Aufgaben zu Potenzen mit rationalen und reellen Exponenten

1

Gib jeweils den Potenzwert ohne Verwendung des Taschenrechners an.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}8^\frac23\end{array}$

$4^{-\frac12}$

$\sqrt[7]{128}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzen
$\displaystyle \sqrt[7]{128}$ $=$ $\displaystyle 2$
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$1024^{-\frac3{10}}$

$0{,}04^\frac32$

$\sqrt[4]{0{,}0001}$

$\left(\sqrt[3]{512}\right)^2$

$8^{-0{,}2}\;:\;0{,}25^{-0{,}2}$

2

Fasse so weit wie möglich zusammen.

$\sqrt[3]{z\cdot\sqrt[4]{\frac1z}}$

$\sqrt[3]{8e^6}\cdot\left(e^\frac35\right)^{-\frac{10}3}$

$y^{1\frac12}\cdot y^{-0{,}75}\cdot\left(\sqrt[4]y\right)^5$

$u^{-0{,}5}:\left(u^{-\frac13}\cdot u^{-\frac16}\right)$

3

Sind die folgenden Terme äquivalent?

$\left(\sqrt[4]x\right)^2\;$ und $\sqrt[4]{x^2}$

4

Bestimme die Lösung der Gleichung.

$\sqrt[5]x=3$

$\sqrt[5]x=-3$

$x^\frac32=27$

$x^{-\frac23}=\frac18$

$x^{-\frac12}<\frac12$

$\sqrt[3]{2x-1}=2$

$\left(2x+1\right)^{-3}=8$

$\left(2x+3\right)^{-4}=0{,}0625$

5

Vereinfache folgende Wurzelterme so weit wie möglich.

$\left(\sqrt[6]8\cdot8^\frac12\right)^4$

$\sqrt{x^\frac16x^{-\frac12}}\;\;\;\left(x\;>\;0\right)$

$\sqrt[3]{a^{-2}}-3\sqrt[6]{a^{-4}}$

$\sqrt[4]{a^3\cdot\sqrt[3]{a^2\cdot\sqrt a}}$

$\sqrt[3]{80x^4}-2x\sqrt[6]{100x^2}$

$\sqrt[3]{a^2}\;:\;\left(\sqrt a\right)^3$

$\sqrt{t\sqrt{t\sqrt t}}$

$\left(\sqrt{u+v}+\sqrt{u-v}\right)\cdot\left(\sqrt{u+v}-\sqrt{u-v}\right)$

$\sqrt{\left(x^2-1\right)\left(x-1\right)}\;:\;\sqrt{x+1}$

$\sqrt{m\;\cdot\;\sqrt[3]m}\;\cdot\;\sqrt[3]{m\;\cdot\;\sqrt m}\;\cdot\;\sqrt[6]m$

$\frac{\left(x-1\right)^{2n+1}}{\left(\sqrt{1-x}\right)^{2n+2}}$

$\sqrt{\frac a{2-a}}\cdot\sqrt{2a-a^2}$ mit $\left[a\in[0;2\right]$

$\sqrt{\frac a{3b}}:\sqrt{\frac{b^3}{27a}}$ ( $a$ und $b$ sind jeweils positiv)

$\sqrt{\mathrm{xy}^2}\cdot\sqrt{\frac8{y^2}}-\sqrt{2x}$ ( $x$ und $y$ sind jeweils positiv)

$\sqrt{\mathrm{xy}^2}\cdot\sqrt{\frac8{y^2}}-2\sqrt x$ (dabei sind $x$ und $y$ jeweils positiv)

$\sqrt{\mathrm{xy}^2}\cdot\sqrt{\frac8{y^2}}-x\sqrt2$ ( $x$ und $y$ sind jeweils positiv)

$\displaystyle 8^{\frac{2}{3}}$	$=$
	↓	In Wurzelschreibweise schreiben
	$=$	$\displaystyle \sqrt[3]{8^2}$
	$=$	$\displaystyle \sqrt[3]{64}$
	↓	Die 3. Wurzel aus 64 ziehen
	$=$	$\displaystyle 4$

$\displaystyle 4^{-\frac{1}{2}}$	$=$
	↓	In Wurzelschreibweise und als Bruch schreiben
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{4}}$
	↓	Die Wurzel aus $4$ ziehen
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}$

