Das Vorzeichen der ersten Ableitung gibt an, ob die Funktion steigt (+) oder fällt (-).
f ′ ( x ) = 0 f ′ ′ ( x ) ≷ 0 \displaystyle f'\left(x\right)=0\\f''\left(x\right) \gtrless 0 f ′ ( x ) = 0 f ′′ ( x ) ≷ 0 f ′ ( x ) = 4 x + 4 x 3 f ′ ′ ( x ) = 4 + 12 x 2 f ′ ( x ) = 0 ⇔ x = 0 f ′ ′ ( 0 ) = 4 \displaystyle \def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}f'\left(x\right)=4x+4x^3\\f''\left(x\right)=4+12x^2\\f'\left(x\right)=0\;\Leftrightarrow\;x=0\\f''\left(0\right)=4\end{array} f ′ ( x ) = 4 x + 4 x 3 f ′′ ( x ) = 4 + 12 x 2 f ′ ( x ) = 0 ⇔ x = 0 f ′′ ( 0 ) = 4 Minimum bei x = 0 x = 0 x = 0
- Wenn die erste Ableitung 0 ist, steigt der Graph weder, noch fällt er. Er besitzt eine waagerechte Tangente.
- Ist der Graph an dieser Stelle linksgekrümmt, dann ist das Extremum ein Minimum, bei Rechtskrümmung ein Maximum.
f ′ ′ ( x ) ≷ 0 \displaystyle f''\left(x\right) \gtrless 0 f ′′ ( x ) ≷ 0 f ′ ′ ( x ) = 4 + 12 x 2 f ′ ′ ( x ) > 0 ∀ x ∈ D f \displaystyle \def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}f''\left(x\right)=4+12x^2\\f''\left(x\right)>0\;\forall\;x\;\in\;D_f\end{array} f ′′ ( x ) = 4 + 12 x 2 f ′′ ( x ) > 0 ∀ x ∈ D f immer linksgekrümmt
Das Vorzeichen der zweiten Ableitung gibt an, ob die Funktion linksgekrümmt (+) oder rechtsgekrümmt (-) ist.
f ′ ′ ( x ) = 0 \displaystyle f''\left(x\right)=0 f ′′ ( x ) = 0 4 + 12 x 2 > 0 ∀ x ∈ D f \displaystyle 4+12x^2>0\;\forall x\in D_f 4 + 12 x 2 > 0 ∀ x ∈ D f keine Wendepunkte
Wenn die zweite Ableitung 0 ist, ist der Graph an dieser Stelle nicht gekrümmt und der Graph "wendet".
f ′ ( x ) = 0 f ′ ′ ( x ) = 0 f ′ ′ ′ ( x ) ≠ 0 \displaystyle \def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}f'\left(x\right)=0\\f''\left(x\right)=0\\f'''\left(x\right)\neq0\end{array} f ′ ( x ) = 0 f ′′ ( x ) = 0 f ′′′ ( x ) = 0 Wenn am Wendepunkt, zusätzlich eine waagerechte Tangente liegt, dann ist er ein Terrassenpunkt.
max { f ( x ) } min { f ( x ) } \displaystyle \def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}\text{max}\left\{f\left(x\right)\right\}\\\text{min}\left\{f\left(x\right)\right\}\end{array} max { f ( x ) } min { f ( x ) } max { f ( x ) } → ∞ min { f ( x ) } = 0 \displaystyle \def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}\text{max}\left\{f\left(x\right)\right\}\rightarrow\infty\\\text{min}\left\{f\left(x\right)\right\}=0\end{array} max { f ( x ) } → ∞ min { f ( x ) } = 0 Über Extrema und Grenzwerte die Grenzen des Wertebereich bestimmen.
Eine Steigungstangente an den Graphen legen.
∫ f ( x ) d x \displaystyle \int_{}^{}f\left(x\right)\operatorname{d}x ∫ f ( x ) d x ∫ 2 x 2 + x 4 d x = 2 3 x 3 + 1 5 x 5 + C \displaystyle \int_{}^{}2x^2+x^4\operatorname{d}x=\frac23x^3+\frac15x^5+C ∫ 2 x 2 + x 4 d x = 3 2 x 3 + 5 1 x 5 + C Über Integration die Stammfunktion finden.
∫ a b f ( x ) d x \displaystyle \int_a^bf\left(x\right)\operatorname{d}x ∫ a b f ( x ) d x ∫ a b 2 x 2 + x 4 d x = 2 3 b 3 + 1 5 b 5 − ( 2 3 a 3 + 1 5 a 5 ) \displaystyle \int_a^b2x^2+x^4\operatorname{d}x=\frac23b^3+\frac15b^5-\left(\frac23a^3+\frac15a^5\right) ∫ a b 2 x 2 + x 4 d x = 3 2 b 3 + 5 1 b 5 − ( 3 2 a 3 + 5 1 a 5 ) Über ein bestimmtes Integral die Fläche unter dem Funktionsgraphen zwischen zwei Werten berechnen.
- Einzeichnen der Funktion mit allen relevanten Punkten.
- Auch Grenzwerte und Wertebereich müssen stimmen.
Weitere Beispielaufgaben ▸ Polynome
▸ gebrochenrationale Funktionen
▸ e- und ln-Funktionen
Kurvendiskussion mit Parameter Bei Funktionstermen, die zusätzlich zu den Variablen noch Parameter enthalten, muss man bei einer Kurvendiskussion zusätzlich auf Fallunterscheidungen achten.
Details und ein Rechenbeispiel findet man im Artikel Kurvendiskussion mit Parameter .
