Regel von L'Hospital

Die Regel von de L'Hospital ist ein Hilfsmittel zum Berechnen von Grenzwerten bei Brüchen fg\frac{f}{g} von Funktionen ff und gg.

Die Regel kann nur angewendet werden, wenn folgende Voraussetzungen erfüllt sind:

  • Zähler und Nenner gehen entweder beide gegen 00 oder beide gegen + oder - unendlich

  • Der Grenzwert des Bruchs der Ableitungen limxx0f(x)g(x)\lim _{x\to x_0}\frac{f'(x)}{g'(x)} existiert.

Die Regel sagt dann:

Voraussetzung

  

Die Regel von L'Hospital kann man anwenden, wenn eine dieser Bedingungen erfüllt ist:

ODER

ODER

ODER

ODER

Anwendung

Dieses Verfahren ermöglicht oft die Bestimmung von Grenzwerten, bei denen zunächst keine Aussage möglich ist.

Beispiel 1

Der Grenzwert ist ein Bruch der zwei Funktionen f(x)=xf(x)=x und g(x)=e5xg(x)=e^{5x}. Da

ist zunächst keine Aussage möglich. Die Voraussetzungen der Regel von L'Hospital sind aber erfüllt.

Berechnung der Ableitungen ergibt:

Durch Anwendung der Regel von l'Hospital kann der Grenzwert limxxe5x\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{x}{e^{5x}} berechnet werden über:

Beispiel 2: mehrmalige Anwendung der Regel

Der Grenzwert ist ein Bruch der zwei Funktionen f(x)=x2f(x) =x^2 und g(x)=exg(x) = e^x. Berechnung ergibt

Dadurch ist zunächst keine Aussage möglich ist, jedoch sind die Voraussetzungen der Regel von L'Hospital erfüllt.

Zur Anwendung der Regel von L'Hospital benötigt man die Ableitungen der beiden Funktionen.

Nach der Regel von L'Hospital wird jetzt der Grenzwert des Bruches der Ableitungen betrachtet.

Es ist also weiterhin keine Aussage möglich, aber die Voraussetzungen der Regel von L'Hospital erfüllt.

Man leitet die Funktionen also ein weiteres Mal ab …

… und betrachtet den Grenzwert des Bruches der zweiten Ableitungen. Berechnung ergibt den Grenzwert 0, da

Diesmal lässt sich der Grenzwert bestimmen.

Nach der Regel von L'Hospital entspricht der berechnete Grenzwert dem ursprünglichen.

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