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Allgemeine Potenzfunktion

Eine Potenzfunktion ist eine Funktion, deren Funktionsterm die Form f(x)=a⋅xsf(x)=a\cdot x^s mit a,s∈Ra,s\in ℝ hat.

Beispiele

f(x)=x2f(x)=x^2  

g(x)=2x−5=2x5g(x)=2x^{-5}=\frac{2}{x^5}

h(x)=x−12=1xh(x)=x^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{\sqrt{x}}

p(x)=15xp(x)=\frac 15 x

Der Graph einer Potenzfunktion sieht für verschiedene Werte von aa und ss sehr unterschiedlich aus. Beispielsweise kann er ein Graph eines Polynoms (z.B. eine Gerade oder eine Parabel), einer Hyperbel oder der Graph einer Wurzelfunktion sein.

Bild

Definitionsbereich

Ist ss nicht aus den ganzen Zahlen, dann ist xsx^s für negative Zahlen nicht definiert, d.h. im Definitionsbereich sind nur positive Zahlen. Ist s<0s<0, so ist.xs=1x−sx^s=\frac{1}{x^{-s}}. Da 0 nicht im Nenner stehen darf, ist die Funktion für x=0x=0 nicht definiert, d.h. die Null muss aus dem Definitionsbereich genommen werden.

Maximaler Definitionsbereich von Potenzfunktionen:

s∈Zs\in \mathbb Z

s∉Zs \notin \mathbb Z

s≥0\bold{s\geq 0}

R\mathbb R

R0+\mathbb R_0^+

s<0\bold{s< 0}

R\{0}\mathbb R\backslash \{0\}

R+\mathbb R^+

Animation

für s∈Zs\in \mathbb Z

In der folgenden Animation siehst du, wie sich der Graph verändert für verschiedene Wert von aa und ss mit s∈Zs\in \mathbb Z. Verwende den orangen und türkisen Schieberegler, um Werte von aa und ss zu verändern.

für s∈Rs\in \mathbb R

In dieser Animation siehst du ebenfalls, wie sich der Graph verändert für verschiedene Wert von aa und ss. Hier ist ss jedoch nicht nur aus den ganzen Zahlen, sondern s∈Rs\in \mathbb R. Verwende den orangen und lila Schieberegler, um Werte von aa und ss zu verändern.

Spezialfälle

ss

aa

Beispiel

Spezialform von

s∈Z,s<0s\in \mathbb Z, s<0

a∈Ra\in\mathbb R

f(x)=5⋅x−3f(x)=5\cdot x^{-3}

s=0s=0

a∈Ra\in\mathbb R

f(x)=7f(x)=7

konstante Funktion

s=1s=1

a∈Ra\in\mathbb R

f(x)=18xf(x)=\frac1 8x

s∈Z,s>0s\in \mathbb Z, s>0

a∈Ra\in\mathbb R

f(x)=3x2f(x)=3x^2

s=1n,n∈Ns=\frac1n, n\in \mathbb N

a∈Ra\in\mathbb R

f(x)=13x15f(x)=1 3x^{\frac15}

s∈Z\boldsymbol {s\in \mathbb Z} und s<0\boldsymbol{s<0}

Der Graph ist an der Polstelle 0 zweigeteilt (nicht stetig). Ist der Exponent ungerade, gibt es dort einen Vorzeichenwechsel, bei geradem Exponenten nicht.

Die Funktion ist eine besondere gebrochen-rationale Funktion mit einem konstanten Term im Zähler f(x)=axtf(x)=\frac a {x^t} (mit t∈Z,t>0t\in \mathbb Z, t>0).

Beispiel:

f(x)=4⋅x−2=4⋅1x2=4x2f(x)=4\cdot x^{-2}=4\cdot \frac 1{x^2}=\frac 4 {x^2}

Bild

s=0\boldsymbol {s=0}

Die Funktion verläuft konstant mit dem y-Wert aa, da x0=1x^0=1 und a⋅x0  =aa\cdot x^{0\;}=a. Die Funktion ist eine konstante Funktion.

Beispiel:

f(x)=12⋅x0=12⋅1=12f(x)=12\cdot x^0=12\cdot 1=12

Bild

s=1\boldsymbol {s=1}

f(x)f(x) ist eine lineare Funktion der Form: f(x)=a⋅xf(x)=a\cdot x .

Bild

s∈Z\boldsymbol{s\in \mathbb Z} und s>0\boldsymbol{s>0}

Die Funktion ist ein Polynom mit nur einem Summanden.

Beispiel:

f(x)=7x2f(x)=7x^2

Bild

s=1n\boldsymbol s\boldsymbol=\frac{\mathbf1}{\mathbf n} mit n∈N\boldsymbol {n \in \mathbb N}

Die Funktion wird Potenzfunktion mit rationalem Exponenten genannt und kann zu einer Wurzelfunktion umgeformt werden.

f(x)=a⋅xs=a⋅x1n=a⋅xnf(x)=a\cdot x^s=a\cdot x^{\frac 1n}=a\cdot \sqrt[n]{x}

Beispiel:

s=13, a=1s=\frac{1}{3},\ a=1:

f(x)=1⋅x13=1⋅x3=x3f(x)=1\cdot x^{\frac{1}{3}}=1\cdot\sqrt[3]{x}=\sqrt[3]{x}

Bild

Ableitung    

Die Ableitung der Potenzfunkton f(x)=a⋅xsf\left(x\right)=a\cdot x^s berechnest du so:

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