Aufgaben zu Potenzen mit rationalen und reellen Exponenten

1

Gib jeweils den Potenzwert ohne Verwendung des Taschenrechners an.

$\begin{array}{l} 8^{\frac{2}{3}} \end{array}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzen
$8^{\frac{2}{3}}$ $=$
↓
In Wurzelschreibweise schreiben
$=$ $\sqrt[3]{8^{2}}$
$=$ $\sqrt[3]{64}$
↓
Die 3. Wurzel aus 64 ziehen
$=$ $4$
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$4^{- \frac{1}{2}}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzen
$4^{- \frac{1}{2}}$ $=$
↓
In Wurzelschreibweise und als Bruch schreiben
$=$ $\frac{1}{\sqrt{4}}$
↓
Die Wurzel aus $4$ ziehen
$=$ $\frac{1}{2}$
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$\sqrt[7]{128}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzen
$\sqrt[7]{128}$ $=$ $2$
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$1024^{- \frac{3}{10}}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzen
$1024^{- \frac{3}{10}}$ $=$
↓
Verwende $1024 = 2^{10}$
$=$ ${(2^{10})}^{- \frac{3}{10}}$
↓
Potenzgesetz anwenden.
$=$ $2^{- \frac{10 \cdot 3}{10}}$
↓
Kürzen und Potenzgesetz anwenden
$=$ $\frac{1}{2^{3}}$
$=$ $\frac{1}{8}$
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${0,04}^{\frac{3}{2}}$

${0,04}^{\frac{3}{2}}$ $=$
↓
Verwende $a^{\frac{1}{2}} = \sqrt{a}$ .
$=$ ${\sqrt{0,04}}^{3}$
↓
Verwende $\sqrt{0,04} = 0,2$
$=$ ${0,2}^{3}$
$=$ $0,008$
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$\sqrt[4]{0,0001}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzen
$\sqrt[4]{0,0001}$ $=$
↓
Verwende $0,0001 = {0,1}^{4}$
$=$ $\sqrt[4]{{0,1}^{4}}$
↓
Potenz und Wurzel heben sich auf
$=$ $0,1$
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${(\sqrt[3]{512})}^{2}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzen
${(\sqrt[3]{512})}^{2}$ $=$
↓
Verwende $512 = 8^{3}$
$=$ ${(\sqrt[3]{8^{3}})}^{2}$
↓
Potenz und Wurzel heben sich auf
$=$ $8^{2}$
$=$ $64$
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$8^{- 0,2} : {0,25}^{- 0,2}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzen
$8^{- 0,2} : {0,25}^{- 0,2}$ $=$
↓
Potenzgesetz anwenden
$=$ ${(\frac{8}{0,25})}^{- 0,2}$
$=$ $32^{- 0,2}$
↓
Potenzgesetz anwenden. Umformen des Exponenten in einen Bruch.
$=$ $\frac{1}{32^{\frac{1}{5}}}$
↓
Verwende $32 = 2^{5}$
$=$ $\frac{1}{{(2^{5})}^{\frac{1}{5}}}$
↓
Potenzgesetz anwenden
$=$ $\frac{1}{2^{\frac{5}{5}}} = \frac{1}{2^{1}} = \frac{1}{2}$
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2

Fasse so weit wie möglich zusammen.

$\sqrt[3]{z \cdot \sqrt[4]{\frac{1}{z}}}$

$\sqrt[3]{8 e^{6}} \cdot {(e^{\frac{3}{5}})}^{- \frac{10}{3}}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzieren
$\sqrt[3]{8 e^{6}} \cdot {(e^{\frac{3}{5}})}^{- \frac{10}{3}}$ $=$
↓
Verwende $\sqrt[3]{a} = a^{\frac{1}{3}}$ .
$=$ ${(8 e^{6})}^{\frac{1}{3}} \cdot {(e^{\frac{3}{5}})}^{- \frac{10}{3}}$
↓
Potenzgesetz anwenden.
$=$ $2 e^{2} \cdot e^{- 2}$
$=$ $2 \cdot e^{2 + (- 2)}$
$=$ $2 \cdot e^{0}$
↓
Potenzgesetz anwenden.
$=$ $2$
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$y^{1 \frac{1}{2}} \cdot y^{- 0,75} \cdot {(\sqrt[4]{y})}^{5}$

$u^{- 0,5} : (u^{- \frac{1}{3}} \cdot u^{- \frac{1}{6}})$

3

Sind die folgenden Terme äquivalent?

${(\sqrt[4]{x})}^{2}$ und $\sqrt[4]{x^{2}}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzen und Wurzeln
Die Terme sind nicht äquivalent, weil $\sqrt[4]{x}$ nur für $x \geq 0$ definiert ist, aber in $\sqrt[4]{x^{2}}$ jedes reelle $x$ eingesetzt werden kann. Beschränkt man sich auf positive $x$ , so sind die Terme äquivalent:
${(\sqrt[4]{x})}^{2} \overset{?}{=} \sqrt[4]{x^{2}}$
Potenzgesetze anwenden.
${(x^{\frac{1}{4}})}^{2} = {(x^{2})}^{\frac{1}{4}}$
$x^{\frac{1}{4} \cdot 2}$ $=$ $x^{2 \cdot \frac{1}{4}}$
↓
Exponenten ausmultiplitzieren.
$x^{\frac{2}{4}}$ $=$ $x^{\frac{2}{4}}$
↓
Kürzen.
$x^{\frac{1}{2}}$ $=$ $x^{\frac{1}{2}}$
In Wurzelschreibweise darstellen.
$\sqrt{x} = \sqrt{x}$
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4

Bestimme die Lösung der Gleichung.

