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Grenzwertbetrachtung

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Die Grenzwertbetrachtung dient dazu, das Verhalten einer Funktion und ihres Graphen entweder im Unendlichen oder an einer bestimmten Stelle (meist einer Definitionslücke) zu ermitteln.

Das funktioniert, indem man x immer näher an die gewünschten Werte annähert und dabei überprüft, wie sich die zugehörigen y-Werte der Funktion verhalten.

Verhalten im Unendlichen

   limx±f(x)\displaystyle\lim_{x\rightarrow\pm\infty}f(x)   prüft das Verhalten einer Funktion (des y-Wertes), wenn sich x an -\infty und ++\infty annähert.

 

Diese Darstellung beinhaltet folglich zwei Untersuchungen, die getrennt voneinander durchgeführt werden.

Bestimmung der Grenzwerte durch Ausprobieren

Man ersetzt x durch einen sehr hohen positiven und einen sehr hohen negativen Wert und betrachte, wie sich der y-Wert der Funktion dabei verhält.

Beispiel:

Gesucht ist der Grenzwert limx+f(x)\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x) mit f(x)=x2x31f(x)=\frac{x^2}{x^3-1}.

Setze große Zahlen für xx ein und stelle eine Vermutung über den Grenzwert auf.

xx

f(x)f(x)

1010

0,1\approx 0{,}1

100100

0,01\approx0{,}01

10001000

0,001\approx0{,}001

Vermutung: limx+f(x)=0\displaystyle\lim _{x\rightarrow +\infty }f(x) =0

Berechnung des Grenzwerts

Um den Grenzwert sicher korrekt zu erhalten, ist es jedoch erforderlich, den Funktionsterm mit entsprechenden, von der Art des betreffenden Terms abhängigen Methoden genauer zu untersuchen, und den Grenzwert durch Berechnen zu bestimmen.

Durch die Berechnung des Grenzwerts im Unendlichen erhält man den Wert der waagerechten Asymptote , falls vorhanden. 

Verhalten an der Definitionslücke

limxx0f(x)\displaystyle\lim_{x\rightarrow x_0}f(x) prüft das Verhalten einer Funktion (des y-Wertes), wenn sich xx der Definitionslücke x0x_0 annähert.

Linksseitiger und rechtsseitiger Grenzwert

Man kann allerdings nicht automatisch davon ausgehen, dass sich der Funktionsgraph von links und von rechts betrachtet gleich verhält.

limxx0f(x)\displaystyle\lim_{x\rightarrow x_0}f(x) beinhaltet also zwei Untersuchungen, die getrennt voneinander durchgeführt werden.

 

Das Verhalten der Funktion an der Definitionslücke muss von beiden Seiten betrachtet werden.

Ist x0x_0 zum Beispiel 22, betrachtet man das Verhalten der Funktion bei 1,9999… und bei 2,000…1, da man sich einmal von links und einmal von rechts an den Punkt 2 annähert.

 

Beispiel

Verhalten an der Definitionslücke  x=0x=0 der Funktion f(x)=1xf(x)=\frac1x :

Grenzwert

Das berechnet man so:

Rechtsseitiger Grenzwert:

da man hier von einem Wert knapp über null ausgeht.

Linksseitiger Grenzwert:

da man hier von einem Wert knapp unter null ausgeht.

Durch diese Berechnung erhält man entweder den Wert:

 

In diesem Beispiel verläuft durch die Polstelle P(00)P(0|0) eine senkrechte Asymptote.

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