Aufgaben zu Potenzen mit rationalen und reellen Exponenten

…

Gib jeweils den Potenzwert ohne Verwendung des Taschenrechners an.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}8^\frac23\end{array}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzen

$\displaystyle 8^{\frac{2}{3}}$	$=$
	↓	In Wurzelschreibweise schreiben
	$=$	$\displaystyle \sqrt[3]{8^2}$
	$=$	$\displaystyle \sqrt[3]{64}$
	↓	Die 3. Wurzel aus 64 ziehen
	$=$	$\displaystyle 4$

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$4^{-\frac12}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzen

$\displaystyle 4^{-\frac{1}{2}}$	$=$
	↓	In Wurzelschreibweise und als Bruch schreiben
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{4}}$
	↓	Die Wurzel aus $4$ ziehen
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}$

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$\sqrt[7]{128}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzen
$\displaystyle \sqrt[7]{128}$ $=$ $\displaystyle 2$
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$1024^{-\frac3{10}}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzen

$\displaystyle 1024^{-\frac{3}{10}}$	$=$
	↓	Verwende $1024=2^{10}$
	$=$	$\displaystyle \left(2^{10}\right)^{-\frac{3}{10}}$
	↓	Potenzgesetz anwenden.
	$=$	$\displaystyle 2^{-\frac{10\cdot3}{10}}$
	↓	Kürzen und Potenzgesetz anwenden
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2^3}$
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{8}$

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$0{,}04^\frac32$

$\displaystyle 0{,}04^{\frac{3}{2}}$	$=$
	↓	Verwende $a^\frac12=\sqrt a$ .
	$=$	$\displaystyle \sqrt{0{,}04}^3$
	↓	Verwende $\sqrt{0{,}04}=0{,}2$
	$=$	$\displaystyle 0{,}2^3$
	$=$	$\displaystyle 0{,}008$

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$\sqrt[4]{0{,}0001}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzen

$\displaystyle \sqrt[4]{0{,}0001}$	$=$
	↓	Verwende $0{,}0001=0{,}1^4$
	$=$	$\displaystyle \sqrt[4]{0{,}1^4}$
	↓	Potenz und Wurzel heben sich auf
	$=$	$\displaystyle 0{,}1$

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$\left(\sqrt[3]{512}\right)^2$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzen

$\displaystyle \left(\sqrt[3]{512}\right)^2$	$=$
	↓	Verwende $512=8^3$
	$=$	$\displaystyle \left(\sqrt[3]{8^3}\right)^2$
	↓	Potenz und Wurzel heben sich auf
	$=$	$\displaystyle 8^2$
	$=$	$\displaystyle 64$

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$8^{-0{,}2}\;:\;0{,}25^{-0{,}2}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzen

$\displaystyle 8^{-0{,}2}:0{,}25^{-0{,}2}$	$=$
	↓	Potenzgesetz anwenden
	$=$	$\displaystyle \left(\frac{8}{0{,}25}\right)^{-0{,}2}$
	$=$	$\displaystyle 32^{-0{,}2}$
	↓	Potenzgesetz anwenden. Umformen des Exponenten in einen Bruch.
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{32^{\frac{1}{5}}}$
	↓	Verwende $32=2^5$
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{\left(2^5\right)^{\frac{1}{5}}}$
	↓	Potenzgesetz anwenden
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2^{\frac{5}{5}}}=\frac{1}{2^1}=\frac{1}{2}$

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Fasse so weit wie möglich zusammen.

$\sqrt[3]{z\cdot\sqrt[4]{\frac1z}}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzieren

$\displaystyle \sqrt[3]{z\cdot\sqrt[4]{\frac{1}{z}}}$	$=$
	↓	Potenzgesetze anwenden.
	$=$	$\displaystyle \sqrt[3]{z\cdot\frac{\sqrt[4]{1}}{\sqrt[4]{z}}}$
	↓	Zu einem Bruch zusammenfassen.
	$=$	$\displaystyle \sqrt[3]{z\cdot\frac{1}{\sqrt[4]{z}}}$
	$=$	$\displaystyle \sqrt[3]{\frac z{\sqrt[4]z}}$
	↓	Potenzgesetze anwenden.
	$=$	$\displaystyle \frac{\sqrt[3]z}{\sqrt[3]{\sqrt[4]z}}$
	$=$	$\displaystyle \frac{\sqrt[3]z}{\sqrt[3]{z^\frac14}}$
	$=$	$\displaystyle \frac{\sqrt[3]z}{\left(z^\frac14\right)^\frac13}$
	$=$	$\displaystyle \frac{\sqrt[3]z}{z^\frac1{12}}$
	$=$	$\displaystyle \frac{z^\frac13}{z^\frac1{12}}$
	$=$	$\displaystyle z^{\frac13-\frac1{12}}$
	↓	Exponenten auf gleichen Nenner bringen also $\frac13$ mit $4$ erweitern .
	$=$	$\displaystyle z^{\frac4{12}-\frac1{12}}$
	↓	Exponenten subtrahieren.
	$=$	$\displaystyle z^\frac3{12}$
	↓	Exponent kürzen.
	$=$	$\displaystyle z^\frac14$
	↓	Potenzgesetze anwenden.
	$=$	$\displaystyle \sqrt[4]z$

