Regel von L'Hospital

Die Regel von de L'Hospital ist ein Hilfsmittel zum Berechnen von Grenzwerten bei Brüchen $\frac{f}{g}$ von Funktionen $f$ und $g$ .

Die Regel kann nur angewendet werden, wenn folgende Voraussetzungen erfüllt sind:

Zähler und Nenner gehen entweder beide gegen $0$ oder beide gegen + oder - unendlich
Der Grenzwert des Bruchs der Ableitungen $\lim_{x \to x_{0}} \frac{f^{'} (x)}{g^{'} (x)}$ existiert.

Die Regel sagt dann:

\lim_{x \to x_{0}} \frac{f (x)}{g (x)} = \lim_{x \to x_{0}} \frac{f^{'} (x)}{g^{'} (x)}

Voraussetzung

Die Regel von L'Hospital kann man anwenden, wenn eine dieser Bedingungen erfüllt ist:

	$\lim_{x \to x_{0}} f (x)$	$\lim_{x \to x_{0}} g (x)$
	$= 0$	$= 0$
ODER	$= + \infty$	$= + \infty$
ODER	$= - \infty$	$= - \infty$
ODER	$= + \infty$	$= - \infty$
ODER	$= - \infty$	$= + \infty$

Anwendung

Dieses Verfahren ermöglicht oft die Bestimmung von Grenzwerten, bei denen zunächst keine Aussage möglich ist.

Beispiel 1

$\lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^{5 x}}$

Der Grenzwert ist ein Bruch der zwei Funktionen $f (x) = x$ und $g (x) = e^{5 x}$ . Da

\lim_{x \to \infty} f (x) = \infty und \lim_{x \to \infty} g (x) = \infty .

ist zunächst keine Aussage möglich. Die Voraussetzungen der Regel von L'Hospital sind aber erfüllt.

Berechnung der Ableitungen ergibt:

f^{'} (x) = 1

g^{'} (x) = 5 e^{5 x}

Durch Anwendung der Regel von l'Hospital kann der Grenzwert $\lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^{5 x}}$ berechnet werden über:

\lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^{5 x}} = \lim_{x \to \infty} \underset{\to + \infty}{\underset{⏟}{\overset{\to 1}{\overset{⏞}{\frac{1}{5 e^{5 x}}}}}} = 0

Beispiel 2: mehrmalige Anwendung der Regel

$\lim_{x \to \infty} \frac{x^{2}}{e^{x}}$

Der Grenzwert ist ein Bruch der zwei Funktionen $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = e^{x}$ . Berechnung ergibt

\lim_{x \to \infty} f (x) = \infty und \lim_{x \to \infty} g (x) = \infty .

Dadurch ist zunächst keine Aussage möglich ist, jedoch sind die Voraussetzungen der Regel von L'Hospital erfüllt.

Zur Anwendung der Regel von L'Hospital benötigt man die Ableitungen der beiden Funktionen.

f^{'} (x) = 2 x

g^{'} (x) = e^{x}

Nach der Regel von L'Hospital wird jetzt der Grenzwert des Bruches der Ableitungen betrachtet.

\lim_{x \to \infty} 2 x = \infty und \lim_{x \to \infty} e^{x} = \infty .

Es ist also weiterhin keine Aussage möglich, aber die Voraussetzungen der Regel von L'Hospital erfüllt.

\lim_{x \to \infty} \frac{f^{'} (x)}{g^{'} (x)} = \lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{e^{x}}

Man leitet die Funktionen also ein weiteres Mal ab …

f^{''} (x) = 2

g^{''} (x) = e^{x}

… und betrachtet den Grenzwert des Bruches der zweiten Ableitungen. Berechnung ergibt den Grenzwert 0, da

\lim_{x \to \infty} e^{x} = \infty .

Diesmal lässt sich der Grenzwert bestimmen.

\lim_{x \to \infty} \frac{f^{''} (x)}{g^{''} (x)} = \lim_{x \to \infty} \frac{2}{e^{x}} = 0

Nach der Regel von L'Hospital entspricht der berechnete Grenzwert dem ursprünglichen.

\lim_{x \to \infty} \frac{x^{2}}{e^{x}} = \lim_{x \to \infty} \frac{f^{'} (x)}{g^{'} (x)} = \lim_{x \to \infty} \frac{f^{''} (x)}{g^{''} (x)} = 0

Beispiel 3

Wenn der Quotient der Ableitungen keinen Grenzwert hat, sagt das nichts über den ursprünglichen Grenzwert aus. Als Beispiel kannst du diesen Grenzwert nehmen:

\lim_{x \to \infty} \frac{2 x + \sin x}{2 x + \cos x}

Mit der Strategie, durch den am stärksten wachsenden Term des Nenners zu kürzen, kannst du den Grenzwert berechnen:

\lim_{x \to \infty} \frac{2 x + \sin x}{2 x + \cos x} = \lim_{x \to \infty} \frac{2 + \overset{\to 0}{\overset{⏞}{\frac{\sin x}{x}}}}{2 + \underset{\to 0}{\underset{⏟}{\frac{\cos x}{x}}}} = \frac{2}{2} = 1

Wenn du nun versuchst, die Regel von L'Hospital anzuwenden, erhältst du als Quotient der Ableitungen $\frac{2 + \cos x}{2 - \sin x}$ . Dies ist eine $2 π$ -periodische Funktion, die nicht konstant ist und deshalb keinen Grenzwert hat.

(Z. B. wird ja für $x = 2 k π$ jeweils der Wert $\frac{3}{2}$ und für $x = (2 k + 1) π$ der Wert $\frac{1}{2}$ angenommen.)

Du siehst hier, dass du auf die Voraussetzung, dass der Quotient der Ableitungen einen Grenzwert hat, nicht verzichten darf .

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