Höhere Wurzel

Anders gesagt: Die Lösung der Gleichung $x^n=a$ bezeichnet man als $\sqrt[n]a$ .

Zum Beispiel ist $\sqrt[3]{27}=3$ , denn $3^3=27$ .

Wurzeln aus negativen Zahlen sind nicht zugelassen, da es für $n$ gerade die Gleichung $x^n=a$ keine Lösung gibt, weil die gerade Potenz einer reellen Zahl nie negativ werden kann. Zwar gibt es für $n$ ungerade eine Gleichung $x^n=a$ für negative $a$, allerdings gelten dann die Potenzgesetze teilweise nicht mehr.

z.B: $\sqrt[4]{-1}$ ist nicht definiert, denn $x^4=\left(x^2\right)^2=-1$ besitzt keine Lösung in den reellen Zahlen.

z.B. $-2\;=\;\sqrt[3]{-8}\;\neq\;\sqrt[6]{(-8)^2}\;=\sqrt[6]{64}\;=\;\sqrt[3]8\;=2$

Im Falle $\mathrm n=2$ spricht man von der Quadratwurzel und schreibt statt $\sqrt[2]a$ einfach $\sqrt a$ .

Was ist was bei der n-ten Wurzel?

Beispiele

1. $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}\sqrt[3]{125}=5\end{array}$, denn $5^3=125$.

2. $\sqrt[4]{-3}$ ist nicht definiert, denn $x^4=\left(x^2\right)^2=-3$ besitzt keine Lösung in den reellen Zahlen.

3. $\sqrt[4]{48}=\sqrt[4]3\cdot2$, denn $48\;=\;3\;\cdot\;16$, wobei $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}2^4\;=\;16\end{array}$ und $\sqrt[4]3$ sich nicht vereinfachen lässt.

Rechenregeln