Geradengleichung

Eine Gerade ist die unendliche Verlängerung der kürzesten Verbindung zwischen zwei Punkten. Anschaulich ist eine Gerade eine unendlich lange, gerade Linie. Zwischen zwei Punkten gibt es immer genau eine Gerade.

Alle Geraden können durch eine lineare Gleichung dargestellt werden, daher nennt man Geraden auch lineare Funktionen .

Dieser Artikel befasst sich mit Geraden in der gewöhnlichen Analysis. Für Geraden in der analytischen Geometrie siehe: Artikel zum Thema

Allgemeine Geradengleichung

Um die Gerade aufzustellen, braucht man lediglich die Steigung und den Schnittpunkt der Gerade mit der y-Achse.

Bei dieser Gleichung ist m\textcolor{ff6600}{m} die Steigung der Geraden und t\textcolor{009999}{t} der y-Wert, in dem die Gerade die y-Achse schneidet.

Bestandteile der Geradengleichung

Eine Geradengleichung besteht aus einer Steigung und dem y-Achsenabschnitt t. Diese Bestandteile werden im folgenden näher erläutert.

Als Beispiel betrachten wir die Gerade:

Steigung

Die Steigung gibt an, wie schnell eine Gerade steigt oder fällt. Aus der gegebenen Gleichung kann man hier die Steigung m=2m=2 herauslesen.

Wüsste man das nicht, könnte man die Steigung auch anhand eines Steigungsdreiecks bestimmen. Dazu benötigt man mindestens zwei verschiedene Punkte, die man durch Einsetzen verschiedener x-Werte erhalten kann.

Der y-Achsenabschnitt t

Der y-Achsenabschnitt t gibt an, in welchem y-Wert die Gerade die y-Achse schneidet. Man erhält den Wert auch, indem man für x Null in die Geradengleichung einsetzt, da mxm\cdot x für den Fall x=0x=0 wegfällt und von der ursprünglichen Gleichung nur noch y=ty=t übrigbleibt.

Dass der y-Achsenabschnitt t im Beispiel den Wert 3 hat, erkennt man in der Zeichnung auch daran, dass die Gerade die y-Achse im Punkt B schneidet. B hat die Koordinaten (03)\left(0\left|3\right.\right).

Geradengleichung durch zwei verschiedene Punkte berechnen

Beispiel: Gegeben sind die Punkte A(-1|1) und B(2|3). Berechne die Gleichung der Geraden, die durch A und B verläuft.

  1. Berechne die Steigung mit dem Differenzenquontienten                

  2. Setze m und einen beliebigen Punkt in die Geradengleichung ein, um t zu bestimmen. Wir verwenden den Punkt B.

  3. Setze m und t in die allgemeine Geradengleichung ein.

Berechne die Geradengleichung,  wenn die Steigung mm und ein Punkt PP gegeben sind.

Beispiel: Gegeben sind die Steigung m=4m=4 und der Punkt P(11)P(-1\vert1). Berechne die zugehörende Geradengleichung.

1. Setze mm und die Koordinaten des Punktes PP in die allgemeine Geradengleichung ein und löse nach tt auf.

2. Setze mm und tt in die allgemeine Geradengleichung ein     y=4x+5\Rightarrow \;\;y=4x+5

Berechne die Geradengleichung,  wenn der yy-Achsenabschnitt tt und ein Punkt PP gegeben sind.

Beispiel: Gegeben sind der yy-Achsenabschnitt t=3t =-3 und der Punkt P(21)P(2\vert1). Berechne die zugehörende Geradengleichung.

1. Setze tt und die Koordinaten des Punktes PP in die allgemeine Geradengleichung ein und löse nach mm auf.

2. Setze mm und tt in die allgemeine Geradengleichung ein     y=2x3\Rightarrow \;\;y=2x-3

Allgemeine Geraden (interaktiv)

Besondere Geraden

Ursprungsgeraden

Eine Gerade, die durch den Nullpunkt (oder auch Koordinatenursprung) geht, bezeichnet man als Ursprungsgerade. Eine solche Gerade hat immer die Geradengleichung y=mxy=m\cdot x , da t=0t=0 gilt.

Eine Ursprungsgerade ist der Funktionsgraph einer direkten Proportionalität .

Konstante Funktionen

Eine Gerade, die parallel zur x-Achse verläuft, hat die Form y=cy=c und wird als konstante Funktion bezeichnet, da sie immer den gleichen, konstanten Wert annimmt.

Senkrechte Geraden

Eine Gerade, die parallel zur y-Achse verläuft, ist keine Funktion (siehe Definition einer Funktion), sondern eine Relation. Sie kann nicht mit der allgemeinen Geradengleichung beschrieben werden, da die Steigung unendlich wäre.

Eine Gleichung für eine Senkrechte hat die Form x=c\mathrm x=\mathrm c .

Die Identität

Die Ursprungsgerade mit der Funktion y=xy=x nennt man Identität. Sie ist die Winkelhalbierende des ersten und dritten Quadranten des Koordinatensystems.


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