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Aufgaben zu Potenzen mit rationalen und reellen Exponenten

1

Gib jeweils den Potenzwert ohne Verwendung des Taschenrechners an.

  1. 823\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}8^\frac23\end{array}

  2. 4124^{-\frac12}

  3. 1287\sqrt[7]{128}

  4. 10243101024^{-\frac3{10}}

  5. 0,04320{,}04^\frac32

  6. 0,00014\sqrt[4]{0{,}0001}

  7. (5123)2\left(\sqrt[3]{512}\right)^2

  8. 80,2  :  0,250,28^{-0{,}2}\;:\;0{,}25^{-0{,}2}

2

Fasse so weit wie möglich zusammen.

  1. z1z43\sqrt[3]{z\cdot\sqrt[4]{\frac1z}}

  2. 8e63(e35)103\sqrt[3]{8e^6}\cdot\left(e^\frac35\right)^{-\frac{10}3}

  3. y112y0,75(y4)5y^{1\frac12}\cdot y^{-0{,}75}\cdot\left(\sqrt[4]y\right)^5

  4. u0,5:(u13u16)u^{-0{,}5}:\left(u^{-\frac13}\cdot u^{-\frac16}\right)

3

Sind die folgenden Terme äquivalent?

  1. (x4)2  \left(\sqrt[4]x\right)^2\; und  x24\sqrt[4]{x^2}

4

Bestimme die Lösung der Gleichung.

  1. x5=3\sqrt[5]x=3

  2. x5=3\sqrt[5]x=-3

  3. x32=27x^\frac32=27

  4. x23=18x^{-\frac23}=\frac18

  5. x12<12x^{-\frac12}<\frac12

  6. 2x13=2\sqrt[3]{2x-1}=2

  7. (2x+1)3=8\left(2x+1\right)^{-3}=8

  8. (2x+3)4=0,0625\left(2x+3\right)^{-4}=0{,}0625

5

Vereinfache folgende Wurzelterme so weit wie möglich.

  1. (86812)4\left(\sqrt[6]8\cdot8^\frac12\right)^4

    strobl-f.de (Aufgabenstellung)
  2. x16x12      (x  >  0)\sqrt{x^\frac16x^{-\frac12}}\;\;\;\left(x\;>\;0\right)

    strobl-f.de (Aufgabenstellung)
  3. a233a46\sqrt[3]{a^{-2}}-3\sqrt[6]{a^{-4}}

  4. a3a2a34\sqrt[4]{a^3\cdot\sqrt[3]{a^2\cdot\sqrt a}}

  5. 80x432x100x26\sqrt[3]{80x^4}-2x\sqrt[6]{100x^2}

  6. a23  :  (a)3\sqrt[3]{a^2}\;:\;\left(\sqrt a\right)^3

  7. ttt\sqrt{t\sqrt{t\sqrt t}}

  8. (u+v+uv)(u+vuv)\left(\sqrt{u+v}+\sqrt{u-v}\right)\cdot\left(\sqrt{u+v}-\sqrt{u-v}\right)

  9. (x21)(x1)  :  x+1\sqrt{\left(x^2-1\right)\left(x-1\right)}\;:\;\sqrt{x+1}

  10. m    m3    m    m3    m6\sqrt{m\;\cdot\;\sqrt[3]m}\;\cdot\;\sqrt[3]{m\;\cdot\;\sqrt m}\;\cdot\;\sqrt[6]m

  11. (x1)2n+1(1x)2n+2\frac{\left(x-1\right)^{2n+1}}{\left(\sqrt{1-x}\right)^{2n+2}}

  12. a2a2aa2\sqrt{\frac a{2-a}}\cdot\sqrt{2a-a^2} mit [a[0;2]\left[a\in[0;2\right]

  13. a3b:b327a\sqrt{\frac a{3b}}:\sqrt{\frac{b^3}{27a}}   (aa und bb sind jeweils positiv)

  14. xy28y22x\sqrt{\mathrm{xy}^2}\cdot\sqrt{\frac8{y^2}}-\sqrt{2x} (xx und yy sind jeweils positiv)

  15. xy28y22x\sqrt{\mathrm{xy}^2}\cdot\sqrt{\frac8{y^2}}-2\sqrt x (dabei sind xx und yy jeweils positiv)

  16. xy28y2x2\sqrt{\mathrm{xy}^2}\cdot\sqrt{\frac8{y^2}}-x\sqrt2   (xx und yy sind jeweils positiv)


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