$\displaystyle 1024^{-\frac{3}{10}}$	$=$
	↓	Verwende $1024=2^{10}$
	$=$	$\displaystyle \left(2^{10}\right)^{-\frac{3}{10}}$
	↓	Potenzgesetz anwenden.
	$=$	$\displaystyle 2^{-\frac{10\cdot3}{10}}$
	↓	Kürzen und Potenzgesetz anwenden
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2^3}$
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{8}$

$\displaystyle 0{,}04^{\frac{3}{2}}$	$=$
	↓	Verwende $a^\frac12=\sqrt a$ .
	$=$	$\displaystyle \sqrt{0{,}04}^3$
	↓	Verwende $\sqrt{0{,}04}=0{,}2$
	$=$	$\displaystyle 0{,}2^3$
	$=$	$\displaystyle 0{,}008$

$\displaystyle \sqrt[4]{0{,}0001}$	$=$
	↓	Verwende $0{,}0001=0{,}1^4$
	$=$	$\displaystyle \sqrt[4]{0{,}1^4}$
	↓	Potenz und Wurzel heben sich auf
	$=$	$\displaystyle 0{,}1$

$\displaystyle \left(\sqrt[3]{512}\right)^2$	$=$
	↓	Verwende $512=8^3$
	$=$	$\displaystyle \left(\sqrt[3]{8^3}\right)^2$
	↓	Potenz und Wurzel heben sich auf
	$=$	$\displaystyle 8^2$
	$=$	$\displaystyle 64$

$\displaystyle 8^{-0{,}2}:0{,}25^{-0{,}2}$	$=$
	↓	Potenzgesetz anwenden
	$=$	$\displaystyle \left(\frac{8}{0{,}25}\right)^{-0{,}2}$
	$=$	$\displaystyle 32^{-0{,}2}$
	↓	Potenzgesetz anwenden. Umformen des Exponenten in einen Bruch.
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{32^{\frac{1}{5}}}$
	↓	Verwende $32=2^5$
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{\left(2^5\right)^{\frac{1}{5}}}$
	↓	Potenzgesetz anwenden
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2^{\frac{5}{5}}}=\frac{1}{2^1}=\frac{1}{2}$

$\displaystyle \sqrt[3]{z\cdot\sqrt[4]{\frac{1}{z}}}$	$=$
	↓	Potenzgesetze anwenden.
	$=$	$\displaystyle \sqrt[3]{z\cdot\frac{\sqrt[4]{1}}{\sqrt[4]{z}}}$
	↓	Zu einem Bruch zusammenfassen.
	$=$	$\displaystyle \sqrt[3]{z\cdot\frac{1}{\sqrt[4]{z}}}$
	$=$	$\displaystyle \sqrt[3]{\frac z{\sqrt[4]z}}$
	↓	Potenzgesetze anwenden.
	$=$	$\displaystyle \frac{\sqrt[3]z}{\sqrt[3]{\sqrt[4]z}}$
	$=$	$\displaystyle \frac{\sqrt[3]z}{\sqrt[3]{z^\frac14}}$
	$=$	$\displaystyle \frac{\sqrt[3]z}{\left(z^\frac14\right)^\frac13}$
	$=$	$\displaystyle \frac{\sqrt[3]z}{z^\frac1{12}}$
	$=$	$\displaystyle \frac{z^\frac13}{z^\frac1{12}}$
	$=$	$\displaystyle z^{\frac13-\frac1{12}}$
	↓	Exponenten auf gleichen Nenner bringen also $\frac13$ mit $4$ erweitern .
	$=$	$\displaystyle z^{\frac4{12}-\frac1{12}}$
	↓	Exponenten subtrahieren.
	$=$	$\displaystyle z^\frac3{12}$
	↓	Exponent kürzen.
	$=$	$\displaystyle z^\frac14$
	↓	Potenzgesetze anwenden.
	$=$	$\displaystyle \sqrt[4]z$

$\displaystyle \sqrt[3]{8e^6}\cdot\left(e^{\frac{3}{5}}\right)^{-\frac{10}{3}}$	$=$
	↓	Verwende $\sqrt[3]a=a^\frac13$ .
	$=$	$\displaystyle \left(8e^6\right)^{\frac{1}{3}}\cdot\left(e^{\frac{3}{5}}\right)^{-\frac{10}{3}}$
	↓	Potenzgesetz anwenden.
	$=$	$\displaystyle 2e^2\cdot e^{-2}$
	$=$	$\displaystyle 2\cdot e^{2+\left(-2\right)}$
	$=$	$\displaystyle 2\cdot e^0$
	↓	Potenzgesetz anwenden.
	$=$	$\displaystyle 2$

