Stammfunktion finden

Eine Stammfunktion $F\left(x\right)$ einer Funktion $f\left(x\right)$ ergibt abgeleitet wieder die ursprüngliche Funktion $f\left(x\right)$ .

Das unbestimmte Integral $\int_{ }^{ }f(x)dx$ ergibt alle Stammfunktionen der Funktion $f\left(x\right)$ .

Um es zu lösen, kannst du auf Integraltabellen, die Rechenregeln für Integrale und fortgeschrittene Integrationsmethoden wie beispielsweise die partielle Integration und Substitution zurückgreifen.

Häufig vorkommende Stammfunktionen kannst du dir aus Integraltabellen merken.

Wichtige Stammfunktionen

Funktionsart	$f(x)$	Stammfunktion von $f$
konstante Funktion	$f\left(x\right)=k$	$F\left(x\right)=k\cdot x+C$
Potenzfunktion	$f(x)=kx^n$ mit $k \in\mathbb{R}; n\in\mathbb{R}\backslash\{-1\}$	$F(x)=\frac{k}{n+1}x^{n+1}+C$
Hyperbel	$f\left(x\right)=\frac1x = x^{-1}$	$F\left(x\right)=\ln\vert x\vert+C$
e-Funktion	$f\left(x\right)=e^x$	$F\left(x\right)=e^x+C$
ln-Funktion	$f(x)=\ln(x)$	$F(x)=-x+x\cdot\ln(x)+C$
Sinus	$f\left(x\right)=\sin\left(x\right)$	$F\left(x\right)=-\cos\left(x\right)+C$
Kosinus	$f\left(x\right)=\cos\left(x\right)$	$F\left(x\right)=\sin\left(x\right)+C$

Weitere (in der Schule nicht gebräuchliche) Stammfunktionen

Funktion $f$	Stammfunktion von $f$
$f(x)=\tan(x)$	$F(x)=-\ln\vert\cos(x)\vert+C$
$f(x)=\frac{1}{\sin^2(x)}$	$F(x)=-\cot(x)+C$
$f(x)=\frac{1}{\cos^2(x)}$	$F\left(x\right)=\tan\left(x\right)+C$
$f\left(x\right)=\frac1{1+x^2}$	$F\left(x\right)=\arctan\left(x\right)+C$
$f(x)=a^x$ mit $a \in \mathbb{R}^+ \setminus \{1\}$	$F(x)=\frac{a^x}{\ln(a)}+C$

Weitere Stammfunktionen kannst du ausführlicheren Integraltabellen entnehmen.

Hinweis: Eine Funktion hat nicht nur eine, sondern unendlich viele Stammfunktionen. Dies wird durch die Konstante $C$ verdeutlicht. So ist beispielsweise

\displaystyle F_1\left(x\right)=-\cos\left(x\right)

zwar eine Stammfunktion von $f\left(x\right)=\sin\left(x\right)$ , aber genauso ist auch

\displaystyle F_1\left(x\right)=-\cos\left(x\right)

eine weitere Stammfunktion. Mehr Erläuterungen findest du im Artikel zu Stammfunktionen.

Beispiele

Wir suchen die Stammfunktion der Funktion $f\left(x\right)=\sin\left(x\right)$ .

Lösung:

$F\left(x\right)=-\cos\left(x\right)+C$

Wir wollen die Stammfunktionen der Funktion $f\left(x\right)=6x^4$ finden.

Lösung:

$F\left(x\right)=\frac{6}{5}x^5+C$

Rechenregeln für Integrale

Summenregel

Steht eine Summe oder Differenz von Funktionen im Integral, darfst du gliedweise integrieren.

Beispiel 1

$\int_{ }^{ }x^2+xdx$

Der Integrand ist $x^2+x$ . Er besteht also aus zwei Funktionen $x^2$ und $x$ , die durch ein Plus verknüpft sind. Daher darfst du dieses Integral in zwei einzelne Integrale aufsplitten und anschließend einzeln integrieren. Hierfür kannst du die Regeln aus den oberen Tabellen verwenden.

$\int_{ }^{ }x^2+xdx=\int_{ }^{ }x^2dx+\int_{ }^{ }xdx$

Beispiel 2

$\int_{ }^{ }\cos(x)-\sin(x)dx$

Auch dieses Integral darfst du auf zwei Integrale aufteilen, weil der Integrand eine Differenz aus zwei Funktionen ist.

$\int{\cos(x)-\sin(x) dx}=\int{\cos(x)dx}-\int{\sin(x)dx}$

Vorsicht!

$\int{e^x \cdot x^2 dx}$

Dieses Integral darfst du hingegen nicht zu $\int{e^x dx}\cdot \int{x^2 dx}$ aufsplitten, weil der Integrand ein Produkt zweier Funktionen ist und keine Summe.

Faktorregel

Konstante Faktoren $c \in \R$ bleiben bei der Integration erhalten:

$\int{c \cdot f(x) dx}=c \cdot \int{f(x) dx}$

Beispiel

$\int_{ }^{ }3\sin(x)dx$

Der Integrand $f(x)=3\sin(x)$ besteht aus $\sin(x)$ , der mit dem konstanten Faktor $3$ multipliziert wird. Weil die $3$ eine reelle Zahl ist, dürfen wir sie vor das Integral ziehen. Die Stammfunktion von $\sin(x)$ kannst du der oberen Tabelle entnehmen.

$\int_{ }^{ }3\sin(x)dx=3\int_{ }^{ }\sin(x)dx$

Vorsicht!

$\int{3x \cdot \cos(x) dx}$

Hier wird die Funktion $\cos(x)$ mit $3x$ multipliziert. $3x$ ist kein konstanter Vorfaktor. Deshalb darfst du nicht schreiben: $3x \cdot \int{\cos(x) dx}$ .

