Grenzwert bestimmen

Potenzfunktion

Für gerade und ganzzahlige $n>0$ gilt:

Und für ungerade und ganzzahlige $n>0$ gilt:

Für ungerade sowie gerade ganzzahlige $n>0$ gilt:

Für gerade und ganzzahlige $n<0$ gilt:

• $$\underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ x<0\end{array}}{\lim }{x}^n=\infty$$
• $$\underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ x>0\end{array}}{\lim }{x}^n=\infty$$

Für ungerade und ganzzahlige $n<0$ gilt:

• $$\underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ x<0\end{array}}{\lim }{x}^n=-\infty$$
• $$\underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ x>0\end{array}}{\lim }{x}^n=\infty$$

Für gerade sowie ungerade ganzzahlige $n<0$ gilt:

• $$\underset{x\to -\infty }{\lim }{x}^n=0$$
• $$\underset{x\to \infty }{\lim }{x}^n=0$$

Wurzelfunktion

• $$\underset{x\to \infty }{\lim }\sqrt{x}=\infty$$
• $$\underset{x\to 0}{\lim }\sqrt{x}=0$$

Exponentialfunktion

Für reelle $a>1$ gilt:

• $$\underset{x\to -\infty }{\lim }{a}^x=0$$
• $$\underset{x\to \infty }{\lim }{a}^x=\infty$$

Für reelle a, welche im Intervall $(0;1)$ liegen, gilt:

• $$\underset{x\to -\infty }{\lim }{a}^x=\infty$$
• $$\underset{x\to \infty }{\lim }{a}^x=0$$

e-Funktion

Die e-Funktion ist eine Exponentialfunktion mit der eulerschen Zahl $e$ als Basis. Die Bezeichnung wird an dieser Stelle genutzt, da sehr häufig mit e-Funktionen gearbeitet wird.

• $$\underset{x\to -\infty }{\lim }{e}^x=0$$
• $$\underset{x\to 0}{\lim }{e}^x=1$$
• $$\underset{x\to \infty }{\lim }{e}^x=\infty$$

Logarithmusfunktion

• $$\underset{x\to 0}{\lim }\ln (x)=-\infty$$
• $$\underset{x\to \infty }{\lim }\ln (x)=\infty$$

Tangensfunktion

• $$\underset{\begin{array}{c}x\to -\frac{\pi }{2}\\ x<-\frac{\pi }{2}\end{array}}{\lim }\tan (x)=\infty$$

• $$\underset{\begin{array}{c}x\to -\frac{\pi }{2}\\ x>-\frac{\pi }{2}\end{array}}{\lim }\tan (x)=-\infty$$

• $$\underset{\begin{array}{c}x\to \frac{\pi }{2}\\ x<\frac{\pi }{2}\end{array}}{\lim }\tan (x)=\infty$$

• $$\underset{\begin{array}{c}x\to \frac{\pi }{2}\\ x>\frac{\pi }{2}\end{array}}{\lim }\tan (x)=-\infty$$

Rechenregeln

Summen, Differenzen, Produkte und Quotienten

• $$\underset{x\to a}{\lim }(f(x)+g(x))=\underset{x\to a}{\lim }f(x)+\underset{x\to a}{\lim }g(x)$$

Der Grenzwert einer Summe ist die Summe der Grenzwerte und der Grenzwert eines Produktes ist das Produkt der Grenzwerte.

• $$\underset{x\to a}{\lim }(f(x)-g(x))=\underset{x\to a}{\lim }f(x)-\underset{x\to a}{\lim }g(x)$$
• $$\underset{x\to a}{\lim }f(x)\cdot g(x)=\underset{x\to a}{\lim }f(x)\cdot \underset{x\to a}{\lim }g(x)$$
• $$\underset{x\to a}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{{\lim }_{\begin{array}{c}x\to a\end{array}}f(x)}{{\lim }_{\begin{array}{c}x\to a\end{array}}g(x)}$$

Konstanter Faktor

• $$\underset{x\to a}{\lim }b\cdot f(x)=b\cdot \underset{x\to a}{\lim }f(x)$$

Der konstante Faktor $b$ kann vor den Limes gezogen werden. Konstante Faktoren können Variablen als Platzhalter für Zahlen oder auch Zahlen selbst sein. Achtung: Damit ist aber gemeint, dass $b$ unabhängig von $x$ ist!

Logarithmus und e-Funktion

Bei Produkten von e-Funktionen, Polynomen und Logarithmus gilt der Merkspruch  "e-Funktion gewinnt immer, Logarithmus verliert immer", d.h. z.B., dass bei einem Grenzwert wie

• $$\underset{x\to -\infty }{\lim }{x}^5{e}^x,$$

bei dem die e-Funkion gegen $0$ und das Polynom gegen $\infty$ geht, der Grenzwert sich nach der e-Funktion richtet:

• $$\underset{x\to -\infty }{\lim }{x}^5{e}^x=0$$

Beim Logarithmus geht es genau andersrum, also bei dem Grenzwert

• $$\underset{x\to 0}{\lim }x\cdot \ln (x),$$

bei dem das Polynom gegen $0$ geht und der Logarithmus gegen $-\infty$ geht, gilt

• $$\underset{x\to 0}{\lim }x\cdot \ln (x)=0.$$

Regel von de L'Hospital 

Mit der Regel von de L'Hospital kann man den Grenzwert einiger Funktionen leichter bestimmen. Gerade wenn Quotienten untersucht werden und $\frac{0}{0}$zustande kommt.