In der Kurvendiskussion werden ausgewählte Eigenschaften einer Funktion und ihres Graphen untersucht.
Bestandteile der Kurvendiskussion
Eigenschaften berechnen
Diese Liste enthält alle Eigenschaften, die man bei einer Funktion überprüfen kann:
Grenzwerte (an den Grenzen des Definitionsbereichs),
Monotonieverhalten (über die Ableitung),
Krümmungsverhalten (über die Ableitung),
Graphen skizzieren
Bei einer Kurvendiskussion kann noch zusätzlich gefragt werden, den Graphen in ein Koordinatensystem zu skizzieren. Man wählt dabei die Skalierung so, dass die errechneten Eigenschaften sichtbar eingezeichnet werden können und kennzeichnet wichtige Punkte wie die Nullstellen oder Extrema.
Beispiel
Diskutiere die Funktion .
Eigenschaft
Arbeitsweise mit der Funktion
Ergebnis
Erklärung
nicht vorhanden
- Waagrechte bei endlichen Grenzwerten im Unendlichen
- Senkrechte bei nicht hebbaren Definitionslücken
- Schräge bei Brüchen mit Zählergrad = Nennergrad + 1
Achsensymmetrisch zur y-Achse
Mit den Formeln überprüfen, ob der Funktionsgraph ein Symmetriezentrum (Punkt, Achse) hat.
steigend für
fallend für
Das Vorzeichen der ersten Ableitung gibt an, ob die Funktion steigt (+) oder fällt (-).
Minimum bei
- Wenn die erste Ableitung 0 ist, steigt der Graph weder, noch fällt er. Er besitzt eine waagerechte Tangente.
- Ist der Graph an dieser Stelle linksgekrümmt, dann ist das Extremum ein Minimum, bei Rechtskrümmung ein Maximum.
immer linksgekrümmt
Das Vorzeichen der zweiten Ableitung gibt an, ob die Funktion linksgekrümmt (+) oder rechtsgekrümmt (-) ist.
keine Wendepunkte
Wenn die zweite Ableitung 0 ist, ist der Graph an dieser Stelle nicht gekrümmt und der Graph "wendet".
-
Wenn am Wendepunkt, zusätzlich eine waagerechte Tangente liegt, dann ist er ein Terrassenpunkt.
Über ein bestimmtes Integral die Fläche unter dem Funktionsgraphen zwischen zwei Werten berechnen.
Graph skizzieren
- Einzeichnen der Funktion mit allen relevanten Punkten.
- Auch Grenzwerte und Wertebereich müssen stimmen.
Weitere Beispielaufgaben
Kurvendiskussion mit Parameter
Bei Funktionstermen, die zusätzlich zu den Variablen noch Parameter enthalten, muss man bei einer Kurvendiskussion zusätzlich auf Fallunterscheidungen achten.
Details und ein Rechenbeispiel findet man im Artikel Kurvendiskussion mit Parameter.
Hast du eine Frage?
Bitte melde dich an um diese Funktion zu benutzen.