$\sqrt[5]{x} = 3$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzieren
$\sqrt[5]{x}$ $=$ $3$ $↑ 5$
↓
Beide Seiten mit $5$ potenzieren.
$(\sqrt[5]{x})^{5}$ $=$ $3^{5}$
↓
Potenziere.
$x$ $=$ $243$
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$\sqrt[5]{x} = - 3$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzieren
$\sqrt[5]{x}$ $=$ $- 3$ $↑ 5$
↓
Mit $5$ potenzieren.
$(\sqrt[5]{x})^{5}$ $=$ $(- 3)^{5}$
↓
Potenziere.
$x$ $=$ $- 243$
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$x^{\frac{3}{2}} = 27$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzieren
$x^{\frac{3}{2}}$ $=$ $27$
↓
Schreibe $x^{\frac{3}{2}}$ in Wurzelschreibweise um.
${\sqrt{x}}^{3}$ $=$ $27$ $\sqrt[3]{}$
↓
Ziehe auf beiden Seiten die dritte Wurzel.
$\sqrt[3]{(\sqrt{x})^{3}}$ $=$ $\sqrt[3]{27}$
$\sqrt{x}$ $=$ $3$ $↑ 2$
↓
Quadriere.
$x$ $=$ $9$
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$x^{- \frac{2}{3}} = \frac{1}{8}$

$x^{- \frac{1}{2}} < \frac{1}{2}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzieren
$x^{- \frac{1}{2}}$ $<$ $\frac{1}{2}$
↓
$x^{- \frac{1}{2}}$ in Wurzelschreibweise umschreiben.
$\sqrt{x^{- 1}}$ $<$ $\frac{1}{2}$
↓
$x^{- 1}$ in Bruchschreibweise umschreiben.
Es gilt: $x^{- m} = \frac{1}{x^{m}}$
$\sqrt{\frac{1}{x}}$ $<$ $\frac{1}{2}$ $↑ 2$
↓
Auf beiden Seiten quadrieren.
$(\sqrt{\frac{1}{x}})^{2}$ $<$ $(\frac{1}{2})^{2}$
$\frac{1}{x}$ $<$ $\frac{1}{4}$ $\cdot 4 \cdot x$
$4$ $<$ $x$
$\Rightarrow x > 4$
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$\sqrt[3]{2 x - 1} = 2$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzieren
$\sqrt[3]{2 x - 1}$ $=$ $2$ $↑ 3$
↓
Beide Seiten mit 3 potenzieren.
${(\sqrt[3]{2 x - 1})}^{3}$ $=$ $2^{3}$
$2 x - 1$ $=$ $8$ $+ 1$
↓
Gleichung nach x auflösen.
$2 x$ $=$ $9$ $: 2$
$x$ $=$ $4,5$
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${(2 x + 1)}^{- 3} = 8$

${(2 x + 3)}^{- 4} = 0,0625$

5

Vereinfache folgende Wurzelterme so weit wie möglich.

${(\sqrt[6]{8} \cdot 8^{\frac{1}{2}})}^{4}$

$\sqrt{x^{\frac{1}{6}} x^{- \frac{1}{2}}} (x > 0)$

$\sqrt[3]{a^{- 2}} - 3 \sqrt[6]{a^{- 4}}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzen
$\sqrt[3]{a^{- 2}} - 3 \sqrt[6]{a^{- 4}}$ $=$
↓
Potenzgesetze anwenden.
$=$ $a^{- \frac{2}{3}} - 3 a^{- \frac{4}{6}}$
↓
Die Potenz von $3 a$ mit $2$ kürzen
$=$ $a^{- \frac{2}{3}} - 3 a^{- \frac{2}{3}}$
↓
Basen zusammenfassen
$=$ $- 2 a^{- \frac{2}{3}}$
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$\sqrt[4]{a^{3} \cdot \sqrt[3]{a^{2} \cdot \sqrt{a}}}$

$\sqrt[3]{80 x^{4}} - 2 x \sqrt[6]{100 x^{2}}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzen
$\sqrt[3]{80 x^{4}} - 2 x \sqrt[6]{100 x^{2}}$ $=$
↓
Zerlege in Faktoren und radiziere teilweise.
$=$ $\sqrt[3]{8 \cdot 10 x^{3} \cdot x} - 2 x \sqrt[3]{\sqrt[2]{100 x^{2}}}$
$=$ $2 x \sqrt[3]{10 x} - 2 x \sqrt[3]{10 x}$
$=$ $0$
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$\sqrt[3]{a^{2}} : {(\sqrt{a})}^{3}$

$\sqrt{t \sqrt{t \sqrt{t}}}$

$(\sqrt{u + v} + \sqrt{u - v}) \cdot (\sqrt{u + v} - \sqrt{u - v})$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzen
$(\sqrt{u + v} + \sqrt{u - v}) \cdot (\sqrt{u + v} - \sqrt{u - v})$ $=$
↓
Def.: $u + v$ und $u - v \geq 0$
$(\sqrt{u + v} + \sqrt{u - v}) \cdot (\sqrt{u + v} - \sqrt{u - v})$ $=$
↓
Binomische Formel anwenden.
$=$ $(u + v) - (u - v)$
↓
Klammer auflösen
$=$ $u + v - u + v$
$=$ $2 v$
↓
Def.: $u + v$ und $u - v \geq 0$
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$\sqrt{(x^{2} - 1) (x - 1)} : \sqrt{x + 1}$