$\displaystyle y^{1\frac{1}{2}}\cdot y^{-0{,}75}\cdot\left(\sqrt[4]{y}\right)^5$	$=$
	↓	Exponenten in ganze Brüche umformen.
	$=$	$\displaystyle y^{\frac{3}{2}}\cdot y^{-\frac{3}{4}}\cdot\left(\sqrt[4]{y}\right)^5$
	↓	Verwende $\sqrt[4]y=y^\frac14$ .
	$=$	$\displaystyle y^\frac32\cdot y^{-\frac34}\cdot\left(y^\frac14\right)^5$
	↓	Potenzgesetze anwenden.
	$=$	$\displaystyle y^\frac32\cdot y^{-\frac34}\cdot y^\frac54$
	$=$	$\displaystyle y^{\frac32+\left(-\frac34\right)+\frac54}$
	↓	Hauptnenner bilden $(4).$
	$=$	$\displaystyle y^{\frac64-\frac34+\frac54}$
	$=$	$\displaystyle y^2$

$\displaystyle u^{-0{,}5}:\left(u^{-\frac{1}{3}}\cdot u^{-\frac{1}{6}}\right)$	$=$
	↓	Potenzgesetze anwenden.
	$=$	$\displaystyle \frac1{u^\frac12}:\left(\frac1{u^\frac13}\cdot\frac1{u^\frac16}\right)$
	↓	Klammer zusammenfassen. Wegen Division mit Kehrbruch multiplizieren .
	$=$	$\displaystyle \frac1{u^\frac12}\cdot\frac{u^\frac13\cdot u^\frac16}1$
	↓	Zu einem Bruch zusammenfassen.
	$=$	$\displaystyle \frac{u^\frac13\cdot u^\frac16}{u^\frac12}$
	↓	Potenzgesetze anwenden.
	$=$	$\displaystyle \frac{u^{\frac13+\frac16}}{u^\frac12}$
	↓	Nenner erweitern.
	$=$	$\displaystyle \frac{u^{\frac26+\frac16}}{u^\frac12}$
	↓	Exponenten summieren.
	$=$	$\displaystyle \frac{u^\frac36}{u^\frac12}$
	↓	Exponent kürzen.
	$=$	$\displaystyle \frac{u^\frac12}{u^\frac12}$
	↓	Dividieren.
	$=$	$\displaystyle 1$

$\displaystyle x^{\frac14\cdot2}$	$=$	$\displaystyle x^{2\cdot\frac14}$
	↓	Exponenten ausmultiplitzieren.
$\displaystyle x^\frac24$	$=$	$\displaystyle x^\frac24$
	↓	Kürzen.
$\displaystyle x^\frac12$	$=$	$\displaystyle x^\frac12$

$\displaystyle \sqrt[5]{x}$	$=$	$\displaystyle 3$	$\displaystyle \uparrow5$
	↓	Beide Seiten mit $5$ potenzieren.
$\displaystyle (\sqrt[5]{x})^5$	$=$	$\displaystyle 3^5$
	↓	Potenziere.
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 243$

$\displaystyle \sqrt[5]{x}$	$=$	$\displaystyle -3$	$\displaystyle \uparrow5$
	↓	Mit $5$ potenzieren.
$\displaystyle (\sqrt[5]{x})^5$	$=$	$\displaystyle (-3)^5$
	↓	Potenziere.
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle -243$

$\displaystyle x^\frac{3}{2}$	$=$	$\displaystyle 27$
	↓	Schreibe $x^{\frac32\;}$ in Wurzelschreibweise um.
$\displaystyle \sqrt x^3$	$=$	$\displaystyle 27$	$\displaystyle \sqrt[3]{ }$
	↓	Ziehe auf beiden Seiten die dritte Wurzel.
$\displaystyle \sqrt[3]{(\sqrt x)^3}$	$=$	$\displaystyle \sqrt[3]{27}$
$\displaystyle \sqrt x$	$=$	$\displaystyle 3$	$\displaystyle \uparrow 2$
	↓	Quadriere.
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 9$

