Wurzelfunktion

Wurzelfunktionen sind Potenzfunktionen in der Form, dass die Variable unter einer Wurzel steht. Sie bilden damit die Umkehrfunktionen zu Potenzfuktionen der Form f(x)=xnf(x)=x^n mit  nNn\in\mathbb{N} .

 

Ihre einfachste Form ist:

f(x)=  xn=x1n    mit    nN,      xR0+  {f\left(x\right)=\;\sqrt[n]x=x^\frac1n\;\;\mathrm{mit}\;\;n\in ℕ,\;\;\;x\in\mathbb{R}_0^+\;}

Die bekanntesten Wurzelfunktionen sind die "zweite" und die "dritte" Wurzel.

f(x)=x2=x          und          g(x)=x3f\left(x\right)=\sqrt[2]x=\sqrt x\;\;\;\;\;\mathrm{und}\;\;\;\;\;g\left(x\right)=\sqrt[3]x

(Bei der zweiten Wurzel wird meist die kleine 2 weggelassen.)

Graphen der ersten Wurzelfunktionen

Grenzwerte und Monotonie

Grenzwerte

Auch wenn die Wurzelfunktionen vergleichsweise "klein" sind, sie also weniger stark wachsen, als alle Geraden und Potenzfunktionen , ist ihr Grenzwert im Unendlichen stets unendlich. Beachte dabei, dass hier xx gegen unendlich geht, und nicht nn.

  

limxxn={\lim_{x\rightarrow\infty}\sqrt[n]x=\infty}

   

Am linken Rand des Definitionsbereichs gehen die Wurzelfunktionen gegen 0:  limx0xn=0\lim_{x\rightarrow0}\sqrt[n]x=0 .

    

Monotonie

Wurzelfunktionen sind streng monoton steigend

      

Ableitungen

Die Ableitungen der Wurzelfunktion lassen sich mit den Ableitungsregeln für Polynome berechnen

 

1. Ableitung

Allgemein:

(xn)=(x1n)=1nx1n1=1nx1nn=1nx1nn\left(\sqrt[n]x\right)^`=\left(x^\frac1n\right)^`=\frac1nx^{\frac1n-1}=\frac1nx^\frac{1-n}n=\frac1n\sqrt[n]{x^{1-n}}

Spezialfall n=2n=2:

(x)=(x12)=12x121=12x12=12x\left(\sqrt x\right)^`=\left(x^\frac12\right)^`=\frac12x^{\frac12-1}=\frac12x^{-\frac12}=\frac1{2\sqrt x}

 

2. Ableitung

Spezialfall n=2n=2:

(12x)=(12x12)=14x121=14x32=14x3\left(\frac1{2\sqrt{\mathrm x}}\right)^`=\left(\frac12\mathrm x^{-\frac12}\right)^`=-\frac14\mathrm x^{-\frac12-1}=-\frac14\mathrm x^{-\frac32}=\frac1{4\sqrt{\mathrm x^3}}

 

 

Stammfunktion

Die Stammfunktion der Wurzelfunktion f(x)=xn=x1nf\left(x\right)=\sqrt[n]x=x^\frac1n lautet

F(x)=nn+1xn+1nF\left(x\right)=\frac n{n+1}x^\frac{n+1}n .

 

Spezialfall n=2n=2:

F(x)=23x32=23x3\mathrm F\left(\mathrm x\right)=\frac23\mathrm x^\frac32=\frac23\sqrt{\mathrm x^3}


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