$\sqrt{m \cdot \sqrt[3]{m}} \cdot \sqrt[3]{m \cdot \sqrt{m}} \cdot \sqrt[6]{m}$

$\frac{{(x - 1)}^{2 n + 1}}{{(\sqrt{1 - x})}^{2 n + 2}}$

$\sqrt{\frac{a}{2 - a}} \cdot \sqrt{2 a - a^{2}}$ mit $[a \in [0; 2]$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzen
$\sqrt{\frac{a}{2 - a}} \cdot \sqrt{2 a - a^{2}}$ $=$
↓
Im 2. Faktor $a$ ausklammern
$=$ $\sqrt{\frac{a}{2 - a}} \cdot \sqrt{\frac{a (2 - a)}{1}}$
↓
Multiplikation.
$=$ $\sqrt{\frac{a^{2} \cdot (2 - a)}{(2 - a) \cdot 1}}$
↓
Kürze $2 - a$
$=$ $\sqrt{a^{2}} = a$
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$\sqrt{\frac{a}{3 b}} : \sqrt{\frac{b^{3}}{27 a}}$ ( $a$ und $b$ sind jeweils positiv)

$\sqrt{{xy}^{2}} \cdot \sqrt{\frac{8}{y^{2}}} - \sqrt{2 x}$ ( $x$ und $y$ sind jeweils positiv)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzen
$\sqrt{{xy}^{2}} \cdot \sqrt{\frac{8}{y^{2}}} - \sqrt{2 x}$ $=$
↓
Multiplikation
$=$ $\sqrt{\frac{x y^{2} \cdot 8}{y^{2}}} - \sqrt{2 x}$
↓
Mit $y^{2}$ kürzen
$=$ $\sqrt{8 x} - \sqrt{2 x}$
↓
Teilweise radizieren
$=$ $2 \sqrt{2 x} - \sqrt{2 x}$
$=$ $\sqrt{2 x}$
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$\sqrt{{xy}^{2}} \cdot \sqrt{\frac{8}{y^{2}}} - 2 \sqrt{x}$ (dabei sind $x$ und $y$ jeweils positiv)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzen
$\sqrt{{xy}^{2}} \cdot \sqrt{\frac{8}{y^{2}}} - 2 \sqrt{x}$ $=$ $\sqrt{\frac{x y^{2} \cdot 8}{y^{2}}} - 2 \sqrt{x}$
↓
Mit $y^{2}$ kürzen.
$=$ $\sqrt{8 x} - 2 \sqrt{x}$
↓
Teilweise radizieren.
$=$ $2 \sqrt{2 x} - 2 \sqrt{x}$
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$\sqrt{{xy}^{2}} \cdot \sqrt{\frac{8}{y^{2}}} - x \sqrt{2}$ ( $x$ und $y$ sind jeweils positiv)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzen
$\sqrt{{xy}^{2}} \cdot \sqrt{\frac{8}{y^{2}}} - x \sqrt{2}$ $=$
$=$ $\sqrt{\frac{x y^{2} \cdot 8}{y^{2}}} - x \sqrt{2}$
↓
Mit $y^{2}$ kürzen
$=$ $\sqrt{8 x} - x \sqrt{2}$
↓
Teilweise radizieren
$=$ $2 \sqrt{8 x} - x \sqrt{2}$
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$x^{- \frac{2}{3}}$	$=$	$\frac{1}{8}$
	↓	$x^{- \frac{2}{3}}$ in Wurzelschreibweise umschreiben.
$\sqrt[3]{x^{- 2}}$	$=$	$\frac{1}{8}$	$↑ 3$
	↓	Beide Seiten mit $3$ potenzieren.
$x^{- 2}$	$=$	$(\frac{1}{8})^{3}$
$x^{- 2}$	$=$	$\frac{1}{8^{3}}$
$x^{- 2}$	$=$	$\frac{1}{512}$
	↓	$x^{- 2}$ in Bruchschreibweise umschreiben. $\Rightarrow$ Für $x$ mit negativen Exponenten gilt immer : $x^{- n} = \frac{1}{x^{n}}$
$\frac{1}{x^{2}}$	$=$	$\frac{1}{512}$	$\cdot x^{2} : 512$
	↓	Über Kreuz multiplizieren.
$x^{2}$	$=$	$512$	$\sqrt{}$
	↓	Auf beiden Seiten Wurzel ziehen.
$x$	$=$	$\pm \sqrt{512}$
	↓	$512 = 16 \cdot 16 \cdot 2$
$x$	$=$	$\pm \sqrt{16^{2} \cdot 2}$
$x$	$=$	$\pm 16 \sqrt{2}$

${(2 x + 1)}^{- 3}$	$=$	$8$
	↓	Schreibe den negativen Exponenten in einen Bruch um.
$\frac{1}{{(2 x + 1)}^{3}}$	$=$	$8$	$\cdot (2 x + 1)^{3}$
$1$	$=$	$8 \cdot (2 x + 1)^{3}$	$\sqrt[3]{}$
	↓	Ziehe auf beiden Seiten die dritte Wurzel.
$\sqrt[3]{1}$	$=$	$\sqrt[3]{8 \cdot (2 x + 1)^{3}}$
	↓	Schreibe das Produkt im Radikanten in 2 Wurzeln um.
$1$	$=$	$\sqrt[3]{8} \cdot \sqrt[3]{(2 x + 1)^{3}}$
	↓	Ziehe die dritte Wurzel.
$1$	$=$	$2 \cdot (2 x + 1)$
	↓	Ausmultiplizieren.
$1$	$=$	$4 x + 2$	$- 2$
$4 x$	$=$	$- 1$	$: 4$
$x$	$=$	$- 0,25$

