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Umkehrfunktion

Die Umkehrfunktion einer Funktion ff ist die Funktion f−1f^{-1}, die jedem Funktionswert sein Argument zuordnet:

f−1(f(x))=xf^{-1}\left(f(x)\right)=x und f(f−1(x))=xf\left(f^{-1}(x)\right)=x

Achtung: Die Schreibweise f−1f^{-1} hat nichts mit dem Kehrwert zu tun.

Die Umkehrfunktion existiert nur, wenn jeder Wert in der Wertemenge höchstens einmal "getroffen" wird (wenn jede Parallele zur x-Achse den Graphen der Funktion höchstens einmal schneidet).

Das bedeutet: Werden bei einer Funktion die Werte aus der Wertemenge mehrmals "getroffen" (z. B. f(x)=x2f(x)=x^2, g(x)=x4g(x)=x^4, h(x)=x6h(x)=x^6), muss man den Definitionsbereich so einschränken, dass sie jeden Wert aus der Wertemenge nur einmal "trifft". Anschließend kann man die Umkehrfunktion bilden.

Bild/Applet in Arbeit

Die Umkehrfunktion von f−1f^{-1} ist wieder ff.

Definitions- und Wertemenge

Beim Umkehren vertauschen sich Definitions- und Wertemenge . Die Definitionsmenge von ff ist die Wertemenge von f−1f^{-1} und die Wertemenge von ff ist die Definitionsmenge von f−1f^{-1}.

Bilden der Umkehrfunktion

Im einfacheren Fall lässt sich die Gleichung y=f(x)y=f(x) nach xx auflösen. Der Term auf der anderen Seite entspricht dann dem Funktionsterm der Umkehrfunktion.

Es gibt aber Fälle, in denen die Umkehrfunktion sich nicht finden lässt. Viele Funktionen werden aber auch direkt als Umkehrfunktionen definiert (siehe "Spezielle Umkehrfunktionen").

Beispiel

Bilden der Umkehrfunktion von

f:  x↦1x+2−1f:\;x\mapsto\frac1{x+2}-1

Bestimmen der Definitionsmenge.

Df=R\{−2};␇Wf=R\{−1}D_f=ℝ\backslash\{-2\};␇W_f=ℝ\backslash\{-1\}

Nach x auflösen

y=1x+2−1y=\frac1{x+2}-1

∣+1\left|{+1}\right.

y+1=1x+2y+1=\frac1{x+2}

∣⋅(x+2)\left|{\cdot\left(x+2\right)}\right.   ist erlaubt, da −2  ∉  Df-2\;\not\in\;D_f     ⇒    x+2≠0\;\;\Rightarrow\;\;x+2\neq0

(y+1)⋅(x+2)=1\left(y+1\right)\cdot\left(x+2\right)=1

∣:(y+1)\left|{:\left(y+1\right)}\right.   Damit das erlaubt ist, muss y+1≠0y+1\neq0 ⇒−1  ∉  Wf\Rightarrow-1\;\not\in\;W_f

x+2=1y+1x+2=\frac1{y+1}

∣−2\left|{-2}\right.

x=1y+1−2x=\frac1{y+1}-2

    ⇒    f−1(x)=1x+1−2\;\;\Rightarrow\;\;f^{-1}(x)=\frac1{x+1}-2

Df−1=Wf=R\{−1};      Wf−1=Df=R\{−2}{\mathrm D}_{\mathrm f^{-1}}={\mathrm W}_\mathrm f=\mathbb{R}\backslash\{-1\};\;\;\;{\mathrm W}_{\mathrm f^{-1}}={\mathrm D}_\mathrm f=\mathbb{R}\backslash\{-2\}

 

Graph der Umkehrfunktion

Der Graph der Umkehrfunktion f−1f^{-1} ist der Graph von ff, gespiegelt an der Winkelhalbierenden des 1. und 3. Quadranten.

Spezielle Umkehrfunktionen

  • Die Funktion f(x)=xf(x)=x ist ihre eigene Umkehrfunktion.

  • Die ln- und e-Funktion sind Umkehrfunktionen voneinander.

  • Die trigonometrischen Funktionen sin⁡\sin, cos⁡\cos, und tan⁡\tan müssen in ihrem Definitionsbereich eingeschränkt werden, um umkehrbar zu sein. Ihre Umkehrfunktionen sind der Arcus Sinus (arcsin⁡\arcsin, oft auch sin⁡−1\sin^{-1}), der Arcus Cosinus (arccos⁡\arccos bzw. cos⁡−1\cos^{-1}) und der Arcus Tangens (arctan⁡\arctan bzw. tan⁡−1\tan^{-1}).


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