Aufgaben zu beliebigen n-ten Wurzeln

…

Vereinfache folgende Wurzelterme so weit wie möglich.

strobl-f.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Franz Strobl

$\left(\sqrt[6]8\cdot8^\frac12\right)^4$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzen

$\displaystyle \left(\sqrt[6]{8}\cdot8^{\frac{1}{2}}\right)^4$	$=$
	↓	Forme $\sqrt[6]8$ mit Hilfe der Potenzgesetze in $8^\frac16$ um
	$=$	$\displaystyle \left(8^{\frac{1}{6}}\cdot8^{\frac{1}{2}}\right)^4$
	↓	Fasse $8^\frac16$ und $8^{\frac{1}{2}}$ zusammen.
	$=$	$\displaystyle \left(8^{\frac{1}{6}+\frac{1}{2}}\right)^4=\left(8^{\frac{2}{3}}\right)^4$
	↓	Ziehe die $2$ von $\frac{2}{3}$ mit Hilfe der Potenzgesetze aus der Klammer heraus.
	$=$	$\displaystyle \left(\sqrt[3]{8}\right)^8$
	$=$	$\displaystyle 2^8=256$
	$=$	$\displaystyle \left(8^{\frac{1}{3}}\right)^8$
	↓	Forme mit Hilfe der Potenzgesetze $8^\frac13$ in $\sqrt[3]8$ um

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strobl-f.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Franz Strobl

$\sqrt{x^\frac16x^{-\frac12}}\;\;\;\left(x\;>\;0\right)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzen

$\displaystyle \sqrt{x^{\frac{1}{6}}x^{-\frac{1}{2}}}$	$=$
	↓	Fasse mit Hilfe der Potenzgesetze $x^\frac16$ und $x^{-\frac{1}{2}}$ zusammen
	$=$	$\displaystyle \sqrt{x^{\frac{1}{6}-\frac{1}{2}}}=\sqrt{x^{-\frac{1}{3}}}$
	↓	Forme mit Hilfe der Potenzgesetze $\sqrt{}$ in ${}^\frac12$ um
	$=$	$\displaystyle \left(x^{-\frac{1}{3}}\right)^{\frac{1}{2}}$
	↓	Fasse ${}^\frac12$ und ${}^{-\frac13}$ zusammen.
	$=$	$\displaystyle x^{-\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}}=x^{-\frac{1}{6}}$
	↓	Wende die Potenzgesetze an.
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{\sqrt[6]{x}}$

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$\sqrt[3]{a^{-2}}-3\sqrt[6]{a^{-4}}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzen

$\displaystyle \sqrt[3]{a^{-2}}-3\sqrt[6]{a^{-4}}$	$=$
	↓	Potenzgesetze anwenden.
	$=$	$\displaystyle a^{-\frac{2}{3}}-3a^{-\frac{4}{6}}$
	↓	Die Potenz von $3a$ mit $2$ kürzen
	$=$	$\displaystyle a^{-\frac{2}{3}}-3a^{-\frac{2}{3}}$
	↓	Basen zusammenfassen
	$=$	$\displaystyle -2a^{-\frac{2}{3}}$

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$\sqrt[4]{a^3\cdot\sqrt[3]{a^2\cdot\sqrt a}}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzen

$\displaystyle \sqrt[4]{a^3\cdot\sqrt[3]{a^2\cdot\sqrt{a}}}$	$=$
	↓	Verwende $\sqrt{a}=a^{\frac{1}{2}}.$
	$=$	$\displaystyle \sqrt[4]{a^3\cdot\sqrt[3]{a^2\cdot a^{\frac{1}{2}}}}$
	↓	Bilde den Hauptnenner
	$=$	$\displaystyle \sqrt[4]{a^3\cdot\sqrt[3]{a^{\frac{4}{2}}\cdot a^{\frac{1}{2}}}}$
	$=$	$\displaystyle \sqrt[4]{a^3\cdot\sqrt[3]{a^{\frac{5}{2}}}}$
	↓	Die Wurzel in einen Exponent umschreiben wie im 1. Schritt
	$=$	$\displaystyle \sqrt[4]{a^3\cdot\left(a^{\frac{2}{5}}\right)^{\frac{1}{3}}}$
	↓	Ausmultiplizieren.
	$=$	$\displaystyle \sqrt[4]{a^3\cdot a^{\frac{5}{6}}}$
	↓	Hauptnenner bilden
	$=$	$\displaystyle \sqrt[4]{a^{\frac{18}{6}}\cdot a^{\frac{5}{6}}}$
	$=$	$\displaystyle \sqrt[4]{a^{\frac{23}{6}}}$
	↓	Die Wurzel in einen Exponent umschreiben wie im 1. Schritt
	$=$	$\displaystyle \left(a^{\frac{23}{6}}\right)^{\frac{1}{4}}$
	↓	Ausmultiplizieren.
	$=$	$\displaystyle a^{\frac{23}{24}}$
	$=$	$\displaystyle \sqrt[24]{a^{23}}$

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$\sqrt[3]{80x^4}-2x\sqrt[6]{100x^2}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzen

$\displaystyle \sqrt[3]{80x^4}-2x\sqrt[6]{100x^2}$	$=$
	↓	Zerlege in Faktoren und radiziere teilweise.
	$=$	$\displaystyle \sqrt[3]{8\cdot10x^3\cdot x}-2x\sqrt[3]{\sqrt[2]{100x^2}}$
	$=$	$\displaystyle 2x\sqrt[3]{10x}-2x\sqrt[3]{10x}$
	$=$	$\displaystyle 0$

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$\sqrt[3]{a^2}\;:\;\left(\sqrt a\right)^3$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzen

$\displaystyle \sqrt[3]{a^2}:\left(\sqrt[]{a^{ }}\right)^3$	$=$
	↓	Potenzgesetz anwenden
	$=$	$\displaystyle a^{\frac{2}{3}}:\left(\sqrt[]{a}\right)^3$
	↓	Umformen von $a$ zu $\left(\sqrt[]{a}\right)^2$
	$=$	$\displaystyle \left(\left(\sqrt[]{a}\right)^2\right)^{\frac{2}{3}}:\ \left(\sqrt[]{a}\right)^3$
	↓	Potenzgesetz anwenden
	$=$	$\displaystyle \left(\sqrt[]{a}\right)^{\frac{4}{3}}:\left(\sqrt[]{a}\right)^3$
	↓	Potenzgesetz anwenden
	$=$	$\displaystyle \left(\sqrt[]{a}\right)^{\frac{4}{3}-3}$
	↓	Im Exponenten den Hauptnenner $(3)$ bilden und mit diesem erweitern.
	$=$	$\displaystyle \left(\sqrt[]{a}\right)^{\frac{4}{3}-\frac{9}{3}}$
	$=$	$\displaystyle \left(\sqrt[]{a}\right)-\frac{5}{3}$
	↓	$\sqrt[]{a}$ umschreiben in $a^{\frac{1}{2}}$
	$=$	$\displaystyle \left(a^{\frac{1}{2}}\right)^{-\frac{5}{3}}$
	↓	Potenzgesetz anwenden
	$=$	$\displaystyle a^{-\frac{5}{6}}$

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$\sqrt{t\sqrt{t\sqrt t}}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzen

$\displaystyle \sqrt{t\sqrt{t\sqrt{t}}}$	$=$
	↓	Verwende $\sqrt{t}=t^{\frac{1}{2}}$
	$=$	$\displaystyle \sqrt{t\sqrt{t\cdot t^{\frac{1}{2}}}}$
	↓	Wende die Potenzgesetze an
	$=$	$\displaystyle \sqrt{t\sqrt{t^{1+\frac{1}{2}}}}$
	↓	Im Exponenten Hauptnenner $(2)$ bilden
	$=$	$\displaystyle \sqrt{t\sqrt{t^{\frac{2}{2}+\frac{1}{2}}}}$
	$=$	$\displaystyle \sqrt{t\sqrt{t^{\frac{3}{2}}}}$
	↓	Verwende $\sqrt{t}=t^{\frac{1}{2}}$
	$=$	$\displaystyle \sqrt{t\cdot\left(t^{\frac{3}{2}}\right)^{\frac{1}{2}}}$
	↓	Anwendung der Potenzgesetze.
	$=$	$\displaystyle \sqrt{t\cdot t^{\frac{3}{4}}}$
	↓	Anwendung der Potenzgesetze.
	$=$	$\displaystyle \sqrt{t^{1+\frac{3}{4}}}$
	↓	Im Exponenten Hauptnenner bilden
	$=$	$\displaystyle \sqrt{t^{\frac{4}{4}+\frac{3}{4}}}$
	$=$	$\displaystyle \sqrt{t^{\frac{7}{4}}}$
	↓	Verwende $\sqrt{t}=t^{\frac{1}{2}}$
	$=$	$\displaystyle \left(t^{\frac{7}{4}}\right)^{\frac{1}{2}}$
	↓	Anwendung der Potenzgesetze
	$=$	$\displaystyle t^{\frac{7}{8}}$

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$\left(\sqrt{u+v}+\sqrt{u-v}\right)\cdot\left(\sqrt{u+v}-\sqrt{u-v}\right)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzen

$\displaystyle \left(\sqrt{u+v}+\sqrt{u-v}\right)\cdot\left(\sqrt{u+v}-\sqrt{u-v}\right)$	$=$
	↓	Def.: $u+v$ und $u-v ≥0$
$\displaystyle \left(\sqrt{u+v}+\sqrt{u-v}\right)\cdot\left(\sqrt{u+v}-\sqrt{u-v}\right)$	$=$
	↓	Binomische Formel anwenden.
	$=$	$\displaystyle \left(u+v\right)-\left(u-v\right)$
	↓	Klammer auflösen
	$=$	$\displaystyle u+v-u+v$
	$=$	$\displaystyle 2v$
	↓	Def.: $u+v$ und $u-v ≥0$

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$\sqrt{\left(x^2-1\right)\left(x-1\right)}\;:\;\sqrt{x+1}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzen

$\displaystyle \sqrt{\left(x^2-1\right)\ \left(x-1\right)}:\sqrt{x+1}$	$=$
	↓	Unter eine Wurzel schreiben
	$=$	$\displaystyle \sqrt{\left(x^2-1\right)\ \left(x-1\right):\left(x+1\right)}$
	↓	Binomische Formel auflösen
	$=$	$\displaystyle \sqrt{\left(x-1\right)\ \left(x+1\right)\left(x-1\right):\left(x+1\right)}$
	↓	$(x+1)$ kürzen
	$=$	$\displaystyle \sqrt{\left(x-1\right)\ \left(x-1\right)}$
	↓	Umschreiben
	$=$	$\displaystyle \sqrt{\left(x-1\right)^2}$
	↓	Unter der Wurzel darf nichts Negatives stehen. Durch das Quadrieren, wird der Wert positiv, weshalb alle Zahlen eingesetzt werden können. Wurzel ziehen. Wurzel und Quadrat heben sich auf. Wegen möglicher negativer Zahlen, Betragsstriche einfügen
	$=$	$\displaystyle \left\|x-1\right\|$

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$\sqrt{m\;\cdot\;\sqrt[3]m}\;\cdot\;\sqrt[3]{m\;\cdot\;\sqrt m}\;\cdot\;\sqrt[6]m$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzen

$\displaystyle \sqrt{m\cdot\sqrt[3]{m}}\cdot\sqrt[3]{m\cdot m}\cdot\sqrt[6]{m}$	$=$
	↓	Verwende $\sqrt[]{m}=m^{\frac{1}{2}}$
	$=$	$\displaystyle \sqrt{m\cdot m^{\frac{1}{3}}}\cdot\sqrt[3]{m\cdot m^{\frac{1}{2}}}\cdot m^{\frac{1}{6}}$
	↓	Potenzgesetz anwenden.
	$=$	$\displaystyle \sqrt{m^{1+\frac{1}{3}}}\cdot\sqrt[3]{m^{1+\frac{1}{2}}}\cdot m^{\frac{1}{6}}$
	↓	Im Exponent jeweils Hauptnenner bilden
	$=$	$\displaystyle \sqrt{m^{\frac{3}{3}+\frac{1}{3}}}\cdot\sqrt[3]{m^{\frac{2}{2}+\frac{1}{2}}}\cdot m^{\frac{1}{6}}$
	$=$	$\displaystyle \sqrt{m^{\frac{4}{3}}}\cdot\sqrt[3]{m^{\frac{3}{2}}}\cdot m^{\frac{1}{6}}$
	↓	Verwende $\sqrt{m}=m^{\frac{1}{2}}$
	$=$	$\displaystyle \left(m^{\frac{4}{3}}\right)^{\frac{1}{2}}\cdot\left(m^{\frac{1}{2}}\right)\cdot m^{\frac{1}{6}}$
	↓	Potenzgesetz anwenden
	$=$	$\displaystyle m^{\frac{2}{3}}\cdot m^{\frac{1}{2}}m^{\frac{1}{6}}$
	↓	Potenzgesetz anwenden
	$=$	$\displaystyle m^{\frac{2}{3}+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}}$
	↓	Im Exponent Hauptnenner bilden.
	$=$	$\displaystyle m^{\frac{4}{6}+\frac{3}{6}+\frac{1}{6}}$
	$=$	$\displaystyle m^{\frac{8}{6}}$
	↓	Kürzen mit 2
	$=$	$\displaystyle m^{\frac{4}{3}}$
	↓	Verwende $m^{\frac{4}{3}}=\sqrt[3]{m^4}$ $\rightarrow$ Potenzgesetz
	$=$	$\displaystyle \sqrt[3]{m^4}$

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$\frac{\left(x-1\right)^{2n+1}}{\left(\sqrt{1-x}\right)^{2n+2}}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzen

$\displaystyle \frac{\left(x-1\right)^{2n+1}}{\left(\sqrt{1-x}\right)^{2n+2}}$	$=$
	↓	Anwendung der Formel $\sqrt{a} = a^{\frac 12}$ .
	$=$	$\displaystyle \frac{\left(x-1\right)^{2n+1}}{\left(\left(1-x\right)^{\frac{1}{2}}\right)^{2n+2}}$
	↓	Anwendung des Potenzgesetzes: $(a^b)^c = a^{bc}$
	$=$	$\displaystyle \frac{\left(x-1\right)^{2n+1}}{\left(1-x\right)^{\frac{1}{2}\cdot\left(2n+2\right)}}$
	$=$	$\displaystyle \frac{\left(x-1\right)^{2n+1}}{\left(1-x\right)^{n+1}}$
	$=$	$\displaystyle \frac{\left(\left(-1\right)\cdot\left(1-x\right)\right)^{2n+1}}{\left(1-x\right)^{n+1}}$
	↓	Anwendung des Potenzgesetzes: $(ab)^c = a^c b^c$
	$=$	$\displaystyle \frac{(-1)^{2n+1}\cdot(1-x)^{2n+1}}{(1-x)^{n+1}}$
	↓	$(−1)^{2n+1}=−1$ , da $2n+1$ ungerade ist
	$=$	$\displaystyle \frac{(-1)\cdot(1-x)^{2n+1}}{(1-x)^{n+1}}$
	↓	Kürze
	$=$	$\displaystyle \left(-1\right)\cdot\left(1-x\right)^n$

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$\sqrt{\frac a{2-a}}\cdot\sqrt{2a-a^2}$ mit $\left[a\in[0;2\right]$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzen

$\displaystyle \sqrt{\frac{a}{2-a}}\cdot\sqrt{2a-a^2}$	$=$
	↓	Im 2. Faktor $a$ ausklammern
	$=$	$\displaystyle \sqrt{\frac{a}{2-a}}\cdot\sqrt{\frac{a\left(2-a\right)}{1}}$
	↓	Multiplikation.
	$=$	$\displaystyle \sqrt{\frac{a^2\cdot\left(2-a\right)}{\left(2-a\right)\cdot1}}$
	↓	Kürze $2-a$
	$=$	$\displaystyle \sqrt{a^2}=a$

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$\sqrt{\frac a{3b}}:\sqrt{\frac{b^3}{27a}}$ ( $a$ und $b$ sind jeweils positiv)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzen

$\displaystyle \sqrt{\frac{a}{3b}}:\sqrt{\frac{b^3}{27a}}$	$=$
	↓	Potenzgesetze anwenden
	$=$	$\displaystyle \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{3b}}:\frac{\sqrt{b^3}}{\sqrt{27a}}$
	↓	Wegen Division mit Kehrbruch multiplizieren
	$=$	$\displaystyle \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{3b}}\cdot\frac{\sqrt{27a}}{\sqrt{b^3}}$
	↓	Brüche multiplizieren
	$=$	$\displaystyle \frac{\sqrt{27a\cdot a}}{\sqrt{3b\cdot b^3}}$
	↓	Teilweise radizieren
	$=$	$\displaystyle \frac{a\cdot\sqrt{27}}{b^2\cdot\sqrt{3}}$
	↓	In zwei Brüchen darstellen
	$=$	$\displaystyle \frac{a}{b^2}\cdot\frac{\sqrt{27}}{\sqrt{3}}$
	↓	Potenzgesetze anwenden
	$=$	$\displaystyle \frac{a}{b^2}\cdot\sqrt{\frac{27}{3}}$
	↓	Radizieren
	$=$	$\displaystyle \frac{a}{b^2}\cdot3$
	$=$	$\displaystyle \frac{3a}{b^2}$

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$\sqrt{\mathrm{xy}^2}\cdot\sqrt{\frac8{y^2}}-\sqrt{2x}$ ( $x$ und $y$ sind jeweils positiv)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzen

$\displaystyle \sqrt{\mathrm{xy}^2}\cdot\sqrt{\frac{8}{y^2}}-\sqrt{2x}$	$=$
	↓	Multiplikation
	$=$	$\displaystyle \sqrt{\frac{xy^2\cdot8}{y^2}}-\sqrt{2x}$
	↓	Mit $y^2$ kürzen
	$=$	$\displaystyle \sqrt{8x}-\sqrt{2x}$
	↓	Teilweise radizieren
	$=$	$\displaystyle 2\sqrt{2x}-\sqrt{2x}$
	$=$	$\displaystyle \sqrt{2x}$

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$\sqrt{\mathrm{xy}^2}\cdot\sqrt{\frac8{y^2}}-2\sqrt x$ (dabei sind $x$ und $y$ jeweils positiv)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzen

$\displaystyle \sqrt{\mathrm{xy}^2}\cdot\sqrt{\frac{8}{y^2}}-2\sqrt{x}$	$=$	$\displaystyle \sqrt{\frac{xy^2\cdot8}{y^2}}-2\sqrt{x}$
	↓	Mit $y^2$ kürzen.
	$=$	$\displaystyle \sqrt{8x}-2\sqrt{x}$
	↓	Teilweise radizieren.
	$=$	$\displaystyle 2\sqrt{2x}-2\sqrt{x}$

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$\sqrt{\mathrm{xy}^2}\cdot\sqrt{\frac8{y^2}}-x\sqrt2$ ( $x$ und $y$ sind jeweils positiv)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzen

$\displaystyle \sqrt{\mathrm{xy}^2}\cdot\sqrt{\frac{8}{y^2}}-x\sqrt{2}$	$=$
	$=$	$\displaystyle \sqrt{\frac{xy^2\cdot8}{y^2}}-x\sqrt{2}$
	↓	Mit $y^2$ kürzen
	$=$	$\displaystyle \sqrt{8x}-x\sqrt{2}$
	↓	Teilweise radizieren
	$=$	$\displaystyle 2\sqrt{8x}-x\sqrt{2}$

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