$\displaystyle x^{-\frac12}$	$<$	$\displaystyle \frac 12$
	↓	$x^{-\frac12}$ in Wurzelschreibweise umschreiben.
$\displaystyle \sqrt {x^{-1}}$	$<$	$\displaystyle \frac 12$
	↓	$x^{-1}\;$ in Bruchschreibweise umschreiben. Es gilt: $x^{-m}=\frac1{x^m}$
$\displaystyle \sqrt{\frac 1x}$	$<$	$\displaystyle \frac 12$	$\displaystyle \uparrow2$
	↓	Auf beiden Seiten quadrieren.
$\displaystyle (\sqrt {\frac1x})^2$	$<$	$\displaystyle (\frac12)^2$
$\displaystyle \frac 1x$	$<$	$\displaystyle \frac 14$	$\displaystyle \cdot 4\cdot x$
$\displaystyle 4$	$<$	$\displaystyle x$

$\displaystyle \sqrt{\left(x^2-1\right)\ \left(x-1\right)}:\sqrt{x+1}$	$=$
	↓	Unter eine Wurzel schreiben
	$=$	$\displaystyle \sqrt{\left(x^2-1\right)\ \left(x-1\right):\left(x+1\right)}$
	↓	Binomische Formel auflösen
	$=$	$\displaystyle \sqrt{\left(x-1\right)\ \left(x+1\right)\left(x-1\right):\left(x+1\right)}$
	↓	$(x+1)$ kürzen
	$=$	$\displaystyle \sqrt{\left(x-1\right)\ \left(x-1\right)}$
	↓	Umschreiben
	$=$	$\displaystyle \sqrt{\left(x-1\right)^2}$
	↓	Unter der Wurzel darf nichts Negatives stehen. Durch das Quadrieren, wird der Wert positiv, weshalb alle Zahlen eingesetzt werden können. Wurzel ziehen. Wurzel und Quadrat heben sich auf. Wegen möglicher negativer Zahlen, Betragsstriche einfügen
	$=$	$\displaystyle \left\|x-1\right\|$

$\displaystyle \frac{\left(x-1\right)^{2n+1}}{\left(\sqrt{1-x}\right)^{2n+2}}$	$=$
	↓	Anwendung der Formel $\sqrt{a} = a^{\frac 12}$ .
	$=$	$\displaystyle \frac{\left(x-1\right)^{2n+1}}{\left(\left(1-x\right)^{\frac{1}{2}}\right)^{2n+2}}$
	↓	Anwendung des Potenzgesetzes: $(a^b)^c = a^{bc}$
	$=$	$\displaystyle \frac{\left(x-1\right)^{2n+1}}{\left(1-x\right)^{\frac{1}{2}\cdot\left(2n+2\right)}}$
	$=$	$\displaystyle \frac{\left(x-1\right)^{2n+1}}{\left(1-x\right)^{n+1}}$
	$=$	$\displaystyle \frac{\left(\left(-1\right)\cdot\left(1-x\right)\right)^{2n+1}}{\left(1-x\right)^{n+1}}$
	↓	Anwendung des Potenzgesetzes: $(ab)^c = a^c b^c$
	$=$	$\displaystyle \frac{(-1)^{2n+1}\cdot(1-x)^{2n+1}}{(1-x)^{n+1}}$
	↓	$(−1)^{2n+1}=−1$ , da $2n+1$ ungerade ist
	$=$	$\displaystyle \frac{(-1)\cdot(1-x)^{2n+1}}{(1-x)^{n+1}}$
	↓	Kürze
	$=$	$\displaystyle \left(-1\right)\cdot\left(1-x\right)^n$

$\displaystyle x^{-\frac23}$	$=$	$\displaystyle \frac 18$
	↓	$x^{-\frac23}$ in Wurzelschreibweise umschreiben.
$\displaystyle \sqrt[3]{x^{-2}}$	$=$	$\displaystyle \frac 18$	$\displaystyle \uparrow 3$
	↓	Beide Seiten mit $3$ potenzieren.
$\displaystyle x^{-2}$	$=$	$\displaystyle (\frac 18)^3$
$\displaystyle x^{-2}$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{8^3}$
$\displaystyle x^{-2}$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{512}$
	↓	$x^{-2}$ in Bruchschreibweise umschreiben. $\Rightarrow$ Für $x$ mit negativen Exponenten gilt immer : $x^{-n}=\frac1{x^n}$
$\displaystyle \frac{1}{x^2}$	$=$	$\displaystyle \frac1{512}$	$\displaystyle \cdot x^2 :512$
	↓	Über Kreuz multiplizieren.
$\displaystyle x^2$	$=$	$\displaystyle 512$	$\displaystyle \sqrt {}$
	↓	Auf beiden Seiten Wurzel ziehen.
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \pm \sqrt {512}$
	↓	$512=16\cdot16\cdot 2$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \pm \sqrt{16^2\cdot 2}$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \pm 16 \sqrt{2}$

