e-Funktion

Auch für die Exponenten der Exponentialfunktion gelten ganz normal die Potenzgesetze:

$f(a+b)=e^{a+b}=e^a\cdot e^b=f(a)\cdot f(b)f(a+b)=e^\{a+b\}=e^a\backslash cdot\; e^b=\; f(a)\backslash cdot\; f(b)$

Es ist bekannt, dass die Ableitung einer Exponentialfunktion $f(x)=a^{x}f(x)=a^x$ gegeben ist durch $f^{\mathrm{\prime }}(x)=\ln (a)\cdot a^{x}f\text{'}(x)=\backslash ln(a)\backslash cdot\; a^x$. Für die natürliche Exponentialfunktion mit Basis $ee$ gilt also:

Dabei wurde verwendet, dass der natürliche Logarithmus die Umkehrfunktion der natürlichen Exponentialfunktion ist und deswegen $\ln (e)=\ln (e^1)=1\backslash ln(e)=\backslash ln(e^1)=1$ gilt.

Wir nehmen an, dass für eine Funktion $ff$ die Gleichung $f^{\mathrm{\prime }}(x)=f(x)f\text{'}(x)=f(x)$ gilt.

Jetzt bilden wir die Hilfsfunktion $g(x)=e^{-x}\cdot f(x)g(x)=e^\{-x\}\backslash cdot\; f(x)$ und leiten sie mit der Produktregel ab. Dabei verwenden wir, dass die Ableitung von $e^{-x}e^\{-x\}$ nach der Kettenregel $-e^{-x}-e^\{-x\}$ ist.

Weil $f^{\mathrm{\prime }}(x)=f(x)f\text{'}(x)=f(x)$ ist, können wir das vereinfachen zu

Darum muss die Funktion $gg$ konstant sein, also $g(x)=cg(x)=c$.

Weil also $g(x)=e^{-x}\cdot f(x)=cg(x)=e^\{-x\}\backslash cdot\; f(x)=c$ ist, erhalten wir durch Multiplikation mit $e^{x}e^x$ daraus

Daher sind die Vielfachen der Exponentialfunktion die einzigen Funktionen mit der Eigenschaft $f^{\mathrm{\prime }}(x)=f(x)f\text{'}(x)=f(x)$.