$(2 x + 3)^{- 4}$	$=$	$0,0625$
	↓	Dezimalzahl in Bruch umschreiben.
$(2 x + 3)^{- 4}$	$=$	$\frac{1}{16}$
	↓	Schreibe $(2 x + 3)^{-} 4$ als Bruch um.
$\frac{1}{{(2 x + 3)}^{4}}$	$=$	$\frac{1}{16}$	$\cdot 16 \cdot (2 x + 3)^{4}$
	↓	$\frac{1}{16}$ in Potenzschreibweise schreiben.
$(2 x + 3)^{4}$	$=$	$16$	$\sqrt[4]{}$
	↓	Auf beiden Seiten die vierte Wurzel ziehen. Vierte Wurzel und hoch 4 heben sich auf. Wegen möglicher negativer Zahlen, Betragsstriche einfügen.
$2 x + 3$	$=$	$\sqrt[4]{16}$
$2 x + 3$	$=$	$\pm 2$

$8^{\frac{2}{3}}$	$=$
	↓	In Wurzelschreibweise schreiben
	$=$	$\sqrt[3]{8^{2}}$
	$=$	$\sqrt[3]{64}$
	↓	Die 3. Wurzel aus 64 ziehen
	$=$	$4$

$4^{- \frac{1}{2}}$	$=$
	↓	In Wurzelschreibweise und als Bruch schreiben
	$=$	$\frac{1}{\sqrt{4}}$
	↓	Die Wurzel aus $4$ ziehen
	$=$	$\frac{1}{2}$

$1024^{- \frac{3}{10}}$	$=$
	↓	Verwende $1024 = 2^{10}$
	$=$	${(2^{10})}^{- \frac{3}{10}}$
	↓	Potenzgesetz anwenden.
	$=$	$2^{- \frac{10 \cdot 3}{10}}$
	↓	Kürzen und Potenzgesetz anwenden
	$=$	$\frac{1}{2^{3}}$
	$=$	$\frac{1}{8}$

${0,04}^{\frac{3}{2}}$	$=$
	↓	Verwende $a^{\frac{1}{2}} = \sqrt{a}$ .
	$=$	${\sqrt{0,04}}^{3}$
	↓	Verwende $\sqrt{0,04} = 0,2$
	$=$	${0,2}^{3}$
	$=$	$0,008$

$\sqrt[4]{0,0001}$	$=$
	↓	Verwende $0,0001 = {0,1}^{4}$
	$=$	$\sqrt[4]{{0,1}^{4}}$
	↓	Potenz und Wurzel heben sich auf
	$=$	$0,1$

${(\sqrt[3]{512})}^{2}$	$=$
	↓	Verwende $512 = 8^{3}$
	$=$	${(\sqrt[3]{8^{3}})}^{2}$
	↓	Potenz und Wurzel heben sich auf
	$=$	$8^{2}$
	$=$	$64$

$8^{- 0,2} : {0,25}^{- 0,2}$	$=$
	↓	Potenzgesetz anwenden
	$=$	${(\frac{8}{0,25})}^{- 0,2}$
	$=$	$32^{- 0,2}$
	↓	Potenzgesetz anwenden. Umformen des Exponenten in einen Bruch.
	$=$	$\frac{1}{32^{\frac{1}{5}}}$
	↓	Verwende $32 = 2^{5}$
	$=$	$\frac{1}{{(2^{5})}^{\frac{1}{5}}}$
	↓	Potenzgesetz anwenden
	$=$	$\frac{1}{2^{\frac{5}{5}}} = \frac{1}{2^{1}} = \frac{1}{2}$

$\sqrt[3]{z \cdot \sqrt[4]{\frac{1}{z}}}$	$=$
	↓	Potenzgesetze anwenden.
	$=$	$\sqrt[3]{z \cdot \frac{\sqrt[4]{1}}{\sqrt[4]{z}}}$
	↓	Zu einem Bruch zusammenfassen.
	$=$	$\sqrt[3]{z \cdot \frac{1}{\sqrt[4]{z}}}$
	$=$	$\sqrt[3]{\frac{z}{\sqrt[4]{z}}}$
	↓	Potenzgesetze anwenden.
	$=$	$\frac{\sqrt[3]{z}}{\sqrt[3]{\sqrt[4]{z}}}$
	$=$	$\frac{\sqrt[3]{z}}{\sqrt[3]{z^{\frac{1}{4}}}}$
	$=$	$\frac{\sqrt[3]{z}}{{(z^{\frac{1}{4}})}^{\frac{1}{3}}}$
	$=$	$\frac{\sqrt[3]{z}}{z^{\frac{1}{12}}}$
	$=$	$\frac{z^{\frac{1}{3}}}{z^{\frac{1}{12}}}$
	$=$	$z^{\frac{1}{3} - \frac{1}{12}}$
	↓	Exponenten auf gleichen Nenner bringen also $\frac{1}{3}$ mit $4$ erweitern .
	$=$	$z^{\frac{4}{12} - \frac{1}{12}}$
	↓	Exponenten subtrahieren.
	$=$	$z^{\frac{3}{12}}$
	↓	Exponent kürzen.
	$=$	$z^{\frac{1}{4}}$
	↓	Potenzgesetze anwenden.
	$=$	$\sqrt[4]{z}$