$\displaystyle \sqrt[3]{2x-1}$	$=$	$\displaystyle 2$	$\displaystyle \uparrow 3$
	↓	Beide Seiten mit 3 potenzieren.
$\displaystyle \left(\sqrt[3]{2x-1}\right)^3$	$=$	$\displaystyle 2^3$
$\displaystyle 2x-1$	$=$	$\displaystyle 8$	$\displaystyle +1$
	↓	Gleichung nach x auflösen.
$\displaystyle 2x$	$=$	$\displaystyle 9$	$\displaystyle :2$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 4{,}5$

$\displaystyle \left(2x+1\right)^{-3}$	$=$	$\displaystyle 8$
	↓	Schreibe den negativen Exponenten in einen Bruch um.
$\displaystyle \frac1{\left(2x+1\right)^3}$	$=$	$\displaystyle 8$	$\displaystyle \cdot (2x+1)^3$
$\displaystyle 1$	$=$	$\displaystyle 8\cdot (2x+1)^3$	$\displaystyle \sqrt[3]{}$
	↓	Ziehe auf beiden Seiten die dritte Wurzel.
$\displaystyle \sqrt[3]{1}$	$=$	$\displaystyle \sqrt[3]{8\cdot(2x+1)^3}$
	↓	Schreibe das Produkt im Radikanten in 2 Wurzeln um.
$\displaystyle 1$	$=$	$\displaystyle \sqrt[3]{8}\cdot\sqrt[3]{(2x+1)^3}$
	↓	Ziehe die dritte Wurzel.
$\displaystyle 1$	$=$	$\displaystyle 2\cdot(2x+1)$
	↓	Ausmultiplizieren.
$\displaystyle 1$	$=$	$\displaystyle 4x+2$	$\displaystyle -2$
$\displaystyle 4x$	$=$	$\displaystyle -1$	$\displaystyle :4$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle -0{,}25$

$\displaystyle (2x+3)^{-4}$	$=$	$\displaystyle 0{,}0625$
	↓	Dezimalzahl in Bruch umschreiben.
$\displaystyle (2x+3)^{-4}$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{16}$
	↓	Schreibe $(2x+3)^{-}4$ als Bruch um.
$\displaystyle \frac1{\left(2x+3\right)^4}$	$=$	$\displaystyle \frac1{16}$	$\displaystyle \cdot 16\cdot (2x+3)^4$
	↓	$\frac1{16}$ in Potenzschreibweise schreiben.
$\displaystyle (2x+3)^4$	$=$	$\displaystyle 16$	$\displaystyle \sqrt[4]{}$
	↓	Auf beiden Seiten die vierte Wurzel ziehen. Vierte Wurzel und hoch 4 heben sich auf. Wegen möglicher negativer Zahlen, Betragsstriche einfügen.
$\displaystyle 2x+3$	$=$	$\displaystyle \sqrt[4]{16}$
$\displaystyle 2x+3$	$=$	$\displaystyle \pm 2$

$\displaystyle \left(\sqrt[6]{8}\cdot8^{\frac{1}{2}}\right)^4$	$=$
	↓	Forme $\sqrt[6]8$ mit Hilfe der Potenzgesetze in $8^\frac16$ um
	$=$	$\displaystyle \left(8^{\frac{1}{6}}\cdot8^{\frac{1}{2}}\right)^4$
	↓	Fasse $8^\frac16$ und $8^{\frac{1}{2}}$ zusammen.
	$=$	$\displaystyle \left(8^{\frac{1}{6}+\frac{1}{2}}\right)^4=\left(8^{\frac{2}{3}}\right)^4$
	↓	Ziehe die $2$ von $\frac{2}{3}$ mit Hilfe der Potenzgesetze aus der Klammer heraus.
	$=$	$\displaystyle \left(\sqrt[3]{8}\right)^8$
	$=$	$\displaystyle 2^8=256$
	$=$	$\displaystyle \left(8^{\frac{1}{3}}\right)^8$
	↓	Forme mit Hilfe der Potenzgesetze $8^\frac13$ in $\sqrt[3]8$ um

