e-Funktion

Die Exponentialfunktion mit der Basis $e$ , der Eulerschen Zahl, wird natürliche Exponentialfunktion oder auch $e$ -Funktion genannt. Ihre Funktionsvorschrift ist:

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}^+, x\mapsto e^x

Besonderheit

Die Exponentialfunktion erfüllt in allen Punkten die Eigenschaft $f(a+ b)= f(a)\cdot f(b)$ (dies wird auch als definierende Eigenschaft der e-Funktion bezeichnet)

Wieso ist das so?

Auch für die Exponenten der Exponentialfunktion gelten ganz normal die Potenzgesetze:

$f(a+b)=e^{a+b}=e^a\cdot e^b= f(a)\cdot f(b)$

Die Vielfachen der e-Funktion sind die einzigen Funktionen mit der Eigenschaft: $f'(x)=f(x)$

Wieso gilt diese Gleichung für die e-Funktion

Es ist bekannt, dass die Ableitung einer Exponentialfunktion $f(x)=a^x$ gegeben ist durch $f'(x)=\ln(a)\cdot a^x$ . Für die natürliche Exponentialfunktion mit Basis $e$ gilt also:

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}^+, x\mapsto e^x

Dabei wurde verwendet, dass der natürliche Logarithmus die Umkehrfunktion der natürlichen Exponentialfunktion ist und deswegen $\ln(e)=\ln(e^1)=1$ gilt.

Gibt es noch andere Funktionen mit dieser Eigenschaft?

Wir nehmen an, dass für eine Funktion $f$ die Gleichung $f'(x)=f(x)$ gilt.

Jetzt bilden wir die Hilfsfunktion $g(x)=e^{-x}\cdot f(x)$ und leiten sie mit der Produktregel ab. Dabei verwenden wir, dass die Ableitung von $e^{-x}$ nach der Kettenregel $-e^{-x}$ ist.

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}^+, x\mapsto e^x

Weil $f'(x)=f(x)$ ist, können wir das vereinfachen zu

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}^+, x\mapsto e^x

Darum muss die Funktion $g$ konstant sein, also $g(x)=c$ .

Weil also $g(x)=e^{-x}\cdot f(x)=c$ ist, erhalten wir durch Multiplikation mit $e^x$ daraus

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}^+, x\mapsto e^x

Daher sind die Vielfachen der Exponentialfunktion die einzigen Funktionen mit der Eigenschaft $f'(x)=f(x)$ .

Eigenschaften

Die $e$ -Funktion hat die gleichen Eigenschaften wie Exponentialfunktionen zu beliebigen positiven Basen. Weil $e\approx 2{,}718>1$ , ist sie streng monoton steigend.

Graph der $e$ -Funktion:

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/1686.xml

Beziehung zu anderen Funktionen

Umkehrfunktion

Die Umkehrfunktion der $e$ -Funktion ist der natürliche Logarithmus. Für $f(x)=e^x$ gilt also:

$f^{-1}(x)=\ln(x)\qquad\Rightarrow e^{\ln(x)}=x=\ln(e^x)$

Ableitung und Stammfunktion

Wie bereits erwähnt gilt:

$f'(x)=f(x)=e^x$

Folglich ist die Stammfunktion $F(x)=e^x$ , denn $F'(x)=e^x=f(x)$ .

Übungsaufgaben: e-Funktion

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Gemischte Aufgaben zur e- und ln-Funktion

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