$\sqrt[3]{8 e^{6}} \cdot {(e^{\frac{3}{5}})}^{- \frac{10}{3}}$	$=$
	↓	Verwende $\sqrt[3]{a} = a^{\frac{1}{3}}$ .
	$=$	${(8 e^{6})}^{\frac{1}{3}} \cdot {(e^{\frac{3}{5}})}^{- \frac{10}{3}}$
	↓	Potenzgesetz anwenden.
	$=$	$2 e^{2} \cdot e^{- 2}$
	$=$	$2 \cdot e^{2 + (- 2)}$
	$=$	$2 \cdot e^{0}$
	↓	Potenzgesetz anwenden.
	$=$	$2$

$y^{1 \frac{1}{2}} \cdot y^{- 0,75} \cdot {(\sqrt[4]{y})}^{5}$	$=$
	↓	Exponenten in ganze Brüche umformen.
	$=$	$y^{\frac{3}{2}} \cdot y^{- \frac{3}{4}} \cdot {(\sqrt[4]{y})}^{5}$
	↓	Verwende $\sqrt[4]{y} = y^{\frac{1}{4}}$ .
	$=$	$y^{\frac{3}{2}} \cdot y^{- \frac{3}{4}} \cdot {(y^{\frac{1}{4}})}^{5}$
	↓	Potenzgesetze anwenden.
	$=$	$y^{\frac{3}{2}} \cdot y^{- \frac{3}{4}} \cdot y^{\frac{5}{4}}$
	$=$	$y^{\frac{3}{2} + (- \frac{3}{4}) + \frac{5}{4}}$
	↓	Hauptnenner bilden $(4) .$
	$=$	$y^{\frac{6}{4} - \frac{3}{4} + \frac{5}{4}}$
	$=$	$y^{2}$

$x^{\frac{1}{4} \cdot 2}$	$=$	$x^{2 \cdot \frac{1}{4}}$
	↓	Exponenten ausmultiplitzieren.
$x^{\frac{2}{4}}$	$=$	$x^{\frac{2}{4}}$
	↓	Kürzen.
$x^{\frac{1}{2}}$	$=$	$x^{\frac{1}{2}}$

$\sqrt[5]{x}$	$=$	$- 3$	$↑ 5$
	↓	Mit $5$ potenzieren.
$(\sqrt[5]{x})^{5}$	$=$	$(- 3)^{5}$
	↓	Potenziere.
$x$	$=$	$- 243$

$\sqrt[3]{80 x^{4}} - 2 x \sqrt[6]{100 x^{2}}$	$=$
	↓	Zerlege in Faktoren und radiziere teilweise.
	$=$	$\sqrt[3]{8 \cdot 10 x^{3} \cdot x} - 2 x \sqrt[3]{\sqrt[2]{100 x^{2}}}$
	$=$	$2 x \sqrt[3]{10 x} - 2 x \sqrt[3]{10 x}$
	$=$	$0$

$(\sqrt{u + v} + \sqrt{u - v}) \cdot (\sqrt{u + v} - \sqrt{u - v})$	$=$
	↓	Def.: $u + v$ und $u - v \geq 0$
$(\sqrt{u + v} + \sqrt{u - v}) \cdot (\sqrt{u + v} - \sqrt{u - v})$	$=$
	↓	Binomische Formel anwenden.
	$=$	$(u + v) - (u - v)$
	↓	Klammer auflösen
	$=$	$u + v - u + v$
	$=$	$2 v$
	↓	Def.: $u + v$ und $u - v \geq 0$

$u^{- 0,5} : (u^{- \frac{1}{3}} \cdot u^{- \frac{1}{6}})$	$=$
	↓	Potenzgesetze anwenden.
	$=$	$\frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} : (\frac{1}{u^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{1}{u^{\frac{1}{6}}})$
	↓	Klammer zusammenfassen. Wegen Division mit Kehrbruch multiplizieren .
	$=$	$\frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{u^{\frac{1}{3}} \cdot u^{\frac{1}{6}}}{1}$
	↓	Zu einem Bruch zusammenfassen.
	$=$	$\frac{u^{\frac{1}{3}} \cdot u^{\frac{1}{6}}}{u^{\frac{1}{2}}}$
	↓	Potenzgesetze anwenden.
	$=$	$\frac{u^{\frac{1}{3} + \frac{1}{6}}}{u^{\frac{1}{2}}}$
	↓	Nenner erweitern.
	$=$	$\frac{u^{\frac{2}{6} + \frac{1}{6}}}{u^{\frac{1}{2}}}$
	↓	Exponenten summieren.
	$=$	$\frac{u^{\frac{3}{6}}}{u^{\frac{1}{2}}}$
	↓	Exponent kürzen.
	$=$	$\frac{u^{\frac{1}{2}}}{u^{\frac{1}{2}}}$
	↓	Dividieren.
	$=$	$1$

$\sqrt[5]{x}$	$=$	$3$	$↑ 5$
	↓	Beide Seiten mit $5$ potenzieren.
$(\sqrt[5]{x})^{5}$	$=$	$3^{5}$
	↓	Potenziere.
$x$	$=$	$243$

