Geradengleichung

Allgemeine Geradengleichung

Um die Gerade aufzustellen, braucht man lediglich die Steigung und den Schnittpunkt der Gerade mit der y-Achse.

Bestandteile der Geradengleichung

Eine Geradengleichung besteht aus einer Steigung und dem y-Achsenabschnitt t. Diese Bestandteile werden im Folgenden näher erläutert.

Steigung

Die Steigung gibt an, wie schnell eine Gerade steigt oder fällt. Aus der gegebenen Gleichung kann man hier die Steigung $m=2$ herauslesen.

Wüsste man das nicht, könnte man die Steigung auch anhand eines Steigungsdreiecks bestimmen. Dazu benötigt man mindestens zwei verschiedene Punkte, die man durch Einsetzen verschiedener x-Werte erhalten kann.

Der y-Achsenabschnitt t

Der y-Achsenabschnitt $t$ gibt an, in welchem y-Wert die Gerade die y-Achse schneidet. Man erhält den Wert auch, indem man für $x$ Null in die Geradengleichung einsetzt, da $m\cdot x$ für den Fall $x=0$ wegfällt und von der ursprünglichen Gleichung nur noch $y=t$ übrig bleibt.

Dass der y-Achsenabschnitt $t$ im Beispiel den Wert $3$ hat, erkennt man in der Zeichnung auch daran, dass die Gerade die y-Achse im Punkt $B$ schneidet. $B$ hat die Koordinaten $\left(0\left|3\right.\right)$.

Geradengleichung durch zwei verschiedene Punkte berechnen

Beispiel 1: Gegeben sind die Punkte $A(-1|1)$ und $B(2|3)$. Berechne die Gleichung der Geraden, die durch $A$ und $B$ verläuft.

1. Berechne die Steigung mit dem Differenzenquotienten                 $m=\frac{\;\;1-3}{-1-2}=\frac{-2}{-3}=\frac23$

2. Setze $m$ und einen beliebigen Punkt in die Geradengleichung ein, um $t$ zu bestimmen. Wir verwenden den Punkt $B$. $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}\begin{array}{ccccc}\mathrm y&=&\mathrm m\cdot\mathrm x+\mathrm t&&\\3&=&\frac23\cdot2+\mathrm t&\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left|-\frac43\right.&\;\\3-\frac43&=&\mathrm t\;\;\;\;\;\;\;\;&\;\;&\;\end{array}\\\begin{array}{ccc}\;\;\;\;\;\;\;\mathrm t&=&\frac53\;\;\;\;\;\;\;\end{array}\\\end{array}$

3. Setze $m$ und $t$ in die allgemeine Geradengleichung ein. $\;\;\Rightarrow\;\;\mathrm y=\frac23\mathrm x+\frac53$

Beispiel 2: Gegeben sind die Punkte $A(-1|1)$ und $B(2|3)$. Berechne die Gleichung der Geraden, die durch $A$ und $B$ verläuft.

Verwende die Zwei-Punkte-Form der Geradengleichung: $y=\dfrac{ y_2 - y_1 }{ x_2 - x_1 }\cdot(x - x_1) + y_1$

$\Rightarrow\; y =\dfrac{2}{3}\cdot x+\dfrac{5}{3}$

Berechne die Geradengleichung, wenn die Steigung $m$ und ein Punkt $P$ gegeben sind.

Beispiel: Gegeben sind die Steigung $m=4$ und der Punkt $P(-1\vert1)$. Berechne die zugehörende Geradengleichung.

1. Setze $m$ und die Koordinaten des Punktes $P$ in die allgemeine Geradengleichung ein und löse nach $t$ auf.

2. Setze $m$ und $t$ in die allgemeine Geradengleichung ein $\Rightarrow \;\;y=4x+5$

Berechne die Geradengleichung,  wenn der $y$-Achsenabschnitt $t$ und ein Punkt $P$ gegeben sind.

Beispiel: Gegeben sind der $y$-Achsenabschnitt $t =-3$ und der Punkt $P(2\vert1)$. Berechne die zugehörende Geradengleichung.

1. Setze $t$ und die Koordinaten des Punktes $P$ in die allgemeine Geradengleichung ein und löse nach $m$ auf.

2. Setze $m$ und $t$ in die allgemeine Geradengleichung ein $\Rightarrow \;\;y=2x-3$

Allgemeine Geraden (interaktiv)

Besondere Geraden