Wurzelfunktion

Wurzelfunktionen sind Potenzfunktionen in der Form, dass die Variable unter einer Wurzel steht. Sie bilden damit die Umkehrfunktionen zu Potenzfunktionen der Form $f (x) = x^{n}$ mit $n\in\mathbb{N}$ .

Ihre einfachste Form ist:

${f\left(x\right)=\;\sqrt[n]x=x^\frac1n\;\;\mathrm{mit}\;\;n\in ℕ,\;\;\;x\in\mathbb{R}_0^+\;}$

Die bekanntesten Wurzelfunktionen sind die "zweite" und die "dritte" Wurzel.

$f\left(x\right)=\sqrt[2]x=\sqrt x\;\;\;\;\;\mathrm{und}\;\;\;\;\;g\left(x\right)=\sqrt[3]x$

(Bei der zweiten Wurzel wird meist die kleine 2 weggelassen.)

Graphen der ersten Wurzelfunktionen

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/9285_wRU7USKTAS.xml

Grenzwerte und Monotonie

Grenzwerte

Auch wenn die Wurzelfunktionen vergleichsweise "klein" sind - sie also weniger stark wachsen als alle Geraden und Potenzfunktionen - ist ihr Grenzwert im Unendlichen stets unendlich. Beachte dabei, dass hier $x$ gegen unendlich geht, und nicht $n$ .

\displaystyle \lim_{x\rightarrow\infty}\sqrt[n]{x}=\infty

Am linken Rand des Definitionsbereichs gehen die Wurzelfunktionen gegen $0$ :

\displaystyle \lim_{x\rightarrow0}\sqrt[n]{x}=0

Monotonie

Wurzelfunktionen sind streng monoton steigend.

Ableitungen

Die Ableitungen der Wurzelfunktion lassen sich mit den Ableitungsregeln für Polynome berechnen.

1. Ableitung

Allgemein:

$\displaystyle \left(\sqrt[n]{x}\right)'$	$=$	$\displaystyle \left(x^{\frac{1}{n}}\right)'$
	↓	Wende die Ableitungsregel für Polynome an.
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{n}x^{\frac{1}{n}-1}$
	↓	Nun kannst du noch ein wenig umformen.
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{n}x^{\frac{1-n}{n}}$
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{n}\sqrt[n]{x^{1-n}}$

Beispiel für $n = 2$ :

$\displaystyle \left(\sqrt x\right)'$	$=$	$\displaystyle \left(x^\frac12\right)'$
	$=$	$\displaystyle \frac12x^{\frac12-1}$
	$=$	$\displaystyle \frac12x^{-\frac12}$
	$=$	$\displaystyle \frac1{2\sqrt x}$

2. Ableitung

Die zweite Ableitung berechnet sich durch das Ableiten der 1. Ableitung. Für $n = 2$ wäre das:

$\displaystyle \left(\sqrt x\right)''$	$=$	$\displaystyle \left(\frac1{2\sqrt{\mathrm x}}\right)'$
	$=$	$\displaystyle \left(\frac12\mathrm x^{-\frac12}\right)'$
	$=$	$\displaystyle -\frac14\mathrm x^{-\frac12-1}$
	$=$	$\displaystyle -\frac14\mathrm x^{-\frac32}$
	$=$	$\displaystyle \frac1{4\sqrt{\mathrm x^3}}$

Stammfunktion

Die Stammfunktion der Wurzelfunktion $f\left(x\right)=\sqrt[n]x=x^\frac1n$ lautet

\displaystyle F\left(x\right)=\frac n{n+1}x^\frac{n+1}n

Beispiel für $n = 2$ :

\displaystyle \mathrm F\left(\mathrm x\right)=\frac23\mathrm x^\frac32=\frac23\sqrt{\mathrm x^3}

Übungsaufgaben: Wurzelfunktion

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Aufgaben zu Potenz- und Wurzelfunktionen

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