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Wurzelfunktion

Wurzelfunktionen sind Potenzfunktionen in der Form, dass die Variable unter einer Wurzel steht. Sie bilden damit die Umkehrfunktionen zu Potenzfunktionen der Form f(x)=xnf(x)=x^n mit  nNn\in\mathbb{N}.

 

Ihre einfachste Form ist:

f(x)=  xn=x1n    mit    nN,      xR0+  {f\left(x\right)=\;\sqrt[n]x=x^\frac1n\;\;\mathrm{mit}\;\;n\in ℕ,\;\;\;x\in\mathbb{R}_0^+\;}

Die bekanntesten Wurzelfunktionen sind die "zweite" und die "dritte" Wurzel.

f(x)=x2=x          und          g(x)=x3f\left(x\right)=\sqrt[2]x=\sqrt x\;\;\;\;\;\mathrm{und}\;\;\;\;\;g\left(x\right)=\sqrt[3]x

(Bei der zweiten Wurzel wird meist die kleine 2 weggelassen.)

Graphen der ersten Wurzelfunktionen

Grenzwerte und Monotonie

Grenzwerte

Auch wenn die Wurzelfunktionen vergleichsweise "klein" sind - sie also weniger stark wachsen als alle Geraden und Potenzfunktionen - ist ihr Grenzwert im Unendlichen stets unendlich. Beachte dabei, dass hier xx gegen unendlich geht, und nicht nn.

Am linken Rand des Definitionsbereichs gehen die Wurzelfunktionen gegen 00

Monotonie

Wurzelfunktionen sind streng monoton steigend.       

Ableitungen

Die Ableitungen der Wurzelfunktion lassen sich mit den Ableitungsregeln für Polynome berechnen.

 

1. Ableitung

Allgemein:

(xn)\displaystyle \left(\sqrt[n]{x}\right)'==(x1n)\displaystyle \left(x^{\frac{1}{n}}\right)'

Wende die Ableitungsregel für Polynome an.

==1nx1n1\displaystyle \frac{1}{n}x^{\frac{1}{n}-1}

Nun kannst du noch ein wenig umformen.

==1nx1nn\displaystyle \frac{1}{n}x^{\frac{1-n}{n}}
==1nx1nn\displaystyle \frac{1}{n}\sqrt[n]{x^{1-n}}

Beispiel für n=2n=2:

(x)\displaystyle \left(\sqrt x\right)'==(x12)\displaystyle \left(x^\frac12\right)'
==12x121\displaystyle \frac12x^{\frac12-1}
==12x12\displaystyle \frac12x^{-\frac12}
==12x\displaystyle \frac1{2\sqrt x}

2. Ableitung

Die zweite Ableitung berechnet sich durch das Ableiten der 1. Ableitung. Für n=2n=2 wäre das:

(x)\displaystyle \left(\sqrt x\right)''==(12x)\displaystyle \left(\frac1{2\sqrt{\mathrm x}}\right)'
==(12x12)\displaystyle \left(\frac12\mathrm x^{-\frac12}\right)'
==14x121\displaystyle -\frac14\mathrm x^{-\frac12-1}
==14x32\displaystyle -\frac14\mathrm x^{-\frac32}
==14x3\displaystyle \frac1{4\sqrt{\mathrm x^3}}

 Stammfunktion

Die Stammfunktion der Wurzelfunktion f(x)=xn=x1nf\left(x\right)=\sqrt[n]x=x^\frac1n lautet

Beispiel für n=2n=2:

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Übungsaufgaben

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Aufgaben zu Potenz- und Wurzelfunktionen

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