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$\sqrt[3]{8e^6}\cdot\left(e^\frac35\right)^{-\frac{10}3}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzieren

$\displaystyle \sqrt[3]{8e^6}\cdot\left(e^{\frac{3}{5}}\right)^{-\frac{10}{3}}$	$=$
	↓	Verwende $\sqrt[3]a=a^\frac13$ .
	$=$	$\displaystyle \left(8e^6\right)^{\frac{1}{3}}\cdot\left(e^{\frac{3}{5}}\right)^{-\frac{10}{3}}$
	↓	Potenzgesetz anwenden.
	$=$	$\displaystyle 2e^2\cdot e^{-2}$
	$=$	$\displaystyle 2\cdot e^{2+\left(-2\right)}$
	$=$	$\displaystyle 2\cdot e^0$
	↓	Potenzgesetz anwenden.
	$=$	$\displaystyle 2$

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$y^{1\frac12}\cdot y^{-0{,}75}\cdot\left(\sqrt[4]y\right)^5$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzieren

$\displaystyle y^{1\frac{1}{2}}\cdot y^{-0{,}75}\cdot\left(\sqrt[4]{y}\right)^5$	$=$
	↓	Exponenten in ganze Brüche umformen.
	$=$	$\displaystyle y^{\frac{3}{2}}\cdot y^{-\frac{3}{4}}\cdot\left(\sqrt[4]{y}\right)^5$
	↓	Verwende $\sqrt[4]y=y^\frac14$ .
	$=$	$\displaystyle y^\frac32\cdot y^{-\frac34}\cdot\left(y^\frac14\right)^5$
	↓	Potenzgesetze anwenden.
	$=$	$\displaystyle y^\frac32\cdot y^{-\frac34}\cdot y^\frac54$
	$=$	$\displaystyle y^{\frac32+\left(-\frac34\right)+\frac54}$
	↓	Hauptnenner bilden $(4).$
	$=$	$\displaystyle y^{\frac64-\frac34+\frac54}$
	$=$	$\displaystyle y^2$

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$u^{-0{,}5}:\left(u^{-\frac13}\cdot u^{-\frac16}\right)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzieren

$\displaystyle u^{-0{,}5}:\left(u^{-\frac{1}{3}}\cdot u^{-\frac{1}{6}}\right)$	$=$
	↓	Potenzgesetze anwenden.
	$=$	$\displaystyle \frac1{u^\frac12}:\left(\frac1{u^\frac13}\cdot\frac1{u^\frac16}\right)$
	↓	Klammer zusammenfassen. Wegen Division mit Kehrbruch multiplizieren .
	$=$	$\displaystyle \frac1{u^\frac12}\cdot\frac{u^\frac13\cdot u^\frac16}1$
	↓	Zu einem Bruch zusammenfassen.
	$=$	$\displaystyle \frac{u^\frac13\cdot u^\frac16}{u^\frac12}$
	↓	Potenzgesetze anwenden.
	$=$	$\displaystyle \frac{u^{\frac13+\frac16}}{u^\frac12}$
	↓	Nenner erweitern.
	$=$	$\displaystyle \frac{u^{\frac26+\frac16}}{u^\frac12}$
	↓	Exponenten summieren.
	$=$	$\displaystyle \frac{u^\frac36}{u^\frac12}$
	↓	Exponent kürzen.
	$=$	$\displaystyle \frac{u^\frac12}{u^\frac12}$
	↓	Dividieren.
	$=$	$\displaystyle 1$

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Sind die folgenden Terme äquivalent?

$\left(\sqrt[4]x\right)^2\;$ und $\sqrt[4]{x^2}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzen und Wurzeln

Die Terme sind nicht äquivalent, weil $\sqrt[4]{x}$ nur für $x\ge 0$ definiert ist, aber in $\sqrt[4]{x^2}$ jedes reelle $x$ eingesetzt werden kann. Beschränkt man sich auf positive $x$ , so sind die Terme äquivalent:

$\left(\sqrt[4]x\right)^2\overset?=\sqrt[4]{x^2}$

Potenzgesetze anwenden.

$\left(x^\frac14\right)^2=\left(x^2\right)^\frac14$

$\displaystyle x^{\frac14\cdot2}$	$=$	$\displaystyle x^{2\cdot\frac14}$
	↓	Exponenten ausmultiplitzieren.
$\displaystyle x^\frac24$	$=$	$\displaystyle x^\frac24$
	↓	Kürzen.
$\displaystyle x^\frac12$	$=$	$\displaystyle x^\frac12$

In Wurzelschreibweise darstellen.

$\sqrt x\;\;\;\;\;=\sqrt x$

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Bestimme die Lösung der Gleichung.

$\sqrt[5]x=3$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzieren

$\displaystyle \sqrt[5]{x}$	$=$	$\displaystyle 3$	$\displaystyle \uparrow5$
	↓	Beide Seiten mit $5$ potenzieren.
$\displaystyle (\sqrt[5]{x})^5$	$=$	$\displaystyle 3^5$
	↓	Potenziere.
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 243$

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$\sqrt[5]x=-3$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzieren

$\displaystyle \sqrt[5]{x}$	$=$	$\displaystyle -3$	$\displaystyle \uparrow5$
	↓	Mit $5$ potenzieren.
$\displaystyle (\sqrt[5]{x})^5$	$=$	$\displaystyle (-3)^5$
	↓	Potenziere.
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle -243$

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$x^\frac32=27$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzieren

$\displaystyle x^\frac{3}{2}$	$=$	$\displaystyle 27$
	↓	Schreibe $x^{\frac32\;}$ in Wurzelschreibweise um.
$\displaystyle \sqrt x^3$	$=$	$\displaystyle 27$	$\displaystyle \sqrt[3]{ }$
	↓	Ziehe auf beiden Seiten die dritte Wurzel.
$\displaystyle \sqrt[3]{(\sqrt x)^3}$	$=$	$\displaystyle \sqrt[3]{27}$
$\displaystyle \sqrt x$	$=$	$\displaystyle 3$	$\displaystyle \uparrow 2$
	↓	Quadriere.
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 9$

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$x^{-\frac23}=\frac18$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzieren

$\displaystyle x^{-\frac23}$	$=$	$\displaystyle \frac 18$
	↓	$x^{-\frac23}$ in Wurzelschreibweise umschreiben.
$\displaystyle \sqrt[3]{x^{-2}}$	$=$	$\displaystyle \frac 18$	$\displaystyle \uparrow 3$
	↓	Beide Seiten mit $3$ potenzieren.
$\displaystyle x^{-2}$	$=$	$\displaystyle (\frac 18)^3$
$\displaystyle x^{-2}$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{8^3}$
$\displaystyle x^{-2}$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{512}$
	↓	$x^{-2}$ in Bruchschreibweise umschreiben. $\Rightarrow$ Für $x$ mit negativen Exponenten gilt immer : $x^{-n}=\frac1{x^n}$
$\displaystyle \frac{1}{x^2}$	$=$	$\displaystyle \frac1{512}$	$\displaystyle \cdot x^2 :512$
	↓	Über Kreuz multiplizieren.
$\displaystyle x^2$	$=$	$\displaystyle 512$	$\displaystyle \sqrt {}$
	↓	Auf beiden Seiten Wurzel ziehen.
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \pm \sqrt {512}$
	↓	$512=16\cdot16\cdot 2$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \pm \sqrt{16^2\cdot 2}$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \pm 16 \sqrt{2}$

$\;\;\Rightarrow\;\;$ $x_1=+16\sqrt2$ und $x_2=-16\sqrt2$

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$x^{-\frac12}<\frac12$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzieren

$\displaystyle x^{-\frac12}$	$<$	$\displaystyle \frac 12$
	↓	$x^{-\frac12}$ in Wurzelschreibweise umschreiben.
$\displaystyle \sqrt {x^{-1}}$	$<$	$\displaystyle \frac 12$
	↓	$x^{-1}\;$ in Bruchschreibweise umschreiben. Es gilt: $x^{-m}=\frac1{x^m}$
$\displaystyle \sqrt{\frac 1x}$	$<$	$\displaystyle \frac 12$	$\displaystyle \uparrow2$
	↓	Auf beiden Seiten quadrieren.
$\displaystyle (\sqrt {\frac1x})^2$	$<$	$\displaystyle (\frac12)^2$
$\displaystyle \frac 1x$	$<$	$\displaystyle \frac 14$	$\displaystyle \cdot 4\cdot x$
$\displaystyle 4$	$<$	$\displaystyle x$

$\Rightarrow x>4$

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$\sqrt[3]{2x-1}=2$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzieren

$\displaystyle \sqrt[3]{2x-1}$	$=$	$\displaystyle 2$	$\displaystyle \uparrow 3$
	↓	Beide Seiten mit 3 potenzieren.
$\displaystyle \left(\sqrt[3]{2x-1}\right)^3$	$=$	$\displaystyle 2^3$
$\displaystyle 2x-1$	$=$	$\displaystyle 8$	$\displaystyle +1$
	↓	Gleichung nach x auflösen.
$\displaystyle 2x$	$=$	$\displaystyle 9$	$\displaystyle :2$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 4{,}5$

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$\left(2x+1\right)^{-3}=8$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzieren

$\displaystyle \left(2x+1\right)^{-3}$	$=$	$\displaystyle 8$
	↓	Schreibe den negativen Exponenten in einen Bruch um.
$\displaystyle \frac1{\left(2x+1\right)^3}$	$=$	$\displaystyle 8$	$\displaystyle \cdot (2x+1)^3$
$\displaystyle 1$	$=$	$\displaystyle 8\cdot (2x+1)^3$	$\displaystyle \sqrt[3]{}$
	↓	Ziehe auf beiden Seiten die dritte Wurzel.
$\displaystyle \sqrt[3]{1}$	$=$	$\displaystyle \sqrt[3]{8\cdot(2x+1)^3}$
	↓	Schreibe das Produkt im Radikanten in 2 Wurzeln um.
$\displaystyle 1$	$=$	$\displaystyle \sqrt[3]{8}\cdot\sqrt[3]{(2x+1)^3}$
	↓	Ziehe die dritte Wurzel.
$\displaystyle 1$	$=$	$\displaystyle 2\cdot(2x+1)$
	↓	Ausmultiplizieren.
$\displaystyle 1$	$=$	$\displaystyle 4x+2$	$\displaystyle -2$
$\displaystyle 4x$	$=$	$\displaystyle -1$	$\displaystyle :4$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle -0{,}25$

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$\left(2x+3\right)^{-4}=0{,}0625$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzieren

$\displaystyle (2x+3)^{-4}$	$=$	$\displaystyle 0{,}0625$
	↓	Dezimalzahl in Bruch umschreiben.
$\displaystyle (2x+3)^{-4}$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{16}$
	↓	Schreibe $(2x+3)^{-}4$ als Bruch um.
$\displaystyle \frac1{\left(2x+3\right)^4}$	$=$	$\displaystyle \frac1{16}$	$\displaystyle \cdot 16\cdot (2x+3)^4$
	↓	$\frac1{16}$ in Potenzschreibweise schreiben.
$\displaystyle (2x+3)^4$	$=$	$\displaystyle 16$	$\displaystyle \sqrt[4]{}$
	↓	Auf beiden Seiten die vierte Wurzel ziehen. Vierte Wurzel und hoch 4 heben sich auf. Wegen möglicher negativer Zahlen, Betragsstriche einfügen.
$\displaystyle 2x+3$	$=$	$\displaystyle \sqrt[4]{16}$
$\displaystyle 2x+3$	$=$	$\displaystyle \pm 2$

Also entweder ist $2x+3=2$ oder $2x+3=-2$ . Wenn du auf beiden Seiten nun $3$ abziehst und durch $2$ teilst, erhältst du die Lösungen:

$\Rightarrow x_1 = -\frac 12=-0{,}5\;; x_2=-\frac 52=-2{,}5$

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Vereinfache folgende Wurzelterme so weit wie möglich.

strobl-f.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Franz Strobl

$\left(\sqrt[6]8\cdot8^\frac12\right)^4$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzen

