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Wurzelfunktion

Wurzelfunktionen sind Potenzfunktionen in der Form, dass die Variable unter einer Wurzel steht. Sie bilden damit die Umkehrfunktionen zu Potenzfunktionen der Form f(x)=xn mit  n.

 

Ihre einfachste Form ist:

f(x)=xn=x1nmitn,x0+

Die bekanntesten Wurzelfunktionen sind die "zweite" und die "dritte" Wurzel.

f(x)=x2=xundg(x)=x3

(Bei der zweiten Wurzel wird meist die kleine 2 weggelassen.)

Graphen der ersten Wurzelfunktionen

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/9285_wRU7USKTAS.xml

Grenzwerte und Monotonie

Grenzwerte

Auch wenn die Wurzelfunktionen vergleichsweise "klein" sind - sie also weniger stark wachsen als alle Geraden und Potenzfunktionen - ist ihr Grenzwert im Unendlichen stets unendlich. Beachte dabei, dass hier x gegen unendlich geht, und nicht n.

limxxn=

Am linken Rand des Definitionsbereichs gehen die Wurzelfunktionen gegen 0

limx0xn=0

Monotonie

Wurzelfunktionen sind streng monoton steigend.       

Ableitungen

Die Ableitungen der Wurzelfunktion lassen sich mit den Ableitungsregeln für Polynome berechnen.

 

1. Ableitung

Allgemein:

(xn)=(x1n)

Wende die Ableitungsregel für Polynome an.

=1nx1n1

Nun kannst du noch ein wenig umformen.

=1nx1nn
=1nx1nn

Beispiel für n=2:

(x)=(x12)
=12x121
=12x12
=12x

2. Ableitung

Die zweite Ableitung berechnet sich durch das Ableiten der 1. Ableitung. Für n=2 wäre das:

(x)=(12x)
=(12x12)
=14x121
=14x32
=14x3

 Stammfunktion

Die Stammfunktion der Wurzelfunktion f(x)=xn=x1n lautet

F(x)=nn+1xn+1n

Beispiel für n=2:

F(x)=23x32=23x3

Übungsaufgaben

Weitere Aufgaben zum Thema findest du im folgenden Aufgabenordner:
Aufgaben zu Potenz- und Wurzelfunktionen

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