Grenzwert bestimmen

Potenzfunktion

Für gerade und ganzzahlige $n>0n>0$ gilt:

Und für ungerade und ganzzahlige $n>0n>0$ gilt:

Für ungerade sowie gerade ganzzahlige $n>0n>0$ gilt:

Für gerade und ganzzahlige gilt:

• ${\displaystyle \underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ x>0\end{array}}{\lim }{x}^n=\mathrm{\infty }}\backslash displaystyle\; \backslash lim\_\{\backslash substack\{x\backslash to0\; \backslash \backslash \; x>\; 0\}\}\; x^n=\backslash infty$

Für ungerade und ganzzahlige gilt:

• ${\displaystyle \underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ x>0\end{array}}{\lim }{x}^n=\mathrm{\infty }}\backslash displaystyle\; \backslash lim\_\{\backslash substack\{x\backslash to0\; \backslash \backslash \; x>\; 0\}\}\; x^n=\backslash infty$

Für gerade sowie ungerade ganzzahlige gilt:

• ${\displaystyle \underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }{x}^n=0}\backslash displaystyle\; \backslash lim\_\{x\backslash rightarrow-\backslash infty\}x^n=0$

• ${\displaystyle \underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }{x}^n=0}\backslash displaystyle\; \backslash lim\_\{x\backslash rightarrow\backslash infty\}x^n=0$

Wurzelfunktion

• ${\displaystyle \underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sqrt{x}=\mathrm{\infty }}\backslash displaystyle\; \backslash lim\_\{x\backslash rightarrow\backslash infty\}\backslash sqrt\{x\}=\backslash infty$

• ${\displaystyle \underset{x\to 0}{\lim }\sqrt{x}=0}\backslash displaystyle\; \backslash lim\_\{x\backslash rightarrow0\}\backslash sqrt\{x\}=0$

Exponentialfunktion

Für reelle $a>1a>1$ gilt:

• ${\displaystyle \underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }{a}^x=0}\backslash displaystyle\; \backslash lim\_\{x\backslash rightarrow-\backslash infty\}a^x=0$

• ${\displaystyle \underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}^x=\mathrm{\infty }}\backslash displaystyle\; \backslash lim\_\{x\backslash rightarrow\backslash infty\}a^x=\backslash infty$

Für reelle a, welche im Intervall $(0;1)(0;1)$ liegen, gilt:

• ${\displaystyle \underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }{a}^x=\mathrm{\infty }}\backslash displaystyle\; \backslash lim\_\{x\backslash rightarrow-\backslash infty\}a^x=\backslash infty$

• ${\displaystyle \underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}^x=0}\backslash displaystyle\; \backslash lim\_\{x\backslash rightarrow\backslash infty\}a^x=0$

e-Funktion

Die e-Funktion ist eine Exponentialfunktion mit der eulerschen Zahl $ee$ als Basis. Die Bezeichnung wird an dieser Stelle genutzt, da sehr häufig mit e-Funktionen gearbeitet wird.

• ${\displaystyle \underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }{e}^x=0}\backslash displaystyle\; \backslash lim\_\{x\backslash rightarrow-\backslash infty\}e^x=0$

• ${\displaystyle \underset{x\to 0}{\lim }{e}^x=1}\backslash displaystyle\; \backslash lim\_\{x\backslash rightarrow\; 0\}e^x=1$

• ${\displaystyle \underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }{e}^x=\mathrm{\infty }}\backslash displaystyle\; \backslash lim\_\{x\backslash rightarrow\backslash infty\}e^x=\backslash infty$

Logarithmusfunktion

• ${\displaystyle \underset{x\to 0}{\lim }\ln (x)=-\mathrm{\infty }}\backslash displaystyle\; \backslash lim\_\{x\backslash rightarrow0\}\backslash ;\backslash ln(x)=-\backslash infty$

• ${\displaystyle \underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\ln (x)=\mathrm{\infty }}\backslash displaystyle\; \backslash lim\_\{x\backslash rightarrow\backslash infty\}\backslash ;\backslash ln(x)=\backslash infty$

Tangensfunktion

• ${\displaystyle \underset{\begin{array}{c}x\to -\frac{\pi }{2}\\ x>-\frac{\pi }{2}\end{array}}{\lim }\tan (x)=-\mathrm{\infty }}\backslash displaystyle\; \backslash lim\_\{\backslash substack\{x\backslash to-\backslash frac\{\backslash pi\}\{2\}\; \backslash \backslash \; x>\; -\backslash frac\{\backslash pi\}\{2\}\}\}\; \backslash tan(x)=-\backslash infty$

• ${\displaystyle \underset{\begin{array}{c}x\to \frac{\pi }{2}\\ x>\frac{\pi }{2}\end{array}}{\lim }\tan (x)=-\mathrm{\infty }}\backslash displaystyle\; \backslash lim\_\{\backslash substack\{x\backslash to\backslash frac\{\backslash pi\}\{2\}\; \backslash \backslash \; x>\; \backslash frac\{\backslash pi\}\{2\}\}\}\; \backslash tan(x)=-\backslash infty$

