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Aufgaben zu Potenzen mit rationalen und reellen Exponenten

  1. 1

    Gib jeweils den Potenzwert ohne Verwendung des Taschenrechners an.

    1. 823\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}8^\frac23\end{array}

    2. 4124^{-\frac12}

    3. 1287\sqrt[7]{128}

    4. 10243101024^{-\frac3{10}}

    5. 0,04320{,}04^\frac32

    6. 0,00014\sqrt[4]{0{,}0001}

    7. (5123)2\left(\sqrt[3]{512}\right)^2

    8. 80,2  :  0,250,28^{-0{,}2}\;:\;0{,}25^{-0{,}2}

  2. 2

    Fasse so weit wie möglich zusammen.

    1. z1z43\sqrt[3]{z\cdot\sqrt[4]{\frac1z}}

    2. 8e63(e35)103\sqrt[3]{8e^6}\cdot\left(e^\frac35\right)^{-\frac{10}3}

    3. y112y0,75(y4)5y^{1\frac12}\cdot y^{-0{,}75}\cdot\left(\sqrt[4]y\right)^5

    4. u0,5:(u13u16)u^{-0{,}5}:\left(u^{-\frac13}\cdot u^{-\frac16}\right)

  3. 3

    Sind die folgenden Terme äquivalent?

    1. (x4)2  \left(\sqrt[4]x\right)^2\; und  x24\sqrt[4]{x^2}

  4. 4

    Bestimme die Lösung der Gleichung.

    1. x5=3\sqrt[5]x=3

    2. x5=3\sqrt[5]x=-3

    3. x32=27x^\frac32=27

    4. x23=18x^{-\frac23}=\frac18

    5. x12<12x^{-\frac12}<\frac12

    6. 2x13=2\sqrt[3]{2x-1}=2

    7. (2x+1)3=8\left(2x+1\right)^{-3}=8

    8. (2x+3)4=0,0625\left(2x+3\right)^{-4}=0{,}0625

  5. 5

    Vereinfache folgende Wurzelterme so weit wie möglich.

    1. (86812)4\left(\sqrt[6]8\cdot8^\frac12\right)^4

    2. x16x12      (x  >  0)\sqrt{x^\frac16x^{-\frac12}}\;\;\;\left(x\;>\;0\right)

    3. a233a46\sqrt[3]{a^{-2}}-3\sqrt[6]{a^{-4}}

    4. a3a2a34\sqrt[4]{a^3\cdot\sqrt[3]{a^2\cdot\sqrt a}}

    5. 80x432x100x26\sqrt[3]{80x^4}-2x\sqrt[6]{100x^2}

    6. a23  :  (a)3\sqrt[3]{a^2}\;:\;\left(\sqrt a\right)^3

    7. ttt\sqrt{t\sqrt{t\sqrt t}}

    8. (u+v+uv)(u+vuv)\left(\sqrt{u+v}+\sqrt{u-v}\right)\cdot\left(\sqrt{u+v}-\sqrt{u-v}\right)