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Regel von L'Hospital

Die Regel von de L'Hospital ist ein Hilfsmittel zum Berechnen von Grenzwerten bei Brüchen fg\frac{f}{g} von Funktionen ff und gg.

Die Regel kann nur angewendet werden, wenn folgende Voraussetzungen erfüllt sind:

  • Zähler und Nenner gehen entweder beide gegen 00 oder beide gegen + oder - unendlich

  • Der Grenzwert des Bruchs der Ableitungen limxx0f(x)g(x)\displaystyle\lim _{x\to x_0}\frac{f'(x)}{g'(x)} existiert.

Die Regel sagt dann:

limxx0f(x)g(x)=limxx0f(x)g(x)\displaystyle \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to x_0}\frac{f'(x)}{g'(x)}

Voraussetzung

  

Die Regel von L'Hospital kann man anwenden, wenn eine dieser Bedingungen erfüllt ist:

limxx0f(x)\displaystyle\lim_{x \to x_0} f(x)

limxx0g(x)\displaystyle\lim_{x \to x_0} g(x)

=0=0

=0=0

ODER

=+=+\infty

=+=+\infty

ODER

==-\infty

==-\infty

ODER

=+=+\infty

==-\infty

ODER

==-\infty

=+=+\infty

Anwendung

Dieses Verfahren ermöglicht oft die Bestimmung von Grenzwerten, bei denen zunächst keine Aussage möglich ist.

Beispiel 1

limxxe5x\displaystyle\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{x}{e^{5x}}

Der Grenzwert ist ein Bruch der zwei Funktionen f(x)=xf(x)=x und g(x)=e5xg(x)=e^{5x}. Da

limxf(x)= und limxg(x)=.\displaystyle \lim_{x\to\infty}f(x)=\infty\text{ und }\lim_{x\to\infty}g(x)=\infty.

ist zunächst keine Aussage möglich. Die Voraussetzungen der Regel von L'Hospital sind aber erfüllt.

Berechnung der Ableitungen ergibt:

f(x)=1\displaystyle f'(x)=1
g(x)=5e5x\displaystyle g'(x)=5e^{5x}

Durch Anwendung der Regel von l'Hospital kann der Grenzwert limxxe5x\displaystyle\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{x}{e^{5x}} berechnet werden über:

limxxe5x=limx15e5x1+=0\displaystyle \lim_{x\rightarrow\infty}\frac{x}{e^{5x}}=\lim_{x\rightarrow\infty}\underbrace{\overbrace{\frac{1}{5e^{5x}}}^{\rightarrow 1}}_{\rightarrow +\infty}=0

Beispiel 2: mehrmalige Anwendung der Regel

limxx2ex\displaystyle\lim _{x\rightarrow \infty }\frac{x^2}{e^x}

Der Grenzwert ist ein Bruch der zwei Funktionen f(x)=x2f(x) =x^2 und g(x)=exg(x) = e^x. Berechnung ergibt

limxf(x)= und limxg(x)=.\displaystyle \lim_{x\to\infty}f(x)=\infty\text{ und }\lim_{x\to\infty}g(x)=\infty.

Dadurch ist zunächst keine Aussage möglich ist, jedoch sind die Voraussetzungen der Regel von L'Hospital erfüllt.

Zur Anwendung der Regel von L'Hospital benötigt man die Ableitungen der beiden Funktionen.

f(x)=2x\displaystyle f'(x)=2x
g(x)=ex\displaystyle g'(x) = e^x

Nach der Regel von L'Hospital wird jetzt der Grenzwert des Bruches der Ableitungen betrachtet.

limx2x= und limxex=.\displaystyle \lim_{x \to \infty} 2x = \infty \text{ und } \lim_{x \to \infty} e^x = \infty.

Es ist also weiterhin keine Aussage möglich, aber die Voraussetzungen der Regel von L'Hospital erfüllt.

limxf(x)g(x)=limx2xex\displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{f'(x)}{g'(x)}=\lim_{x\to\infty}\frac{2x}{e^x}

Man leitet die Funktionen also ein weiteres Mal ab …

f(x)=2\displaystyle f''(x)=2
g(x)=ex\displaystyle g''(x) = e^x

… und betrachtet den Grenzwert des Bruches der zweiten Ableitungen. Berechnung ergibt den Grenzwert 0, da

limxex=.\displaystyle \lim_{x \to \infty} e^x = \infty.

Diesmal lässt sich der Grenzwert bestimmen.

limxf(x)g(x)=limx2ex=0\displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{f''(x)}{g''(x)}=\lim_{x\to\infty}\frac{2}{e^x}=0

Nach der Regel von L'Hospital entspricht der berechnete Grenzwert dem ursprünglichen.

limxx2ex=limxf(x)g(x)=limxf(x)g(x)=0\displaystyle \lim_{x\rightarrow\infty}\frac{x^2}{e^x}=\lim_{x\to\infty}\frac{f'(x)}{g'(x)}=\lim_{x\to\infty}\frac{f''(x)}{g''(x)}=0

Beispiel 3

Wenn der Quotient der Ableitungen keinen Grenzwert hat, sagt das nichts über den ursprünglichen Grenzwert aus. Als Beispiel kannst du diesen Grenzwert nehmen:

limx2x+sinx2x+cosx\displaystyle \lim_{x\to \infty}\dfrac{2x+\sin x}{2x+\cos x}

Mit der Strategie, durch den am stärksten wachsenden Term des Nenners zu kürzen, kannst du den Grenzwert berechnen:

limx2x+sinx2x+cosx=limx2+sinxx02+cosxx0=22=1\displaystyle \lim_{x\to \infty}\dfrac{2x+\sin x}{2x+\cos x}=\lim_{x\to\infty}\dfrac{2+\overbrace{\frac{\sin x}{x}}^{\to 0}}{2+\underbrace{\frac{\cos x}{x}}_{\to 0}}=\dfrac{2}{2}=1

Wenn du nun versuchst, die Regel von L'Hospital anzuwenden, erhältst du als Quotient der Ableitungen 2+cosx2sinx\dfrac{2+\cos x}{2-\sin x}. Dies ist eine 2π2\pi-periodische Funktion, die nicht konstant ist und deshalb keinen Grenzwert hat.

(Z. B. wird ja für x=2kπx=2k\pi jeweils der Wert 32\dfrac{3}{2} und für x=(2k+1)πx=(2k+1)\pi der Wert 12\dfrac{1}{2} angenommen.)

Du siehst hier, dass du auf die Voraussetzung, dass der Quotient der Ableitungen einen Grenzwert hat, nicht verzichten darf .

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