Logarithmusfunktion

Eigenschaften

• Der Definitionsbereich ist $\mathbb{R}^+$, d.h. für $x$ dürfen nur positive, reelle Zahlen eingesetzt werden.

• Der Wertebereich ist ganz $\mathbb{R}$.

• Alle Logarithmusfunktionen haben die Nullstelle $x_0=1$.

• Logarithmusfunktionen haben die $y$-Achse als senkrechte Asymptote, genauer gilt:

  • $b>1:\qquad\lim\limits_{x\to0}\log_b(x)=-\infty$ und $\lim\limits_{x\to\infty}\log_b(x)=\infty$

  • $0<b<1:\;\lim\limits_{x\to0}\log_b(x)=\hphantom{-}\infty$ und $\lim\limits_{x\to\infty}\log_b(x)=-\infty$

• Logarithmusfunktionen sind stets monoton, genauer gilt:

  • $b>1:\qquad f\;$ ist streng monoton steigend.

  • $0<b<1:\;f\;$ ist streng monoton fallend.

Diese Eigenschaften lassen sich leicht am Graphen der Funktion ablesen:

Benutze den Schieberegler, um die verschiedenen Eigenschaften in Abhängigkeit von der Basis $b$ zu beobachten.

Rechenregeln

Folgende Umformungen sind praktisch, um mit Logarithmen zu rechnen.

• $\log_b(x\cdot y)=\log_b(x)+\log_b(y)$

• $\log_b\left(\frac{x}y\right)=\log_b(x)-\log_b(y)$

• $\log_b\left(x^a\right)=a\cdot\log_b(x)$

Beziehung zu anderen Funktionen

Umkehrfunktion

Die Umkehrfunktion einer Logarithmusfunktion ist eine Exponentialfunktion. Für $f(x)=\log_b(x)$ ist die Umkehrfunktion gegeben durch:

Durch diese Umkehrfunktion wird auch deutlich, warum sich der Definitionsbereich einer Logarithmusfunktion auf positive Zahlen beschränkt. Schließlich gibt es für ein b>0 kein x, dass

negativ werden lässt.

Basiswechsel

Jede Logarithmusfunktion $log_b(x)$ zu einer beliebigen Basis $b$ (mit $b\in\mathbb{R}^+$, $b\neq 1$) kann in eine Logarithmusfunktion mit einer anderen Basis $a$ (mit $a\in\mathbb{R}^+$, $a\ne1$) umgewandelt werden und andersrum. Die Formel lautet:

Natürliche Logarithmusfunktion

Als Sonderfall eines Basiswechsels kann jede Logarithmusfunktion auf eine natürliche Logarithmusfunktion (auch: $\ln$-Funktion), d.h. eine Logarithmusfunktion mit Basis $e$, der Eulerschen Zahl, zurückgeführt werden:

Diese Beziehung ist unter anderem wichtig zur Berechnung der Ableitung und Stammfunktion. Außerdem erkennt man hier, dass jede beliebige Logarithmusfunktion nur ein Vielfaches der $\ln$-Funktion ist.

Erste Ableitung

Die erste Ableitung von $f(x)=\log_b(x)$ ist gegeben durch:

Integral

Das erste Integral bzw. eine Stammfunktion $F(x)$ einer Logarithmusfunktion $f(x)=\log_b(x)$ ist: