ln-Funktion

Die Logarithmusfunktion mit der Basis $e$ , der Eulerschen Zahl, wird natürlicher Logarithmus oder auch $\ln$ -Funktion genannt. Ihre Funktionsvorschrift ist:

\displaystyle f:\mathbb{R}^+\to\mathbb{R}, x\mapsto \ln(x)

Dabei bezeichnet $\ln(x)$ den Logarithmus zur Basis $e$ , also $\ln(x)=\log_e(x)$ .

Eigenschaften

Die $\ln$ -Funktion hat die gleichen Eigenschaften wie Logarithmusfunktionen zu beliebigen Basen. Weil $e\approx2{,}718>1$ ist sie monoton steigend.

Graph der $\ln$ -Funktion:

Beziehung zu anderen Funktionen

Umkehrfunktion

Die Umkehrfunktion der $\ln$ -Funktion ist die $e$ -Funktion. Für $f(x)=\ln(x)$ gilt also:

\displaystyle f:\mathbb{R}^+\to\mathbb{R}, x\mapsto \ln(x)

Ableitung

Die Ableitung von $f(x)=\ln(x)$ , ist gegeben durch:

\displaystyle f:\mathbb{R}^+\to\mathbb{R}, x\mapsto \ln(x)

Stammfunktion

Das erste Integral bzw. eine Stammfunktion zu $f(x)=\ln(x)$ lautet:

\displaystyle f:\mathbb{R}^+\to\mathbb{R}, x\mapsto \ln(x)

Zur Herleitung bzw. Berechnung der Stammfunktion siehe den Artikel Partielle Integration.

Beliebige Logarithmusfunktion als ln-Funktion

Einen Logarithmus $log_a(x)$ zu einer beliebigen Basis $a$ (mit $a\in \mathbb{R}^+$ , $a\ne1$ ), kannst du über folgende Formel in eine ln-Funktion überführen:

\displaystyle f:\mathbb{R}^+\to\mathbb{R}, x\mapsto \ln(x)

Übungsaufgaben: ln-Funktion

Weitere Aufgaben zum Thema findest du im folgenden Aufgabenordner:
Gemischte Aufgaben zur e- und ln-Funktion

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