$x^{\frac{3}{2}}$	$=$	$27$
	↓	Schreibe $x^{\frac{3}{2}}$ in Wurzelschreibweise um.
${\sqrt{x}}^{3}$	$=$	$27$	$\sqrt[3]{}$
	↓	Ziehe auf beiden Seiten die dritte Wurzel.
$\sqrt[3]{(\sqrt{x})^{3}}$	$=$	$\sqrt[3]{27}$
$\sqrt{x}$	$=$	$3$	$↑ 2$
	↓	Quadriere.
$x$	$=$	$9$

$x^{- \frac{1}{2}}$	$<$	$\frac{1}{2}$
	↓	$x^{- \frac{1}{2}}$ in Wurzelschreibweise umschreiben.
$\sqrt{x^{- 1}}$	$<$	$\frac{1}{2}$
	↓	$x^{- 1}$ in Bruchschreibweise umschreiben. Es gilt: $x^{- m} = \frac{1}{x^{m}}$
$\sqrt{\frac{1}{x}}$	$<$	$\frac{1}{2}$	$↑ 2$
	↓	Auf beiden Seiten quadrieren.
$(\sqrt{\frac{1}{x}})^{2}$	$<$	$(\frac{1}{2})^{2}$
$\frac{1}{x}$	$<$	$\frac{1}{4}$	$\cdot 4 \cdot x$
$4$	$<$	$x$

$\sqrt[3]{2 x - 1}$	$=$	$2$	$↑ 3$
	↓	Beide Seiten mit 3 potenzieren.
${(\sqrt[3]{2 x - 1})}^{3}$	$=$	$2^{3}$
$2 x - 1$	$=$	$8$	$+ 1$
	↓	Gleichung nach x auflösen.
$2 x$	$=$	$9$	$: 2$
$x$	$=$	$4,5$

${(\sqrt[6]{8} \cdot 8^{\frac{1}{2}})}^{4}$	$=$
	↓	Forme $\sqrt[6]{8}$ mit Hilfe der Potenzgesetze in $8^{\frac{1}{6}}$ um
	$=$	${(8^{\frac{1}{6}} \cdot 8^{\frac{1}{2}})}^{4}$
	↓	Fasse $8^{\frac{1}{6}}$ und $8^{\frac{1}{2}}$ zusammen.
	$=$	${(8^{\frac{1}{6} + \frac{1}{2}})}^{4} = {(8^{\frac{2}{3}})}^{4}$
	↓	Ziehe die $2$ von $\frac{2}{3}$ mit Hilfe der Potenzgesetze aus der Klammer heraus.
	$=$	${(\sqrt[3]{8})}^{8}$
	$=$	$2^{8} = 256$
	$=$	${(8^{\frac{1}{3}})}^{8}$
	↓	Forme mit Hilfe der Potenzgesetze $8^{\frac{1}{3}}$ in $\sqrt[3]{8}$ um

$\sqrt{x^{\frac{1}{6}} x^{- \frac{1}{2}}}$	$=$
	↓	Fasse mit Hilfe der Potenzgesetze $x^{\frac{1}{6}}$ und $x^{- \frac{1}{2}}$ zusammen
	$=$	$\sqrt{x^{\frac{1}{6} - \frac{1}{2}}} = \sqrt{x^{- \frac{1}{3}}}$
	↓	Forme mit Hilfe der Potenzgesetze $\sqrt{}$ in $^{\frac{1}{2}}$ um
	$=$	${(x^{- \frac{1}{3}})}^{\frac{1}{2}}$
	↓	Fasse $^{\frac{1}{2}}$ und $^{- \frac{1}{3}}$ zusammen.
	$=$	$x^{- \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2}} = x^{- \frac{1}{6}}$
	↓	Wende die Potenzgesetze an.
	$=$	$\frac{1}{\sqrt[6]{x}}$

$\sqrt[3]{a^{- 2}} - 3 \sqrt[6]{a^{- 4}}$	$=$
	↓	Potenzgesetze anwenden.
	$=$	$a^{- \frac{2}{3}} - 3 a^{- \frac{4}{6}}$
	↓	Die Potenz von $3 a$ mit $2$ kürzen
	$=$	$a^{- \frac{2}{3}} - 3 a^{- \frac{2}{3}}$
	↓	Basen zusammenfassen
	$=$	$- 2 a^{- \frac{2}{3}}$

$\sqrt[4]{a^{3} \cdot \sqrt[3]{a^{2} \cdot \sqrt{a}}}$	$=$
	↓	Verwende $\sqrt{a} = a^{\frac{1}{2}} .$
	$=$	$\sqrt[4]{a^{3} \cdot \sqrt[3]{a^{2} \cdot a^{\frac{1}{2}}}}$
	↓	Bilde den Hauptnenner
	$=$	$\sqrt[4]{a^{3} \cdot \sqrt[3]{a^{\frac{4}{2}} \cdot a^{\frac{1}{2}}}}$
	$=$	$\sqrt[4]{a^{3} \cdot \sqrt[3]{a^{\frac{5}{2}}}}$
	↓	Die Wurzel in einen Exponent umschreiben wie im 1. Schritt
	$=$	$\sqrt[4]{a^{3} \cdot {(a^{\frac{2}{5}})}^{\frac{1}{3}}}$
	↓	Ausmultiplizieren.
	$=$	$\sqrt[4]{a^{3} \cdot a^{\frac{5}{6}}}$
	↓	Hauptnenner bilden
	$=$	$\sqrt[4]{a^{\frac{18}{6}} \cdot a^{\frac{5}{6}}}$
	$=$	$\sqrt[4]{a^{\frac{23}{6}}}$
	↓	Die Wurzel in einen Exponent umschreiben wie im 1. Schritt
	$=$	${(a^{\frac{23}{6}})}^{\frac{1}{4}}$
	↓	Ausmultiplizieren.
	$=$	$a^{\frac{23}{24}}$
	$=$	$\sqrt[24]{a^{23}}$

