Logarithmusfunktion

Eine Logarithmusfunktion ist eine Abbildung der Form

f:R+R,xlogb(x)f:\mathbb{R}^+\to\mathbb{R}, x\mapsto\log_b(x), wobei bR+b\in\mathbb{R}^+ und b1b\neq 1 gilt.

bb heißt Basis des Logarithmus.

Eigenschaften

  • Der Definitionsbereich ist R+\mathbb{R}^+, d.h. für xx dürfen nur positive, reelle Zahlen eingesetzt werden.

  • Der Wertebereich ist ganz R\mathbb{R}.

  • Alle Logarithmusfunktionen haben die Nullstelle x0=1x_0=1.

  • Logarithmusfunktionen haben die yy-Achse als senkrechte Asymptote, genauer gilt:

    • b>1:limx0logb(x)=b>1:\qquad\lim\limits_{x\to0}\log_b(x)=-\infty und limxlogb(x)=\lim\limits_{x\to\infty}\log_b(x)=\infty

    • 0<b<1:  limx0logb(x)=0<b<1:\;\lim\limits_{x\to0}\log_b(x)=\hphantom{-}\infty und limxlogb(x)=\lim\limits_{x\to\infty}\log_b(x)=-\infty

  • Logarithmusfunktionen sind stets monoton, genauer gilt:

    • b>1:f  b>1:\qquad f\; ist streng monoton steigend.

    • 0<b<1:  f  0<b<1:\;f\; ist streng monoton fallend.

Diese Eigenschaften lassen sich leicht am Graphen der Funktion ablesen:

Benutze den Schieberegler, um die verschiedenen Eigenschaften in Anhängigkeit von der Basis bb zu beobachten.

Rechenregeln

Folgende Umformungen sind praktisch, um mit Logarithmen zu rechnen.

Beziehung zu anderen Funktionen

Umkehrfunktion

Die Umkehrfunktion einer Logarithmusfunktion ist eine Exponentialfunktion. Für f(x)=logb(x)f(x)=\log_b(x) ist die Umkehrfunktion gegeben durch:

Durch diese Umkehrfunktion wird auch deutlich, warum sich der Definitionsbereich einer Logarithmusfunktion auf positive Zahlen beschränkt. Schliesslich gibt es für ein b>0 kein x, dass

negativ werden lässt.

Basiswechsel

Jede Logarithmusfunktion logb(x)log_b(x) zu einer beliebigen Basis bb (mit bR+b\in\mathbb{R}^+, b1b\neq 1) kann in eine Logarithmusfunktion mit einer anderen Basis aa (mit aR+a\in\mathbb{R}^+, a1a\ne1) umgewandelt werden und andersrum. Die Formel lautet:

Natürliche Logarithmusfunktion

Als Sonderfall eines Basiswechsels kann jede Logarithmusfunktion auf eine natürliche Logarithmusfunktion (auch: ln\ln-Funktion), d.h. eine Logarithmusfunktion mit Basis ee, der Eulerschen Zahl, zurückgeführt werden:

Diese Beziehung ist unter anderem wichtig zur Berechnung der Ableitung und Stammfunktion. Außerdem erkennt man hier, dass jede beliebige Logarithmusfunktion nur ein Vielfaches der ln\ln-Funktion ist.

Erste Ableitung

Die erste Ableitung von f(x)=logb(x)f(x)=\log_b(x) ist gegeben durch:

Integral

Das erste Integral bzw. eine Stammfunktion F(x)F(x) einer Logarithmusfunktion f(x)=logb(x)f(x)=\log_b(x) ist:

Übungsaufgaben


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