Regel von L'Hospital

Die Regel von de L'Hospital ist ein Hilfsmittel zum Berechnen von Grenzwerten bei Brüchen $\frac{f}{g}$ von Funktionen $f$ und $g$ .

Die Regel kann nur angewendet werden, wenn folgende Voraussetzungen erfüllt sind:

Zähler und Nenner gehen entweder beide gegen $0$ oder beide gegen + oder - unendlich
Der Grenzwert des Bruchs der Ableitungen $\displaystyle\lim _{x\to x_0}\frac{f'(x)}{g'(x)}$ existiert.

Die Regel sagt dann:

\displaystyle \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to x_0}\frac{f'(x)}{g'(x)}

Voraussetzung

Die Regel von L'Hospital kann man anwenden, wenn eine dieser Bedingungen erfüllt ist:

	$\displaystyle\lim_{x \to x_0} f(x)$	$\displaystyle\lim_{x \to x_0} g(x)$
	$= 0$	$= 0$
ODER	$=+\infty$	$=+\infty$
ODER	$=-\infty$	$=-\infty$
ODER	$=+\infty$	$=-\infty$
ODER	$=-\infty$	$=+\infty$

Anwendung

Dieses Verfahren ermöglicht oft die Bestimmung von Grenzwerten, bei denen zunächst keine Aussage möglich ist.

Beispiel 1

$\displaystyle\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{x}{e^{5x}}$

Der Grenzwert ist ein Bruch der zwei Funktionen $f (x) = x$ und $g(x)=e^{5x}$ . Da

\displaystyle \lim_{x\to\infty}f(x)=\infty\text{ und }\lim_{x\to\infty}g(x)=\infty.

ist zunächst keine Aussage möglich. Die Voraussetzungen der Regel von L'Hospital sind aber erfüllt.

Berechnung der Ableitungen ergibt:

\displaystyle f'(x)=1

\displaystyle g'(x)=5e^{5x}

Durch Anwendung der Regel von l'Hospital kann der Grenzwert $\displaystyle\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{x}{e^{5x}}$ berechnet werden über:

\displaystyle \lim_{x\rightarrow\infty}\frac{x}{e^{5x}}=\lim_{x\rightarrow\infty}\underbrace{\overbrace{\frac{1}{5e^{5x}}}^{\rightarrow 1}}_{\rightarrow +\infty}=0

Beispiel 2: mehrmalige Anwendung der Regel

$\displaystyle\lim _{x\rightarrow \infty }\frac{x^2}{e^x}$

Der Grenzwert ist ein Bruch der zwei Funktionen $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = e^{x}$ . Berechnung ergibt

\displaystyle \lim_{x\to\infty}f(x)=\infty\text{ und }\lim_{x\to\infty}g(x)=\infty.

Dadurch ist zunächst keine Aussage möglich ist, jedoch sind die Voraussetzungen der Regel von L'Hospital erfüllt.

Zur Anwendung der Regel von L'Hospital benötigt man die Ableitungen der beiden Funktionen.

\displaystyle f'(x)=2x

\displaystyle g'(x) = e^x

Nach der Regel von L'Hospital wird jetzt der Grenzwert des Bruches der Ableitungen betrachtet.

\displaystyle \lim_{x \to \infty} 2x = \infty \text{ und } \lim_{x \to \infty} e^x = \infty.

Es ist also weiterhin keine Aussage möglich, aber die Voraussetzungen der Regel von L'Hospital erfüllt.

\displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{f'(x)}{g'(x)}=\lim_{x\to\infty}\frac{2x}{e^x}

Man leitet die Funktionen also ein weiteres Mal ab …

\displaystyle f''(x)=2

\displaystyle g''(x) = e^x

… und betrachtet den Grenzwert des Bruches der zweiten Ableitungen. Berechnung ergibt den Grenzwert 0, da

\displaystyle \lim_{x \to \infty} e^x = \infty.

Diesmal lässt sich der Grenzwert bestimmen.

\displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{f''(x)}{g''(x)}=\lim_{x\to\infty}\frac{2}{e^x}=0

Nach der Regel von L'Hospital entspricht der berechnete Grenzwert dem ursprünglichen.

\displaystyle \lim_{x\rightarrow\infty}\frac{x^2}{e^x}=\lim_{x\to\infty}\frac{f'(x)}{g'(x)}=\lim_{x\to\infty}\frac{f''(x)}{g''(x)}=0

Beispiel 3

Wenn der Quotient der Ableitungen keinen Grenzwert hat, sagt das nichts über den ursprünglichen Grenzwert aus. Als Beispiel kannst du diesen Grenzwert nehmen:

\displaystyle \lim_{x\to \infty}\dfrac{2x+\sin x}{2x+\cos x}

Mit der Strategie, durch den am stärksten wachsenden Term des Nenners zu kürzen, kannst du den Grenzwert berechnen:

\displaystyle \lim_{x\to \infty}\dfrac{2x+\sin x}{2x+\cos x}=\lim_{x\to\infty}\dfrac{2+\overbrace{\frac{\sin x}{x}}^{\to 0}}{2+\underbrace{\frac{\cos x}{x}}_{\to 0}}=\dfrac{2}{2}=1

Wenn du nun versuchst, die Regel von L'Hospital anzuwenden, erhältst du als Quotient der Ableitungen $\dfrac{2+\cos x}{2-\sin x}$ . Dies ist eine $2\pi$ -periodische Funktion, die nicht konstant ist und deshalb keinen Grenzwert hat.

(Z. B. wird ja für $x=2k\pi$ jeweils der Wert $\dfrac{3}{2}$ und für $x=(2k+1)\pi$ der Wert $\dfrac{1}{2}$ angenommen.)

Du siehst hier, dass du auf die Voraussetzung, dass der Quotient der Ableitungen einen Grenzwert hat, nicht verzichten darf .

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