$\sqrt[3]{a^{2}} : {(\sqrt[]{a^{}})}^{3}$	$=$
	↓	Potenzgesetz anwenden
	$=$	$a^{\frac{2}{3}} : {(\sqrt[]{a})}^{3}$
	↓	Umformen von $a$ zu ${(\sqrt[]{a})}^{2}$
	$=$	${({(\sqrt[]{a})}^{2})}^{\frac{2}{3}} : {(\sqrt[]{a})}^{3}$
	↓	Potenzgesetz anwenden
	$=$	${(\sqrt[]{a})}^{\frac{4}{3}} : {(\sqrt[]{a})}^{3}$
	↓	Potenzgesetz anwenden
	$=$	${(\sqrt[]{a})}^{\frac{4}{3} - 3}$
	↓	Im Exponenten den Hauptnenner $(3)$ bilden und mit diesem erweitern.
	$=$	${(\sqrt[]{a})}^{\frac{4}{3} - \frac{9}{3}}$
	$=$	$(\sqrt[]{a}) - \frac{5}{3}$
	↓	$\sqrt[]{a}$ umschreiben in $a^{\frac{1}{2}}$
	$=$	${(a^{\frac{1}{2}})}^{- \frac{5}{3}}$
	↓	Potenzgesetz anwenden
	$=$	$a^{- \frac{5}{6}}$

Aufgaben zu Potenzen mit rationalen und reellen Exponenten

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$\sqrt{t \sqrt{t \sqrt{t}}}$	$=$
	↓	Verwende $\sqrt{t} = t^{\frac{1}{2}}$
	$=$	$\sqrt{t \sqrt{t \cdot t^{\frac{1}{2}}}}$
	↓	Wende die Potenzgesetze an
	$=$	$\sqrt{t \sqrt{t^{1 + \frac{1}{2}}}}$
	↓	Im Exponenten Hauptnenner $(2)$ bilden
	$=$	$\sqrt{t \sqrt{t^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}}$
	$=$	$\sqrt{t \sqrt{t^{\frac{3}{2}}}}$
	↓	Verwende $\sqrt{t} = t^{\frac{1}{2}}$
	$=$	$\sqrt{t \cdot {(t^{\frac{3}{2}})}^{\frac{1}{2}}}$
	↓	Anwendung der Potenzgesetze.
	$=$	$\sqrt{t \cdot t^{\frac{3}{4}}}$
	↓	Anwendung der Potenzgesetze.
	$=$	$\sqrt{t^{1 + \frac{3}{4}}}$
	↓	Im Exponenten Hauptnenner bilden
	$=$	$\sqrt{t^{\frac{4}{4} + \frac{3}{4}}}$
	$=$	$\sqrt{t^{\frac{7}{4}}}$
	↓	Verwende $\sqrt{t} = t^{\frac{1}{2}}$
	$=$	${(t^{\frac{7}{4}})}^{\frac{1}{2}}$
	↓	Anwendung der Potenzgesetze
	$=$	$t^{\frac{7}{8}}$

$\sqrt{(x^{2} - 1) (x - 1)} : \sqrt{x + 1}$	$=$
	↓	Unter eine Wurzel schreiben
	$=$	$\sqrt{(x^{2} - 1) (x - 1) : (x + 1)}$
	↓	Binomische Formel auflösen
	$=$	$\sqrt{(x - 1) (x + 1) (x - 1) : (x + 1)}$
	↓	$(x + 1)$ kürzen
	$=$	$\sqrt{(x - 1) (x - 1)}$
	↓	Umschreiben
	$=$	$\sqrt{{(x - 1)}^{2}}$
	↓	Unter der Wurzel darf nichts Negatives stehen. Durch das Quadrieren, wird der Wert positiv, weshalb alle Zahlen eingesetzt werden können. Wurzel ziehen. Wurzel und Quadrat heben sich auf. Wegen möglicher negativer Zahlen, Betragsstriche einfügen
	$=$	$\| x - 1 \|$

