Partielle Integration

Die partielle Integration ist eine Methode zur Integration bestimmter Produkte zweier Funktionen. Man wendet sie oft an, wenn in einem Integral das Produkt zweier Funktionen steht, von denen die eine einfach zu integrieren und die andere leicht abzuleiten ist. Sie ergibt sich aus der Produktregel der Ableitung (siehe Abschnitt: Herleitung).

 

ursprüngliches Integral

Umformung für eine leichtere Berechnung

(Erfolg verspricht eine Umformung dann, wenn das Integral auf der rechten Seite nicht schwieriger als das ursprüngliche Integral ist.)

 

Man kann sich auch zunutze machen, dass nach einigen Wiederholungen das usprüngliche Integral wieder auftritt.

Faktor-1-Trick

Steht in einem Integral kein Produkt, aber eine Funktion, die leicht abzuleiten ist, kann man einen Trick anwenden:

Multiplikation der Funktion im Integral mit 1:   f(x)dx=1f(x)dx\;\int f\left(x\right)\mathrm{d}x=\int1\cdot f\left(x\right)\mathrm{d}x

Das schafft die Voraussetzungen um partielle Integration anwenden zu können.

Beispiel

Man sucht   ln(x)dx\;\int\ln\left(x\right)\mathrm{d}x.

Die Ableitung von ln(x)\ln\left(x\right) ist 1x\frac1x.  Indem man  ln(x)\ln\left(x\right) mit 1 multipliziert, erhält man also ein Produkt aus einer leicht zu integrierenden und einer leicht abzuleitenden Funktion: ln(x)dx=1ln(x)dx\int\ln\left(x\right)\mathrm{d}x=\int1\cdot\ln\left(x\right)\mathrm{d}x   (1 entspricht u(x)u'\left(x\right), ln(x)\ln\left(x\right) entspricht v(x)v\left(x\right) )

 

1ln(x)dx  =  xln(x)x1xdx  =  xln(x)x\int1\cdot\ln\left(x\right)\mathrm{d}x\;=\;x\ln\left(x\right)-\int x\cdot\frac1x\mathrm{d}x\;=\;\mathrm{xln}\left(x\right)-x +C

 

Herleitung

Bei der partiellen Integration macht man sich die Produktregel der Ableitung zunutze: (u(x)v(x))=u(x)v(x)+u(x)v(x)\left(u\left(x\right)\cdot v\left(x\right)\right)'=u'\left(x\right)v\left(x\right)+u\left(x\right)v'\left(x\right)\\

Wenn man beide Seiten integriert, ergibt sich:  u(x)v(x)=u(x)v(x)dx+u(x)v(x)dxu\left(x\right)v\left(x\right)=\int u'\left(x\right)v\left(x\right)\mathrm{d}x+\int u\left(x\right)v'\left(x\right)\mathrm{d}x\\

Man erhält also durch Subtraktion die Formel:

Video zur Partiellen Integration

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