Beispiele

Wir wollen das unbestimmte Integral $\int_{ }^{ }\frac{5}{x}dx$ berechnen.

Lösung:

$\int_{ }^{ }\frac{5}{x}dx=5\cdot\ln|x|+C$

Berechne das unbestimmte Integral $\int_{ }^{ }3x^4-x^2dx$

$\int_{ }^{ }3x^4-x^2dx=\frac{3}{5}x^5-\frac{1}{3}x^3+C$

Nutzung von bekannten Ableitungen

Es gilt: Findet man eine Funktion $F$ , deren Ableitung gleich $f$ ist, so ist $F$ eine Stammfunktion von $f$ .

Wir überlegen uns also als ersten Schritt, ob die Funktion $f$ die Ableitung irgendeiner Funktion ist, die wir kennen. Denn dann können wir uns zunutze machen, dass die Ableitung der Stammfunktion immer die Funktion selbst ergibt: $F'(x)=f(x)$

Geschicktes Raten

Außerdem kannst du versuchen, die gesuchte Stammfunktion $F$ der Funktion $f$ geschickt zu erraten. Zur Überprüfung deiner Vermutung leitest du die Stammfunktion ab - entspricht die Ableitung der Funktion $f$ war deine Vermutung richtig. Ansonsten kannst du die Vermutung ergänzen, bis das Ergebnis stimmt.

Fortgeschrittene Integrationsmethoden

Des Weiteren stehen fortgeschrittene, in der Schule selten benötigte, Integrationsmethoden wie die partielle Integration, die Substitution oder die Partialbruchzerlegung zur Verfügung. Mit diesen lassen sich auch kompliziertere Integrale oft lösen.

Partielle Integration

\displaystyle F_1\left(x\right)=-\cos\left(x\right)

Die partielle Integration ist das Analogon zur Produktregel beim Ableiten. Mit ihr kann man also Funktionen integrieren, die sich als Produkt von zwei Faktoren $u\left(x\right)$ und $v'\left(x\right)\$ schreiben lassen.

Mit der obenstehenden Formel kann das Integral umgeformt werden, sodass nun die Ableitung von $u\left(x\right)$ , sowie die Aufleitung von $v'\left(x\right)$ im "neuen" Integral stehen. Zielführend ist die partielle Integration daher nur dann, wenn sich $u\left(x\right)$ beim Ableiten und $v'\left(x\right)$ beim Aufleiten vereinfachen. Mehr Informationen findest du in dem Artikel zur partiellen Integration.

Substitution

\displaystyle F_1\left(x\right)=-\cos\left(x\right)

Mit der Integration durch Substitution lassen sich verkettete Funktionen integrieren, also Funktionen, die sich in eine innere und äußere Funktion aufteilen lassen. Die Kettenregel beim Ableiten bildet die Grundlage der Integration durch Substitution.

Ein Beispiel hierfür wäre $f\left(x\right)=\sin\left(2x\right)$ . In diesem Fall ersetzt man die innere Funktion $2x$ durch die Substitutionsvariable $u$ , also $u=2x$ . Um auch das Differential $dx$ an die neue Variable $u$ anzupassen, leitet man $u$ nach $x$ ab: $\frac{du}{dx}=2$ . Nun löst man diesen Bruch nach $dx$ auf, also $dx=\frac{1}{2}du$ und ersetzt im Integral $dx$ hierdurch. Anschließend kann ganz "normal" integriert und zum Schluss rücksubstituiert werden. Mehr Informationen findest du im Artikel zur Integration durch Substitution.

Bemerkung

Wir behandeln $\frac{du}{dx}$ so, als wäre es ein Bruch (z.B. weil wir nach $dx$ auflösen), obwohl es sich hierbei um die sogenannte Leibniz-Notation der Ableitung - also einfach eine andere Schreibweise der Ableitung - handelt.

Der Missbrauch dieser Notation als Bruch ist mathematisch nicht einwandfrei, sondern dient allein als Merkregel zur Veranschaulichung der Rechenschritte. Es lässt sich allerdings vielfach beweisen, dass die eigentlich inkorrekte Rechnung mit $\frac{du}{dx}$ als Bruch dennoch die richtigen Ergebnisse liefert.

Logarithmische Integration

\displaystyle F_1\left(x\right)=-\cos\left(x\right)

Die logarithmische Integration ist ein Sonderfall der Substitution. Steht im Integranden ein Bruch mit einer Funktion $f\left(x\right)$ im Nenner und deren Ableitung $f'\left(x\right)$ im Zähler, ist die gesuchte Stammfunktion $\ln|f\left(x\right)|$ .

Beispiel

\displaystyle \int_{ }^{ }\frac{2x-3}{x^2-3x+5}dx

=

\displaystyle \ln|f(x)|

Genaueres findest du ebenfalls im Artikel zur Integration durch Substitution.

Partialbruchzerlegung

Eine weitere Möglichkeit zur Integration gebrochen rationaler Funktionen stellt die Partialbruchzerlegung dar. Hierbei wird die Funktion in mehrere Brüche mit leichter zu integrierenden Nennern aufgesplittet, sodass anschließend jeder Bruch einzeln integriert werden kann.

Beispiel

$\int{\frac{-17x^2 + 22x - 6}{-6x^3 + 17x^2 - 11x + 2}dx}=\int{\frac{1}{2x-1}dx}+\int{\frac{1}{3x-1}dx}+\int{\frac{2}{x-2}dx}$

Genauere Erklärungen findest du im Artikel zur Partialbruchzerlegung.

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