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Regel von L'Hospital

Die Regel von de L'Hospital ist ein Hilfsmittel zum Berechnen von Grenzwerten bei Brüchen fg\sf \dfrac{f}{g} von Funktionen f\sf f und g\sf g, wenn Zähler und Nenner entweder beide gegen 0 oder beide gegen (+ oder -) unendlich gehen. Wenn in einem solchen Fall auch der Grenzwert des Bruches der Ableitungen existiert, so hat dieser denselben Wert wie der ursprüngliche Grenzwert:

Voraussetzung

  

Die Regel von L'Hospital kann man anwenden, wenn eine dieser Bedingungen erfüllt ist:

  • limxx0f(x)=0\sf \lim_{x \to x_0} f(x) =0 und limxx0g(x)=0\sf \lim_{x \to x_0} g(x) =0

  • limxx0f(x)=+\sf \lim_{x \to x_0} f(x) =+\infty und limxx0g(x)=+\sf \lim_{x \to x_0} g(x) =+\infty

  • limxx0f(x)=\sf \lim_{x \to x_0} f(x) =-\infty und limxx0g(x)=\sf \lim_{x \to x_0} g(x) =-\infty

  • limxx0f(x)=+\sf \lim_{x \to x_0} f(x) =+\infty und limxx0g(x)=\sf \lim_{x \to x_0} g(x) =-\infty

  • limxx0f(x)=\sf \lim_{x \to x_0} f(x) =-\infty und limxx0g(x)=+\sf \lim_{x \to x_0} g(x) = +\infty

  

Anwendung

Dieses Verfahren ermöglicht oft die Bestimmung von Grenzwerten, bei denen zunächst keine Aussage möglich ist.

Beispiel

Der Grenzwert ist ein Bruch der zwei Funktionen f(x)=x2\sf f(x) =x^2 und g(x)=ex\sf g(x) = e^x. Berechnung ergibt

Dadurch ist zunächst keine Aussage möglich ist, jedoch sind die Voraussetzungen der Regel von L'Hospital erfüllt.

Zur Anwendung der Regel von L'Hospital benötigt man die Ableitungen der beiden Funktionen.

Nach der Regel von L'Hospital wird jetzt der Grenzwert des Bruches der Ableitungen betrachtet. Berechnung ergibt

Es ist also weiterhin keine Aussage möglich, aber die Voraussetzungen der Regel von L'Hospital erfüllt.

Man leitet die Funktionen also ein weiteres Mal ab …

… und betrachtet den Grenzwert des Bruches der zweiten Ableitungen. Berechnung ergibt den Grenzwert 0, da

Diesmal lässt sich der Grenzwert bestimmen.

Nach der Regel von L'Hospital entspricht der berechnete Grenzwert dem ursprünglichen.


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