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Logarithmusfunktion

Logarithmus- und Exponentialfunktion

Der Graph der Logarithmusfunktion entsteht durch Spiegelung des Graphen der Exponentialfunktion an der Winkelhalbierenden.

Eine Logarithmusfunktion ist eine Abbildung der Form

wobei bR+b\in\mathbb{R}^+ und b1b\neq 1 gilt.

bb heißt Basis des Logarithmus.

Der Logarithmus bezeichnet die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion, sodass sich die Funktionen

gegenseitig aufheben.

Eigenschaften

  • Der Definitionsbereich ist R+\mathbb{R}^+, d.h. für xx dürfen nur positive, reelle Zahlen eingesetzt werden.

  • Der Wertebereich ist ganz R\mathbb{R}.

  • Alle Logarithmusfunktionen haben die Nullstelle x0=1x_0=1.

  • Logarithmusfunktionen haben die yy-Achse als senkrechte Asymptote, genauer gilt:

    • b>1:limx0logb(x)=b>1:\qquad\lim\limits_{x\to0}\log_b(x)=-\infty und limxlogb(x)=\lim\limits_{x\to\infty}\log_b(x)=\infty

    • 0<b<1:  limx0logb(x)=0<b<1:\;\lim\limits_{x\to0}\log_b(x)=\hphantom{-}\infty und limxlogb(x)=\lim\limits_{x\to\infty}\log_b(x)=-\infty

  • Logarithmusfunktionen sind stets monoton, genauer gilt:

    • b>1:f  b>1:\qquad f\; ist streng monoton steigend.

    • 0<b<1:  f  0<b<1:\;f\; ist streng monoton fallend.

Diese Eigenschaften lassen sich leicht am Graphen der Funktion ablesen:

Benutze den Schieberegler, um die verschiedenen Eigenschaften in Abhängigkeit von der Basis bb zu beobachten.

Rechenregeln

Folgende Umformungen sind praktisch, um mit Logarithmen zu rechnen.

  • logb(xy)=logb(x)+logb(y)\log_b(x\cdot y)=\log_b(x)+\log_b(y)

  • logb(xy)=logb(x)logb(y)\log_b\left(\frac{x}y\right)=\log_b(x)-\log_b(y)

  • logb(xa)=alogb(x)\log_b\left(x^a\right)=a\cdot\log_b(x)

Beziehung zu anderen Funktionen

Umkehrfunktion

Die Umkehrfunktion einer Logarithmusfunktion ist eine Exponentialfunktion. Für f(x)=logb(x)f(x)=\log_b(x) ist die Umkehrfunktion gegeben durch:

Durch diese Umkehrfunktion wird auch deutlich, warum sich der Definitionsbereich einer Logarithmusfunktion auf positive Zahlen beschränkt. Schließlich gibt es für ein b>0 kein x, dass

negativ werden lässt.

Basiswechsel

Jede Logarithmusfunktion logb(x)log_b(x) zu einer beliebigen Basis bb (mit bR+b\in\mathbb{R}^+, b1b\neq 1) kann in eine Logarithmusfunktion mit einer anderen Basis aa (mit aR+a\in\mathbb{R}^+, a1a\ne1) umgewandelt werden und andersrum. Die Formel lautet:

Natürliche Logarithmusfunktion

Als Sonderfall eines Basiswechsels kann jede Logarithmusfunktion auf eine natürliche Logarithmusfunktion (auch: ln\ln-Funktion), d.h. eine Logarithmusfunktion mit Basis ee, der Eulerschen Zahl, zurückgeführt werden:

Diese Beziehung ist unter anderem wichtig zur Berechnung der Ableitung und Stammfunktion. Außerdem erkennt man hier, dass jede beliebige Logarithmusfunktion nur ein Vielfaches der ln\ln-Funktion ist.

Erste Ableitung

Die erste Ableitung von f(x)=logb(x)f(x)=\log_b(x) ist gegeben durch:

Integral

Das erste Integral bzw. eine Stammfunktion F(x)F(x) einer Logarithmusfunktion f(x)=logb(x)f(x)=\log_b(x) ist:

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