$\displaystyle \sqrt{x^{\frac{1}{6}}x^{-\frac{1}{2}}}$	$=$
	↓	Fasse mit Hilfe der Potenzgesetze $x^\frac16$ und $x^{-\frac{1}{2}}$ zusammen
	$=$	$\displaystyle \sqrt{x^{\frac{1}{6}-\frac{1}{2}}}=\sqrt{x^{-\frac{1}{3}}}$
	↓	Forme mit Hilfe der Potenzgesetze $\sqrt{}$ in ${}^\frac12$ um
	$=$	$\displaystyle \left(x^{-\frac{1}{3}}\right)^{\frac{1}{2}}$
	↓	Fasse ${}^\frac12$ und ${}^{-\frac13}$ zusammen.
	$=$	$\displaystyle x^{-\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}}=x^{-\frac{1}{6}}$
	↓	Wende die Potenzgesetze an.
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{\sqrt[6]{x}}$

$\displaystyle \sqrt[3]{a^{-2}}-3\sqrt[6]{a^{-4}}$	$=$
	↓	Potenzgesetze anwenden.
	$=$	$\displaystyle a^{-\frac{2}{3}}-3a^{-\frac{4}{6}}$
	↓	Die Potenz von $3a$ mit $2$ kürzen
	$=$	$\displaystyle a^{-\frac{2}{3}}-3a^{-\frac{2}{3}}$
	↓	Basen zusammenfassen
	$=$	$\displaystyle -2a^{-\frac{2}{3}}$

$\displaystyle \sqrt[4]{a^3\cdot\sqrt[3]{a^2\cdot\sqrt{a}}}$	$=$
	↓	Verwende $\sqrt{a}=a^{\frac{1}{2}}.$
	$=$	$\displaystyle \sqrt[4]{a^3\cdot\sqrt[3]{a^2\cdot a^{\frac{1}{2}}}}$
	↓	Bilde den Hauptnenner
	$=$	$\displaystyle \sqrt[4]{a^3\cdot\sqrt[3]{a^{\frac{4}{2}}\cdot a^{\frac{1}{2}}}}$
	$=$	$\displaystyle \sqrt[4]{a^3\cdot\sqrt[3]{a^{\frac{5}{2}}}}$
	↓	Die Wurzel in einen Exponent umschreiben wie im 1. Schritt
	$=$	$\displaystyle \sqrt[4]{a^3\cdot\left(a^{\frac{2}{5}}\right)^{\frac{1}{3}}}$
	↓	Ausmultiplizieren.
	$=$	$\displaystyle \sqrt[4]{a^3\cdot a^{\frac{5}{6}}}$
	↓	Hauptnenner bilden
	$=$	$\displaystyle \sqrt[4]{a^{\frac{18}{6}}\cdot a^{\frac{5}{6}}}$
	$=$	$\displaystyle \sqrt[4]{a^{\frac{23}{6}}}$
	↓	Die Wurzel in einen Exponent umschreiben wie im 1. Schritt
	$=$	$\displaystyle \left(a^{\frac{23}{6}}\right)^{\frac{1}{4}}$
	↓	Ausmultiplizieren.
	$=$	$\displaystyle a^{\frac{23}{24}}$
	$=$	$\displaystyle \sqrt[24]{a^{23}}$

$\displaystyle \sqrt[3]{80x^4}-2x\sqrt[6]{100x^2}$	$=$
	↓	Zerlege in Faktoren und radiziere teilweise.
	$=$	$\displaystyle \sqrt[3]{8\cdot10x^3\cdot x}-2x\sqrt[3]{\sqrt[2]{100x^2}}$
	$=$	$\displaystyle 2x\sqrt[3]{10x}-2x\sqrt[3]{10x}$
	$=$	$\displaystyle 0$

$\displaystyle \sqrt[3]{a^2}:\left(\sqrt[]{a^{ }}\right)^3$	$=$
	↓	Potenzgesetz anwenden
	$=$	$\displaystyle a^{\frac{2}{3}}:\left(\sqrt[]{a}\right)^3$
	↓	Umformen von $a$ zu $\left(\sqrt[]{a}\right)^2$
	$=$	$\displaystyle \left(\left(\sqrt[]{a}\right)^2\right)^{\frac{2}{3}}:\ \left(\sqrt[]{a}\right)^3$
	↓	Potenzgesetz anwenden
	$=$	$\displaystyle \left(\sqrt[]{a}\right)^{\frac{4}{3}}:\left(\sqrt[]{a}\right)^3$
	↓	Potenzgesetz anwenden
	$=$	$\displaystyle \left(\sqrt[]{a}\right)^{\frac{4}{3}-3}$
	↓	Im Exponenten den Hauptnenner $(3)$ bilden und mit diesem erweitern.
	$=$	$\displaystyle \left(\sqrt[]{a}\right)^{\frac{4}{3}-\frac{9}{3}}$
	$=$	$\displaystyle \left(\sqrt[]{a}\right)-\frac{5}{3}$
	↓	$\sqrt[]{a}$ umschreiben in $a^{\frac{1}{2}}$
	$=$	$\displaystyle \left(a^{\frac{1}{2}}\right)^{-\frac{5}{3}}$
	↓	Potenzgesetz anwenden
	$=$	$\displaystyle a^{-\frac{5}{6}}$

Aufgaben zu Potenzen mit rationalen und reellen Exponenten

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$\displaystyle \sqrt{t\sqrt{t\sqrt{t}}}$	$=$
	↓	Verwende $\sqrt{t}=t^{\frac{1}{2}}$
	$=$	$\displaystyle \sqrt{t\sqrt{t\cdot t^{\frac{1}{2}}}}$
	↓	Wende die Potenzgesetze an
	$=$	$\displaystyle \sqrt{t\sqrt{t^{1+\frac{1}{2}}}}$
	↓	Im Exponenten Hauptnenner $(2)$ bilden
	$=$	$\displaystyle \sqrt{t\sqrt{t^{\frac{2}{2}+\frac{1}{2}}}}$
	$=$	$\displaystyle \sqrt{t\sqrt{t^{\frac{3}{2}}}}$
	↓	Verwende $\sqrt{t}=t^{\frac{1}{2}}$
	$=$	$\displaystyle \sqrt{t\cdot\left(t^{\frac{3}{2}}\right)^{\frac{1}{2}}}$
	↓	Anwendung der Potenzgesetze.
	$=$	$\displaystyle \sqrt{t\cdot t^{\frac{3}{4}}}$
	↓	Anwendung der Potenzgesetze.
	$=$	$\displaystyle \sqrt{t^{1+\frac{3}{4}}}$
	↓	Im Exponenten Hauptnenner bilden
	$=$	$\displaystyle \sqrt{t^{\frac{4}{4}+\frac{3}{4}}}$
	$=$	$\displaystyle \sqrt{t^{\frac{7}{4}}}$
	↓	Verwende $\sqrt{t}=t^{\frac{1}{2}}$
	$=$	$\displaystyle \left(t^{\frac{7}{4}}\right)^{\frac{1}{2}}$
	↓	Anwendung der Potenzgesetze
	$=$	$\displaystyle t^{\frac{7}{8}}$

$\displaystyle \left(\sqrt{u+v}+\sqrt{u-v}\right)\cdot\left(\sqrt{u+v}-\sqrt{u-v}\right)$	$=$
	↓	Def.: $u+v$ und $u-v ≥0$
$\displaystyle \left(\sqrt{u+v}+\sqrt{u-v}\right)\cdot\left(\sqrt{u+v}-\sqrt{u-v}\right)$	$=$
	↓	Binomische Formel anwenden.
	$=$	$\displaystyle \left(u+v\right)-\left(u-v\right)$
	↓	Klammer auflösen
	$=$	$\displaystyle u+v-u+v$
	$=$	$\displaystyle 2v$
	↓	Def.: $u+v$ und $u-v ≥0$

