Logarithmusfunktion

Eigenschaften

• Der Definitionsbereich ist ${\mathbb{R}}^{+}\backslash mathbb\{R\}^+$, d.h. für $xx$ dürfen nur positive, reelle Zahlen eingesetzt werden.

• Der Wertebereich ist ganz $\mathbb{R}\backslash mathbb\{R\}$.

• Alle Logarithmusfunktionen haben die Nullstelle $x_0=1x\_0=1$.

• Logarithmusfunktionen haben die $yy$-Achse als senkrechte Asymptote, genauer gilt:

  • $b>1:\underset{x\to 0}{\lim }{\log }_b(x)=-\mathrm{\infty }b>1:\backslash qquad\backslash lim\backslash limits\_\{x\backslash to0\}\backslash log\_b(x)=-\backslash infty$ und $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\log }_b(x)=\mathrm{\infty }\backslash lim\backslash limits\_\{x\backslash to\backslash infty\}\backslash log\_b(x)=\backslash infty$

  • und $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\log }_b(x)=-\mathrm{\infty }\backslash lim\backslash limits\_\{x\backslash to\backslash infty\}\backslash log\_b(x)=-\backslash infty$

• Logarithmusfunktionen sind stets monoton, genauer gilt:

  • $b>1:fb>1:\backslash qquad\; f\backslash ;$ ist streng monoton steigend.

  • ist streng monoton fallend.

Diese Eigenschaften lassen sich leicht am Graphen der Funktion ablesen:

Benutze den Schieberegler, um die verschiedenen Eigenschaften in Abhängigkeit von der Basis $bb$ zu beobachten.

Rechenregeln

Folgende Umformungen sind praktisch, um mit Logarithmen zu rechnen.

• ${\log }_b(x\cdot y)={\log }_b(x)+{\log }_b(y)\backslash log\_b(x\backslash cdot\; y)=\backslash log\_b(x)+\backslash log\_b(y)$

• ${\log }_b\left(\frac{x}{y}\right)={\log }_b(x)-{\log }_b(y)\backslash log\_b\backslash left(\backslash frac\{x\}y\backslash right)=\backslash log\_b(x)-\backslash log\_b(y)$

• ${\log }_b\left(x^a\right)=a\cdot {\log }_b(x)\backslash log\_b\backslash left(x^a\backslash right)=a\backslash cdot\backslash log\_b(x)$

Beziehung zu anderen Funktionen

Umkehrfunktion

Die Umkehrfunktion einer Logarithmusfunktion ist eine Exponentialfunktion. Für $f(x)={\log }_b(x)f(x)=\backslash log\_b(x)$ ist die Umkehrfunktion gegeben durch:

Durch diese Umkehrfunktion wird auch deutlich, warum sich der Definitionsbereich einer Logarithmusfunktion auf positive Zahlen beschränkt. Schließlich gibt es für ein b>0 kein x, dass

negativ werden lässt.

Basiswechsel

Jede Logarithmusfunktion $lo{g}_b(x)log\_b(x)$ zu einer beliebigen Basis $bb$ (mit $b\in {\mathbb{R}}^{+}b\backslash in\backslash mathbb\{R\}^+$, $b\mathrm{\ne }1b\backslash neq\; 1$) kann in eine Logarithmusfunktion mit einer anderen Basis $aa$ (mit $a\in {\mathbb{R}}^{+}a\backslash in\backslash mathbb\{R\}^+$, $a\mathrm{\ne }1a\backslash ne1$) umgewandelt werden und andersrum. Die Formel lautet:

Natürliche Logarithmusfunktion

Als Sonderfall eines Basiswechsels kann jede Logarithmusfunktion auf eine natürliche Logarithmusfunktion (auch: $\ln \backslash ln$-Funktion), d.h. eine Logarithmusfunktion mit Basis $ee$, der Eulerschen Zahl, zurückgeführt werden:

Diese Beziehung ist unter anderem wichtig zur Berechnung der Ableitung und Stammfunktion. Außerdem erkennt man hier, dass jede beliebige Logarithmusfunktion nur ein Vielfaches der $\ln \backslash ln$-Funktion ist.

Erste Ableitung

Die erste Ableitung von $f(x)={\log }_b(x)f(x)=\backslash log\_b(x)$ ist gegeben durch:

Integral

Das erste Integral bzw. eine Stammfunktion $F(x)F(x)$ einer Logarithmusfunktion $f(x)={\log }_b(x)f(x)=\backslash log\_b(x)$ ist: