Allgemeine Potenzfunktion

Eine Potenzfunktion ist eine Funktion, deren Funktionsterm die Form f(x)=axsf(x)=a\cdot x^s mit a,sRa,s\in ℝ hat.

Beispiele

f(x)=x2f(x)=x^2  

Der Graph einer Potenzfunktion sieht für verschiedene Werte von aa und ss sehr unterschiedlich aus. Beispielsweise kann er ein Graph eines Polynoms (z.B. eine Gerade oder eine Parabel), einer Hyperbel oder der Graph einer Wurzelfunktion sein.

Definitionsbereich

Ist ss nicht aus den ganzen Zahlen, dann ist xsx^s für negative Zahlen nicht definiert, d.h. im Definitionsbereich sind nur positive Zahlen. Ist s<0s<0, so ist xs=1xsx^s=\frac{1}{x^{-s}}. Da 0 nicht im Nenner stehen darf, ist die Funktion für x=0x=0 nicht definiert, d.h. die Null muss aus dem Definitionsbereich genommen werden.

Maximaler Definitionsbereich von Potenzfunktionen:

Animation

für sZs\in \mathbb Z

In der folgenden Animation siehst du, wie sich der Graph verändert für verschiedene Wert von aa und ss mit sZs\in \mathbb Z. Verwende den orangen und türkisen Schieberegler, um Werte von aa und ss zu verändern.

für sRs\in \mathbb R

In dieser Animation siehst du ebenfalls, wie sich der Graph verändert für verschiedene Wert von aa und ss. Hier ist ss jedoch nicht nur aus den ganzen Zahlen, sondern sRs\in \mathbb R. Verwende den orangen und lila Schieberegler, um Werte von aa und ss zu verändern.

Spezialfälle

Beispiel

Spezialform von

gebrochen-rationale Funktion

konstante Funktion

lineare Funktion

Polynom

Wurzelfunktion

sZ\boldsymbol {s\in \mathbb Z} und s<0\boldsymbol{s<0}

Der Graph ist an der Polstelle 0 zweigeteilt (nicht stetig). Ist der Exponent ungerade, gibt es dort einen Vorzeichenwechsel, bei geradem Exponenten nicht.

Die Funktion ist eine besondere gebrochen-rationale Funktion mit einem konstanten Term im Zähler f(x)=axtf(x)=\frac a {x^t} (mit tZ,t>0t\in \mathbb Z, t>0).

Beispiel:

Die Funktion verläuft konstant mit dem y-Wert aa, da x0=1x^0=1 und ax0  =aa\cdot x^{0\;}=a. Die Funktion ist eine konstante Funktion.

Beispiel:

f(x)=12x0=121=12f(x)=12\cdot x^0=12\cdot 1=12

f(x)f(x) ist eine lineare Funktion der Form: f(x)=axf(x)=a\cdot x .

sZ\boldsymbol{s\in \mathbb Z} und s>0\boldsymbol{s>0}

Die Funktion ist ein Polynom mit nur einem Summanden.

Beispiel:

s=1n\boldsymbol s\boldsymbol=\frac{\mathbf1}{\mathbf n} mit nN\boldsymbol {n \in \mathbb N}

Die Funktion wird Potenzfunktion mit rationalem Exponent genannt und kann zu einer Wurzelfunktion umgeformt werden.

Beispiel:

s=13, a=1s=\frac{1}{3},\ a=1:

Ableitung    

Die Ableitung der Potenzfunkton f(x)=axsf\left(x\right)=a\cdot x^s berechnest du so:


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