Grenzwertbetrachtung

Verhalten im Unendlichen

   $\displaystyle\lim_{x\rightarrow\pm\infty}f(x)$   prüft das Verhalten einer Funktion (des y-Wertes), wenn sich x an $-\infty$ und $+\infty$ annähert.

Diese Darstellung beinhaltet folglich zwei Untersuchungen, die getrennt voneinander durchgeführt werden.

Bestimmung der Grenzwerte durch Ausprobieren

Man ersetzt x durch einen sehr hohen positiven und einen sehr hohen negativen Wert und betrachte, wie sich der y-Wert der Funktion dabei verhält.

Beispiel:

Gesucht ist der Grenzwert $\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)$ mit $f(x)=\frac{x^2}{x^3-1}$.

Setze große Zahlen für $x$ ein und stelle eine Vermutung über den Grenzwert auf.

Vermutung: $\displaystyle\lim _{x\rightarrow +\infty }f(x) =0$

Berechnung des Grenzwerts

Um den Grenzwert sicher korrekt zu erhalten, ist es jedoch erforderlich, den Funktionsterm mit entsprechenden, von der Art des betreffenden Terms abhängigen Methoden genauer zu untersuchen, und den Grenzwert durch Berechnen zu bestimmen.

Durch die Berechnung des Grenzwerts im Unendlichen erhält man den Wert der waagerechten Asymptote , falls vorhanden. 

Verhalten an der Definitionslücke

$\displaystyle\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)$ prüft das Verhalten einer Funktion (des y-Wertes), wenn sich $x$ der Definitionslücke $x_0$ annähert.

Linksseitiger und rechtsseitiger Grenzwert

Man kann allerdings nicht automatisch davon ausgehen, dass sich der Funktionsgraph von links und von rechts betrachtet gleich verhält.

$\displaystyle\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)$ beinhaltet also zwei Untersuchungen, die getrennt voneinander durchgeführt werden.

Das Verhalten der Funktion an der Definitionslücke muss von beiden Seiten betrachtet werden.

Ist $x_0$ zum Beispiel $2$, betrachtet man das Verhalten der Funktion bei 1,9999… und bei 2,000…1, da man sich einmal von links und einmal von rechts an den Punkt 2 annähert.

Beispiel

Verhalten an der Definitionslücke  $x=0$ der Funktion $f(x)=\frac1x$ :

Durch diese Berechnung erhält man entweder den Wert:

• einer hebbaren Definitionslücke

• oder einer senkrechte Asymptote durch eine Polstelle

• oder bei einer Funktion mit Sprung die Werte an der Unstetigkeitsstelle.

In diesem Beispiel verläuft durch die Polstelle $P(0|0)$ eine senkrechte Asymptote.