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Umkehrfunktion

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Die Umkehrfunktion einer Funktion ff ist die Funktion f1f^{-1}, die jedem Funktionswert sein Argument zuordnet:

f1(f(x))=xf^{-1}\left(f(x)\right)=x und f(f1(x))=xf\left(f^{-1}(x)\right)=x

Achtung: Die Schreibweise f1f^{-1} hat nichts mit dem Kehrwert zu tun.

Existenz einer Umkehrfunktion

Die Umkehrfunktion existiert nur, wenn jeder Wert in der Wertemenge höchstens einmal "getroffen" wird (wenn jede Parallele zur x-Achse den Graphen der Funktion höchstens einmal schneidet).

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Für die Funktion f(x)=x2f\left(x\right)=x^2 rechts im Bild gibt es zwei Punkte auf der gleichen Höhe. Welchen Wert soll die Umkehrfunktion dem Wert 11 zuordnen? Das ist nicht eindeutig, weshalb keine Umkehrfunktion auf der ganzen Definitionsmenge existiert.

Das bedeutet: Werden bei einer Funktion die Werte aus der Wertemenge mehrmals "getroffen" (z. B. f(x)=x2f(x)=x^2, g(x)=x4g(x)=x^4, h(x)=x6h(x)=x^6), muss man den Definitionsbereich so einschränken, dass sie jeden Wert aus der Wertemenge nur einmal "trifft". Anschließend kann man die Umkehrfunktion bilden.

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Der Definitionsbereich der Funktion wurde eingeschränkt, sodass jedem Wert der Definitionsmenge genau ein Wert der Wertemenge zugeordnet wird.

Das erkennt man daran, dass jede beliebige Parallele nur noch einen Schnittpunkt hat.

Die Umkehrfunktion von f1f^{-1} ist wieder ff.

Definitions- und Wertemenge

Beim Umkehren vertauschen sich Definitions- und Wertemenge. Die Definitionsmenge von ff ist die Wertemenge von f1f^{-1} und die Wertemenge von ff ist die Definitionsmenge von f1f^{-1}.

Bilden der Umkehrfunktion

Im einfacheren Fall lässt sich die Gleichung y=f(x)y=f(x) nach xx auflösen. Der Term auf der anderen Seite entspricht dann dem Funktionsterm der Umkehrfunktion.

Es gibt aber Fälle, in denen die Umkehrfunktion sich nicht finden lässt. Viele Funktionen werden aber auch direkt als Umkehrfunktionen definiert (siehe "Spezielle Umkehrfunktionen").

Beispiel

Bilden der Umkehrfunktion von

Bestimmen der Definitionsmenge: Df=R\{2};Wf=R\{1}D_f=ℝ\backslash\{-2\}; W_f=ℝ\backslash\{-1\}

Nach x auflösen

y\displaystyle y==1x+21\displaystyle \frac{1}{x+2}-1+1\displaystyle +1
y+1\displaystyle y+1==1x+2\displaystyle \frac{1}{x+2}(x+2)\displaystyle \cdot\left(x+2\right)

(x+2)\left|{\cdot\left(x+2\right)}\right.   ist erlaubt, da 2  ∉  Df-2\;\not\in\;D_f         x+20\;\;\Rightarrow\;\;x+2\neq0

(y+1)(x+2)\displaystyle \left(y+1\right)\cdot\left(x+2\right)==1\displaystyle 1

:(y+1)\left|{:\left(y+1\right)}\right.   Damit das erlaubt ist, muss y+10y+1\neq0 1  ∉  Wf\Rightarrow-1\;\not\in\;W_f

x+2\displaystyle x+2==1y+1\displaystyle \frac{1}{y+1}2\displaystyle -2
x\displaystyle x==1y+12\displaystyle \frac{1}{y+1}-2

        f1(x)=1x+12\;\;\Rightarrow\;\;f^{-1}(x)=\frac1{x+1}-2

Df1=Wf=R\{1};      Wf1=Df=R\{2}{\mathrm D}_{\mathrm f^{-1}}={\mathrm W}_\mathrm f=\mathbb{R}\backslash\{-1\};\;\;\;{\mathrm W}_{\mathrm f^{-1}}={\mathrm D}_\mathrm f=\mathbb{R}\backslash\{-2\}

Graph der Umkehrfunktion

Umkehrfunktion als Spiegelung an der Winkelhalbierenden

Der Graph der Umkehrfunktion f1f^{-1} ist der Graph von ff, gespiegelt an der Winkelhalbierenden des 1. und 3. Quadranten.

Spezielle Umkehrfunktionen

  • Die Funktion f(x)=xf(x)=x ist ihre eigene Umkehrfunktion.

  • Die ln- und e-Funktion sind Umkehrfunktionen voneinander.

  • Die trigonometrischen Funktionen sin\sin, cos\cos, und tan\tan müssen in ihrem Definitionsbereich eingeschränkt werden, um umkehrbar zu sein. Ihre Umkehrfunktionen sind der Arcus Sinus (arcsin\arcsin, oft auch sin1\sin^{-1}), der Arcus Cosinus (arccos\arccos bzw. cos1\cos^{-1}) und der Arcus Tangens (arctan\arctan bzw. tan1\tan^{-1}).


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