Partielle Integration

Die partielle Integration ist eine Methode zur Integration bestimmter Produkte zweier Funktionen. Man wendet sie oft an, wenn in einem Integral das Produkt zweier Funktionen steht, von denen die eine einfach zu integrieren und die andere leicht abzuleiten ist. Sie ergibt sich aus der Produktregel der Ableitung (siehe Abschnitt: Herleitung).

$\int _{ }^{ }u'\left(x\right)v\left(x\right)\mathrm{d}x$	$=u\left(x\right)v\left(x\right)-\int _{ }^{ }u\left(x\right)v'\left(x\right)\mathrm{d}x$
ursprüngliches Integral	Umformung für eine leichtere Berechnung (Erfolg verspricht eine Umformung dann, wenn das Integral auf der rechten Seite nicht schwieriger als das ursprüngliche Integral ist.)

Man kann sich auch zunutze machen, dass nach einigen Wiederholungen das ursprüngliche Integral wieder auftritt.

Faktor-1-Trick

Steht in einem Integral kein Produkt, aber eine Funktion, die leicht abzuleiten ist, kann man einen Trick anwenden:

Multiplikation der Funktion im Integral mit 1: $\;\int f\left(x\right)\mathrm{d}x=\int1\cdot f\left(x\right)\mathrm{d}x$

Das schafft die Voraussetzungen, um partielle Integration anwenden zu können.

Beispiel

Man sucht $\;\int\ln\left(x\right)\mathrm{d}x$ .

Die Ableitung von $\ln\left(x\right)$ ist $\frac1x$ . Indem man $\ln\left(x\right)$ mit $1$ multipliziert, erhält man also ein Produkt aus einer leicht zu integrierenden und einer leicht abzuleitenden Funktion: $\int\ln\left(x\right)\mathrm{d}x=\int1\cdot\ln\left(x\right)\mathrm{d}x$ ( $1$ entspricht $u'\left(x\right)$ , $\ln\left(x\right)$ entspricht $v\left(x\right)$ )

\displaystyle \int1\cdot\ln\left(x\right)\mathrm{d}x\;=\;x\ln\left(x\right)-\int x\cdot\frac1x\mathrm{d}x\;=\;\mathrm{xln}\left(x\right)-x+c

Video zur Partiellen Integration

Laden

Du hast noch nicht genug vom Thema?

Hier findest du noch weitere passende Inhalte zum Thema:

Artikel

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?