$\displaystyle \left(\sqrt[6]{8}\cdot8^{\frac{1}{2}}\right)^4$	$=$
	↓	Forme $\sqrt[6]8$ mit Hilfe der Potenzgesetze in $8^\frac16$ um
	$=$	$\displaystyle \left(8^{\frac{1}{6}}\cdot8^{\frac{1}{2}}\right)^4$
	↓	Fasse $8^\frac16$ und $8^{\frac{1}{2}}$ zusammen.
	$=$	$\displaystyle \left(8^{\frac{1}{6}+\frac{1}{2}}\right)^4=\left(8^{\frac{2}{3}}\right)^4$
	↓	Ziehe die $2$ von $\frac{2}{3}$ mit Hilfe der Potenzgesetze aus der Klammer heraus.
	$=$	$\displaystyle \left(\sqrt[3]{8}\right)^8$
	$=$	$\displaystyle 2^8=256$
	$=$	$\displaystyle \left(8^{\frac{1}{3}}\right)^8$
	↓	Forme mit Hilfe der Potenzgesetze $8^\frac13$ in $\sqrt[3]8$ um

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strobl-f.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Franz Strobl

$\sqrt{x^\frac16x^{-\frac12}}\;\;\;\left(x\;>\;0\right)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzen

$\displaystyle \sqrt{x^{\frac{1}{6}}x^{-\frac{1}{2}}}$	$=$
	↓	Fasse mit Hilfe der Potenzgesetze $x^\frac16$ und $x^{-\frac{1}{2}}$ zusammen
	$=$	$\displaystyle \sqrt{x^{\frac{1}{6}-\frac{1}{2}}}=\sqrt{x^{-\frac{1}{3}}}$
	↓	Forme mit Hilfe der Potenzgesetze $\sqrt{}$ in ${}^\frac12$ um
	$=$	$\displaystyle \left(x^{-\frac{1}{3}}\right)^{\frac{1}{2}}$
	↓	Fasse ${}^\frac12$ und ${}^{-\frac13}$ zusammen.
	$=$	$\displaystyle x^{-\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}}=x^{-\frac{1}{6}}$
	↓	Wende die Potenzgesetze an.
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{\sqrt[6]{x}}$

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$\sqrt[3]{a^{-2}}-3\sqrt[6]{a^{-4}}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzen

$\displaystyle \sqrt[3]{a^{-2}}-3\sqrt[6]{a^{-4}}$	$=$
	↓	Potenzgesetze anwenden.
	$=$	$\displaystyle a^{-\frac{2}{3}}-3a^{-\frac{4}{6}}$
	↓	Die Potenz von $3a$ mit $2$ kürzen
	$=$	$\displaystyle a^{-\frac{2}{3}}-3a^{-\frac{2}{3}}$
	↓	Basen zusammenfassen
	$=$	$\displaystyle -2a^{-\frac{2}{3}}$

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$\sqrt[4]{a^3\cdot\sqrt[3]{a^2\cdot\sqrt a}}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzen

$\displaystyle \sqrt[4]{a^3\cdot\sqrt[3]{a^2\cdot\sqrt{a}}}$	$=$
	↓	Verwende $\sqrt{a}=a^{\frac{1}{2}}.$
	$=$	$\displaystyle \sqrt[4]{a^3\cdot\sqrt[3]{a^2\cdot a^{\frac{1}{2}}}}$
	↓	Bilde den Hauptnenner
	$=$	$\displaystyle \sqrt[4]{a^3\cdot\sqrt[3]{a^{\frac{4}{2}}\cdot a^{\frac{1}{2}}}}$
	$=$	$\displaystyle \sqrt[4]{a^3\cdot\sqrt[3]{a^{\frac{5}{2}}}}$
	↓	Die Wurzel in einen Exponent umschreiben wie im 1. Schritt
	$=$	$\displaystyle \sqrt[4]{a^3\cdot\left(a^{\frac{2}{5}}\right)^{\frac{1}{3}}}$
	↓	Ausmultiplizieren.
	$=$	$\displaystyle \sqrt[4]{a^3\cdot a^{\frac{5}{6}}}$
	↓	Hauptnenner bilden
	$=$	$\displaystyle \sqrt[4]{a^{\frac{18}{6}}\cdot a^{\frac{5}{6}}}$
	$=$	$\displaystyle \sqrt[4]{a^{\frac{23}{6}}}$
	↓	Die Wurzel in einen Exponent umschreiben wie im 1. Schritt
	$=$	$\displaystyle \left(a^{\frac{23}{6}}\right)^{\frac{1}{4}}$
	↓	Ausmultiplizieren.
	$=$	$\displaystyle a^{\frac{23}{24}}$
	$=$	$\displaystyle \sqrt[24]{a^{23}}$

