e-Funktion

Die Exponentialfunktion mit der Basis ee, der Eulerschen Zahl, wird natürliche Exponentialfunktion oder auch ee-Funktion genannt. Ihre Funktionsvorschrift ist:

Besonderheit

  • Die Exponentialfunktion erfüllt in allen Punkten die Eigenschaft f(a+b)=f(a)f(b)f(a+ b)= f(a)\cdot f(b) (dies wird auch als definierene Eigenschaft der e-Funktion bezeichnet)

Wieso ist das so?

Auch für die Exponenten der Exponentialfunktion gelten ganz normal die Potenzgesetze:

f(a+b)=ea+b=eaeb=f(a)f(b)f(a+b)=e^{a+b}=e^a\cdot e^b= f(a)\cdot f(b)

  • Die Vielfachen der e-Funktion sind die einzigen Funktionen mit der Eigenschaft: f(x)=f(x)f'(x)=f(x)

Wieso gilt diese Gleichung für die e-Funktion

Es ist bekannt, dass die Ableitung einer Exponentialfunktion f(x)=axf(x)=a^x gegeben ist durch f(x)=ln(a)axf'(x)=\ln(a)\cdot a^x. Für die natürliche Exponentialfunktion mit Basis ee gilt also:

Dabei wurde verwendet, dass der natürliche Logarithmus die Umkehrfunktion der natürlichen Exponentialfunktion ist und deswegen ln(e)=ln(e1)=1\ln(e)=\ln(e^1)=1 gilt.

Gibt es noch andere Funktionen mit dieser Eigenschaft?

Wir nehmen an, dass für eine Funktion ff die Gleichung f(x)=f(x)f'(x)=f(x) gilt.

Jetzt bilden wir die Hilfsfunktion g(x)=exf(x)g(x)=e^{-x}\cdot f(x) und leiten sie mit der Produktregel ab. Dabei verwenden wir, dass die Ableitung von exe^{-x} nach der Kettenregel ex-e^{-x} ist.

Weil f(x)=f(x)f'(x)=f(x) ist, können wir das vereinfachen zu

Darum muss die Funktion gg konstant sein, also g(x)=cg(x)=c.

Weil also g(x)=exf(x)=cg(x)=e^{-x}\cdot f(x)=c ist, erhalten wir durch Multiplikation mit exe^x daraus

Daher sind die Vielfachen der Exponentialfunktion die einzigen Funktionen mit der Eigenschaft f(x)=f(x)f'(x)=f(x).

Eigenschaften

Die ee-Funktion hat die gleichen Eigenschaften wie Exponentialfunktionen zu beliebigen positiven Basen. Weil e2,718>1e\approx 2{,}718>1, ist sie streng monoton steigend.

Graph der ee-Funktion:

Beziehung zu anderen Funktionen

Umkehrfunktion

Die Umkehrfunktion der ee-Funktion ist der natürliche Logarithmus. Für f(x)=exf(x)=e^x gilt also:

f1(x)=ln(x)eln(x)=x=ln(ex)f^{-1}(x)=\ln(x)\qquad\Rightarrow e^{\ln(x)}=x=\ln(e^x)

Ableitung und Stammfunktion

Wie bereits erwähnt gilt:

f(x)=f(x)=exf'(x)=f(x)=e^x

Folglich ist die Stammfunktion F(x)=exF(x)=e^x, denn F(x)=ex=f(x)F'(x)=e^x=f(x).

Übungsaufgaben

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Gemischte Aufgaben zur e- und ln-Funktion

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