$\sqrt{m \cdot \sqrt[3]{m}} \cdot \sqrt[3]{m \cdot m} \cdot \sqrt[6]{m}$	$=$
	↓	Verwende $\sqrt[]{m} = m^{\frac{1}{2}}$
	$=$	$\sqrt{m \cdot m^{\frac{1}{3}}} \cdot \sqrt[3]{m \cdot m^{\frac{1}{2}}} \cdot m^{\frac{1}{6}}$
	↓	Potenzgesetz anwenden.
	$=$	$\sqrt{m^{1 + \frac{1}{3}}} \cdot \sqrt[3]{m^{1 + \frac{1}{2}}} \cdot m^{\frac{1}{6}}$
	↓	Im Exponent jeweils Hauptnenner bilden
	$=$	$\sqrt{m^{\frac{3}{3} + \frac{1}{3}}} \cdot \sqrt[3]{m^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}} \cdot m^{\frac{1}{6}}$
	$=$	$\sqrt{m^{\frac{4}{3}}} \cdot \sqrt[3]{m^{\frac{3}{2}}} \cdot m^{\frac{1}{6}}$
	↓	Verwende $\sqrt{m} = m^{\frac{1}{2}}$
	$=$	${(m^{\frac{4}{3}})}^{\frac{1}{2}} \cdot (m^{\frac{1}{2}}) \cdot m^{\frac{1}{6}}$
	↓	Potenzgesetz anwenden
	$=$	$m^{\frac{2}{3}} \cdot m^{\frac{1}{2}} m^{\frac{1}{6}}$
	↓	Potenzgesetz anwenden
	$=$	$m^{\frac{2}{3} + \frac{1}{2} + \frac{1}{6}}$
	↓	Im Exponent Hauptnenner bilden.
	$=$	$m^{\frac{4}{6} + \frac{3}{6} + \frac{1}{6}}$
	$=$	$m^{\frac{8}{6}}$
	↓	Kürzen mit 2
	$=$	$m^{\frac{4}{3}}$
	↓	Verwende $m^{\frac{4}{3}} = \sqrt[3]{m^{4}}$ $\to$ Potenzgesetz
	$=$	$\sqrt[3]{m^{4}}$

$\frac{{(x - 1)}^{2 n + 1}}{{(\sqrt{1 - x})}^{2 n + 2}}$	$=$
	↓	Anwendung der Formel $\sqrt{a} = a^{\frac{1}{2}}$ .
	$=$	$\frac{{(x - 1)}^{2 n + 1}}{{({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2 n + 2}}$
	↓	Anwendung des Potenzgesetzes: $(a^{b})^{c} = a^{b c}$
	$=$	$\frac{{(x - 1)}^{2 n + 1}}{{(1 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot (2 n + 2)}}$
	$=$	$\frac{{(x - 1)}^{2 n + 1}}{{(1 - x)}^{n + 1}}$
	$=$	$\frac{{((- 1) \cdot (1 - x))}^{2 n + 1}}{{(1 - x)}^{n + 1}}$
	↓	Anwendung des Potenzgesetzes: $(a b)^{c} = a^{c} b^{c}$
	$=$	$\frac{(- 1)^{2 n + 1} \cdot (1 - x)^{2 n + 1}}{(1 - x)^{n + 1}}$
	↓	$(- 1)^{2 n + 1} = - 1$ , da $2 n + 1$ ungerade ist
	$=$	$\frac{(- 1) \cdot (1 - x)^{2 n + 1}}{(1 - x)^{n + 1}}$
	↓	Kürze
	$=$	$(- 1) \cdot {(1 - x)}^{n}$

$\sqrt{\frac{a}{2 - a}} \cdot \sqrt{2 a - a^{2}}$	$=$
	↓	Im 2. Faktor $a$ ausklammern
	$=$	$\sqrt{\frac{a}{2 - a}} \cdot \sqrt{\frac{a (2 - a)}{1}}$
	↓	Multiplikation.
	$=$	$\sqrt{\frac{a^{2} \cdot (2 - a)}{(2 - a) \cdot 1}}$
	↓	Kürze $2 - a$
	$=$	$\sqrt{a^{2}} = a$

$\sqrt{\frac{a}{3 b}} : \sqrt{\frac{b^{3}}{27 a}}$	$=$
	↓	Potenzgesetze anwenden
	$=$	$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{3 b}} : \frac{\sqrt{b^{3}}}{\sqrt{27 a}}$
	↓	Wegen Division mit Kehrbruch multiplizieren
	$=$	$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{3 b}} \cdot \frac{\sqrt{27 a}}{\sqrt{b^{3}}}$
	↓	Brüche multiplizieren
	$=$	$\frac{\sqrt{27 a \cdot a}}{\sqrt{3 b \cdot b^{3}}}$
	↓	Teilweise radizieren
	$=$	$\frac{a \cdot \sqrt{27}}{b^{2} \cdot \sqrt{3}}$
	↓	In zwei Brüchen darstellen
	$=$	$\frac{a}{b^{2}} \cdot \frac{\sqrt{27}}{\sqrt{3}}$
	↓	Potenzgesetze anwenden
	$=$	$\frac{a}{b^{2}} \cdot \sqrt{\frac{27}{3}}$
	↓	Radizieren
	$=$	$\frac{a}{b^{2}} \cdot 3$
	$=$	$\frac{3 a}{b^{2}}$

$\sqrt{{xy}^{2}} \cdot \sqrt{\frac{8}{y^{2}}} - \sqrt{2 x}$	$=$
	↓	Multiplikation
	$=$	$\sqrt{\frac{x y^{2} \cdot 8}{y^{2}}} - \sqrt{2 x}$
	↓	Mit $y^{2}$ kürzen
	$=$	$\sqrt{8 x} - \sqrt{2 x}$
	↓	Teilweise radizieren
	$=$	$2 \sqrt{2 x} - \sqrt{2 x}$
	$=$	$\sqrt{2 x}$

$\sqrt{{xy}^{2}} \cdot \sqrt{\frac{8}{y^{2}}} - 2 \sqrt{x}$	$=$	$\sqrt{\frac{x y^{2} \cdot 8}{y^{2}}} - 2 \sqrt{x}$
	↓	Mit $y^{2}$ kürzen.
	$=$	$\sqrt{8 x} - 2 \sqrt{x}$
	↓	Teilweise radizieren.
	$=$	$2 \sqrt{2 x} - 2 \sqrt{x}$