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$\sqrt[3]{80x^4}-2x\sqrt[6]{100x^2}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzen

$\displaystyle \sqrt[3]{80x^4}-2x\sqrt[6]{100x^2}$	$=$
	↓	Zerlege in Faktoren und radiziere teilweise.
	$=$	$\displaystyle \sqrt[3]{8\cdot10x^3\cdot x}-2x\sqrt[3]{\sqrt[2]{100x^2}}$
	$=$	$\displaystyle 2x\sqrt[3]{10x}-2x\sqrt[3]{10x}$
	$=$	$\displaystyle 0$

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$\sqrt[3]{a^2}\;:\;\left(\sqrt a\right)^3$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzen

$\displaystyle \sqrt[3]{a^2}:\left(\sqrt[]{a^{ }}\right)^3$	$=$
	↓	Potenzgesetz anwenden
	$=$	$\displaystyle a^{\frac{2}{3}}:\left(\sqrt[]{a}\right)^3$
	↓	Umformen von $a$ zu $\left(\sqrt[]{a}\right)^2$
	$=$	$\displaystyle \left(\left(\sqrt[]{a}\right)^2\right)^{\frac{2}{3}}:\ \left(\sqrt[]{a}\right)^3$
	↓	Potenzgesetz anwenden
	$=$	$\displaystyle \left(\sqrt[]{a}\right)^{\frac{4}{3}}:\left(\sqrt[]{a}\right)^3$
	↓	Potenzgesetz anwenden
	$=$	$\displaystyle \left(\sqrt[]{a}\right)^{\frac{4}{3}-3}$
	↓	Im Exponenten den Hauptnenner $(3)$ bilden und mit diesem erweitern.
	$=$	$\displaystyle \left(\sqrt[]{a}\right)^{\frac{4}{3}-\frac{9}{3}}$
	$=$	$\displaystyle \left(\sqrt[]{a}\right)-\frac{5}{3}$
	↓	$\sqrt[]{a}$ umschreiben in $a^{\frac{1}{2}}$
	$=$	$\displaystyle \left(a^{\frac{1}{2}}\right)^{-\frac{5}{3}}$
	↓	Potenzgesetz anwenden
	$=$	$\displaystyle a^{-\frac{5}{6}}$

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$\sqrt{t\sqrt{t\sqrt t}}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzen

$\displaystyle \sqrt{t\sqrt{t\sqrt{t}}}$	$=$
	↓	Verwende $\sqrt{t}=t^{\frac{1}{2}}$
	$=$	$\displaystyle \sqrt{t\sqrt{t\cdot t^{\frac{1}{2}}}}$
	↓	Wende die Potenzgesetze an
	$=$	$\displaystyle \sqrt{t\sqrt{t^{1+\frac{1}{2}}}}$
	↓	Im Exponenten Hauptnenner $(2)$ bilden
	$=$	$\displaystyle \sqrt{t\sqrt{t^{\frac{2}{2}+\frac{1}{2}}}}$
	$=$	$\displaystyle \sqrt{t\sqrt{t^{\frac{3}{2}}}}$
	↓	Verwende $\sqrt{t}=t^{\frac{1}{2}}$
	$=$	$\displaystyle \sqrt{t\cdot\left(t^{\frac{3}{2}}\right)^{\frac{1}{2}}}$
	↓	Anwendung der Potenzgesetze.
	$=$	$\displaystyle \sqrt{t\cdot t^{\frac{3}{4}}}$
	↓	Anwendung der Potenzgesetze.
	$=$	$\displaystyle \sqrt{t^{1+\frac{3}{4}}}$
	↓	Im Exponenten Hauptnenner bilden
	$=$	$\displaystyle \sqrt{t^{\frac{4}{4}+\frac{3}{4}}}$
	$=$	$\displaystyle \sqrt{t^{\frac{7}{4}}}$
	↓	Verwende $\sqrt{t}=t^{\frac{1}{2}}$
	$=$	$\displaystyle \left(t^{\frac{7}{4}}\right)^{\frac{1}{2}}$
	↓	Anwendung der Potenzgesetze
	$=$	$\displaystyle t^{\frac{7}{8}}$

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$\left(\sqrt{u+v}+\sqrt{u-v}\right)\cdot\left(\sqrt{u+v}-\sqrt{u-v}\right)$