Rechenregeln

Summen, Differenzen, Produkte und Quotienten

• ${\displaystyle \underset{x\to a}{\lim }(f(x)+g(x))=\underset{x\to a}{\lim }f(x)+\underset{x\to a}{\lim }g(x)}\backslash displaystyle\; \backslash lim\_\{x\backslash rightarrow\; a\}(f(x)+g(x))=\backslash lim\_\{x\backslash rightarrow\; a\}\backslash ;f(x)+\backslash lim\_\{x\backslash rightarrow\; a\}\backslash ;g(x)$

Der Grenzwert einer Summe ist die Summe der Grenzwerte und der Grenzwert eines Produktes ist das Produkt der Grenzwerte.

• ${\displaystyle \underset{x\to a}{\lim }(f(x)-g(x))=\underset{x\to a}{\lim }f(x)-\underset{x\to a}{\lim }g(x)}\backslash displaystyle\; \backslash lim\_\{x\backslash rightarrow\; a\}(f(x)-g(x))=\backslash lim\_\{x\backslash rightarrow\; a\}\backslash ;f(x)-\backslash lim\_\{x\backslash rightarrow\; a\}\backslash ;g(x)$

• ${\displaystyle \underset{x\to a}{\lim }f(x)\cdot g(x)=\underset{x\to a}{\lim }f(x)\cdot \underset{x\to a}{\lim }g(x)}\backslash displaystyle\; \backslash lim\_\{x\backslash rightarrow\; a\}\backslash ;f(x)\backslash cdot\; g(x)=\backslash lim\_\{x\backslash rightarrow\; a\}\backslash ;f(x)\backslash cdot\backslash ;\backslash lim\_\{x\backslash rightarrow\; a\}\backslash ;g(x)$

• ${\displaystyle \underset{x\to a}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\underset{\begin{array}{c}x\to a\end{array}}{\lim }f(x)}{\underset{\begin{array}{c}x\to a\end{array}}{\lim }g(x)}}\backslash displaystyle\; \backslash lim\_\{x\backslash rightarrow\; a\}\backslash ;\backslash frac\{f(x)\}\{g(x)\}=\backslash frac\{\backslash lim\_\{\backslash substack\{x\backslash rightarrow\; a\}\}\backslash ;f(x)\}\{\backslash lim\_\{\backslash substack\{x\backslash rightarrow\; a\}\}\backslash ;g(x)\}$

Konstanter Faktor

• ${\displaystyle \underset{x\to a}{\lim }b\cdot f(x)=b\cdot \underset{x\to a}{\lim }f(x)}\backslash displaystyle\; \backslash lim\_\{x\backslash rightarrow\; a\}b\backslash cdot\; f(x)=\; b\backslash cdot\backslash lim\_\{x\backslash rightarrow\; a\}f(x)$

Der konstante Faktor $bb$ kann vor den Limes gezogen werden. Konstante Faktoren können Variablen als Platzhalter für Zahlen oder auch Zahlen selbst sein. Achtung: Damit ist aber gemeint, dass $bb$ unabhängig von $xx$ ist!

Logarithmus und e-Funktion

Bei Produkten von e-Funktionen, Polynomen und Logarithmus gilt der Merkspruch  "e-Funktion gewinnt immer, Logarithmus verliert immer", d.h. z.B., dass bei einem Grenzwert wie

• ${\displaystyle \underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }{x}^5{e}^x,}\backslash displaystyle\; \backslash lim\_\{x\backslash rightarrow-\backslash infty\}x^5e^x,$

bei dem die e-Funkion gegen $00$ und das Polynom gegen $\mathrm{\infty }\backslash infty$ geht, der Grenzwert sich nach der e-Funktion richtet:

• ${\displaystyle \underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }{x}^5{e}^x=0}\backslash displaystyle\; \backslash lim\_\{x\backslash rightarrow-\backslash infty\}x^5e^x=0$

Beim Logarithmus geht es genau andersrum, also bei dem Grenzwert

• ${\displaystyle \underset{x\to 0}{\lim }x\cdot \ln (x),}\backslash displaystyle\; \backslash lim\_\{x\backslash rightarrow0\}x\backslash cdot\; \backslash ln(x),$

bei dem das Polynom gegen $00$ geht und der Logarithmus gegen $-\mathrm{\infty }-\backslash infty$ geht, gilt

• ${\displaystyle \underset{x\to 0}{\lim }x\cdot \ln (x)=0.}\backslash displaystyle\; \backslash lim\_\{x\backslash rightarrow0\}x\backslash cdot\; \backslash ln(x)\; =\; 0.$

Regel von de L'Hospital 

Mit der Regel von de L'Hospital kann man den Grenzwert einiger Funktionen leichter bestimmen. Gerade wenn Quotienten untersucht werden und $\frac{0}{0}\backslash frac\{0\}\{0\}\backslash$zustande kommt.