$\displaystyle \sqrt{m\cdot\sqrt[3]{m}}\cdot\sqrt[3]{m\cdot m}\cdot\sqrt[6]{m}$	$=$
	↓	Verwende $\sqrt[]{m}=m^{\frac{1}{2}}$
	$=$	$\displaystyle \sqrt{m\cdot m^{\frac{1}{3}}}\cdot\sqrt[3]{m\cdot m^{\frac{1}{2}}}\cdot m^{\frac{1}{6}}$
	↓	Potenzgesetz anwenden.
	$=$	$\displaystyle \sqrt{m^{1+\frac{1}{3}}}\cdot\sqrt[3]{m^{1+\frac{1}{2}}}\cdot m^{\frac{1}{6}}$
	↓	Im Exponent jeweils Hauptnenner bilden
	$=$	$\displaystyle \sqrt{m^{\frac{3}{3}+\frac{1}{3}}}\cdot\sqrt[3]{m^{\frac{2}{2}+\frac{1}{2}}}\cdot m^{\frac{1}{6}}$
	$=$	$\displaystyle \sqrt{m^{\frac{4}{3}}}\cdot\sqrt[3]{m^{\frac{3}{2}}}\cdot m^{\frac{1}{6}}$
	↓	Verwende $\sqrt{m}=m^{\frac{1}{2}}$
	$=$	$\displaystyle \left(m^{\frac{4}{3}}\right)^{\frac{1}{2}}\cdot\left(m^{\frac{1}{2}}\right)\cdot m^{\frac{1}{6}}$
	↓	Potenzgesetz anwenden
	$=$	$\displaystyle m^{\frac{2}{3}}\cdot m^{\frac{1}{2}}m^{\frac{1}{6}}$
	↓	Potenzgesetz anwenden
	$=$	$\displaystyle m^{\frac{2}{3}+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}}$
	↓	Im Exponent Hauptnenner bilden.
	$=$	$\displaystyle m^{\frac{4}{6}+\frac{3}{6}+\frac{1}{6}}$
	$=$	$\displaystyle m^{\frac{8}{6}}$
	↓	Kürzen mit 2
	$=$	$\displaystyle m^{\frac{4}{3}}$
	↓	Verwende $m^{\frac{4}{3}}=\sqrt[3]{m^4}$ $\rightarrow$ Potenzgesetz
	$=$	$\displaystyle \sqrt[3]{m^4}$

$\displaystyle \sqrt{\frac{a}{2-a}}\cdot\sqrt{2a-a^2}$	$=$
	↓	Im 2. Faktor $a$ ausklammern
	$=$	$\displaystyle \sqrt{\frac{a}{2-a}}\cdot\sqrt{\frac{a\left(2-a\right)}{1}}$
	↓	Multiplikation.
	$=$	$\displaystyle \sqrt{\frac{a^2\cdot\left(2-a\right)}{\left(2-a\right)\cdot1}}$
	↓	Kürze $2-a$
	$=$	$\displaystyle \sqrt{a^2}=a$

$\displaystyle \sqrt{\frac{a}{3b}}:\sqrt{\frac{b^3}{27a}}$	$=$
	↓	Potenzgesetze anwenden
	$=$	$\displaystyle \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{3b}}:\frac{\sqrt{b^3}}{\sqrt{27a}}$
	↓	Wegen Division mit Kehrbruch multiplizieren
	$=$	$\displaystyle \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{3b}}\cdot\frac{\sqrt{27a}}{\sqrt{b^3}}$
	↓	Brüche multiplizieren
	$=$	$\displaystyle \frac{\sqrt{27a\cdot a}}{\sqrt{3b\cdot b^3}}$
	↓	Teilweise radizieren
	$=$	$\displaystyle \frac{a\cdot\sqrt{27}}{b^2\cdot\sqrt{3}}$
	↓	In zwei Brüchen darstellen
	$=$	$\displaystyle \frac{a}{b^2}\cdot\frac{\sqrt{27}}{\sqrt{3}}$
	↓	Potenzgesetze anwenden
	$=$	$\displaystyle \frac{a}{b^2}\cdot\sqrt{\frac{27}{3}}$
	↓	Radizieren
	$=$	$\displaystyle \frac{a}{b^2}\cdot3$
	$=$	$\displaystyle \frac{3a}{b^2}$

$\displaystyle \sqrt{\mathrm{xy}^2}\cdot\sqrt{\frac{8}{y^2}}-\sqrt{2x}$	$=$
	↓	Multiplikation
	$=$	$\displaystyle \sqrt{\frac{xy^2\cdot8}{y^2}}-\sqrt{2x}$
	↓	Mit $y^2$ kürzen
	$=$	$\displaystyle \sqrt{8x}-\sqrt{2x}$
	↓	Teilweise radizieren
	$=$	$\displaystyle 2\sqrt{2x}-\sqrt{2x}$
	$=$	$\displaystyle \sqrt{2x}$

$\displaystyle \sqrt{\mathrm{xy}^2}\cdot\sqrt{\frac{8}{y^2}}-2\sqrt{x}$	$=$	$\displaystyle \sqrt{\frac{xy^2\cdot8}{y^2}}-2\sqrt{x}$
	↓	Mit $y^2$ kürzen.
	$=$	$\displaystyle \sqrt{8x}-2\sqrt{x}$
	↓	Teilweise radizieren.
	$=$	$\displaystyle 2\sqrt{2x}-2\sqrt{x}$