Aufgaben zu beliebigen n-ten Wurzeln

Fasse so weit wie möglich zusammen.

$\sqrt[3]{z\cdot\sqrt[4]{\frac1z}}$

$\sqrt[3]{8e^6}\cdot\left(e^\frac35\right)^{-\frac{10}3}$

$y^{1\frac12}\cdot y^{-0{,}75}\cdot\left(\sqrt[4]y\right)^5$

$u^{-0{,}5}:\left(u^{-\frac13}\cdot u^{-\frac16}\right)$

$\displaystyle \sqrt[3]{z\cdot\sqrt[4]{\frac{1}{z}}}$	$=$
	↓	Potenzgesetze anwenden.
	$=$	$\displaystyle \sqrt[3]{z\cdot\frac{\sqrt[4]{1}}{\sqrt[4]{z}}}$
	↓	Zu einem Bruch zusammenfassen.
	$=$	$\displaystyle \sqrt[3]{z\cdot\frac{1}{\sqrt[4]{z}}}$
	$=$	$\displaystyle \sqrt[3]{\frac z{\sqrt[4]z}}$
	↓	Potenzgesetze anwenden.
	$=$	$\displaystyle \frac{\sqrt[3]z}{\sqrt[3]{\sqrt[4]z}}$
	$=$	$\displaystyle \frac{\sqrt[3]z}{\sqrt[3]{z^\frac14}}$
	$=$	$\displaystyle \frac{\sqrt[3]z}{\left(z^\frac14\right)^\frac13}$
	$=$	$\displaystyle \frac{\sqrt[3]z}{z^\frac1{12}}$
	$=$	$\displaystyle \frac{z^\frac13}{z^\frac1{12}}$
	$=$	$\displaystyle z^{\frac13-\frac1{12}}$
	↓	Exponenten auf gleichen Nenner bringen also $\frac13$ mit $4$ erweitern .
	$=$	$\displaystyle z^{\frac4{12}-\frac1{12}}$
	↓	Exponenten subtrahieren.
	$=$	$\displaystyle z^\frac3{12}$
	↓	Exponent kürzen.
	$=$	$\displaystyle z^\frac14$
	↓	Potenzgesetze anwenden.
	$=$	$\displaystyle \sqrt[4]z$

$\displaystyle \sqrt[3]{8e^6}\cdot\left(e^{\frac{3}{5}}\right)^{-\frac{10}{3}}$	$=$
	↓	Verwende $\sqrt[3]a=a^\frac13$ .
	$=$	$\displaystyle \left(8e^6\right)^{\frac{1}{3}}\cdot\left(e^{\frac{3}{5}}\right)^{-\frac{10}{3}}$
	↓	Potenzgesetz anwenden.
	$=$	$\displaystyle 2e^2\cdot e^{-2}$
	$=$	$\displaystyle 2\cdot e^{2+\left(-2\right)}$
	$=$	$\displaystyle 2\cdot e^0$
	↓	Potenzgesetz anwenden.
	$=$	$\displaystyle 2$

$\displaystyle y^{1\frac{1}{2}}\cdot y^{-0{,}75}\cdot\left(\sqrt[4]{y}\right)^5$	$=$
	↓	Exponenten in ganze Brüche umformen.
	$=$	$\displaystyle y^{\frac{3}{2}}\cdot y^{-\frac{3}{4}}\cdot\left(\sqrt[4]{y}\right)^5$
	↓	Verwende $\sqrt[4]y=y^\frac14$ .
	$=$	$\displaystyle y^\frac32\cdot y^{-\frac34}\cdot\left(y^\frac14\right)^5$
	↓	Potenzgesetze anwenden.
	$=$	$\displaystyle y^\frac32\cdot y^{-\frac34}\cdot y^\frac54$
	$=$	$\displaystyle y^{\frac32+\left(-\frac34\right)+\frac54}$
	↓	Hauptnenner bilden $(4).$
	$=$	$\displaystyle y^{\frac64-\frac34+\frac54}$
	$=$	$\displaystyle y^2$

$\displaystyle u^{-0{,}5}:\left(u^{-\frac{1}{3}}\cdot u^{-\frac{1}{6}}\right)$	$=$
	↓	Potenzgesetze anwenden.
	$=$	$\displaystyle \frac1{u^\frac12}:\left(\frac1{u^\frac13}\cdot\frac1{u^\frac16}\right)$
	↓	Klammer zusammenfassen. Wegen Division mit Kehrbruch multiplizieren .
	$=$	$\displaystyle \frac1{u^\frac12}\cdot\frac{u^\frac13\cdot u^\frac16}1$
	↓	Zu einem Bruch zusammenfassen.
	$=$	$\displaystyle \frac{u^\frac13\cdot u^\frac16}{u^\frac12}$
	↓	Potenzgesetze anwenden.
	$=$	$\displaystyle \frac{u^{\frac13+\frac16}}{u^\frac12}$
	↓	Nenner erweitern.
	$=$	$\displaystyle \frac{u^{\frac26+\frac16}}{u^\frac12}$
	↓	Exponenten summieren.
	$=$	$\displaystyle \frac{u^\frac36}{u^\frac12}$
	↓	Exponent kürzen.
	$=$	$\displaystyle \frac{u^\frac12}{u^\frac12}$
	↓	Dividieren.
	$=$	$\displaystyle 1$

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