Trigonometrische Umkehrfunktionen

Die Funktionen Arkussinus, Arkuskosinus und Arkustangens (gebräuchlich sind die Bezeichnungen arcsin,sin1,asin\arcsin,\sin^{-1},\mathrm{asin}) sind die Umkehrfunktionen der trigonometrischen Funktionen Sinus, Kosinus und Tangens, das heißt sie ordnen einem Verhältnis einen Winkel zu.

Ist beispielsweise cos(α)=x\cos\left(\alpha\right)=x, so folgt arccos(x)=α\arccos(x)=\alpha durch Anwendung des Arkuskosinus.

Definitions- und Wertemengen

Funktion

Definitionsmenge

Wertemenge

arcsin(x)\arcsin(x)

D=[1;1]D = [-1;1]

W=[π2;π2]W = \left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right]

arccos(x)\arccos(x)

D=[1;1]D = [-1;1]

W=[0;π]W = [0; \pi]

arctan(x)\arctan(x)

D=RD = \mathbb{R}

W=]π2;π2[W = \left]-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2} \right[

Graphen

Beispiel

sin(x+π)\displaystyle \sin(x+\pi)==1\displaystyle 1

Wende auf beiden Seiten die Umkehrfunktion arcsin\arcsin an.

x+π\displaystyle x+\pi==arcsin(1)\displaystyle \arcsin(1)

Löse nach xx auf.

x\displaystyle x==arcsin(1)π\displaystyle \arcsin(1)-\pi

Verwende, dass arcsin(1)=π2.\arcsin(1)=\frac{\pi}{2}. Betrachte hierzu den obigen Graphen von Arkussinus.

x\displaystyle x==π2\displaystyle -\frac{\pi}{2}

Ableitungen

Die Ableitungen der trigonometrischen Umkehrfunktionen lassen sich mithilfe der Regel für die Ableitung einer Umkehrfunktion ermiteln:

Funktion

Ableitung

arcsin(x)\arcsin(x)

arcsin(x)=11x2\arcsin'(x) = \frac1{\sqrt{1-x^2}}

arccos(x)\arccos(x)

arccos(x)=11x2\arccos'(x) = -\frac1{\sqrt{1-x^2}}

arctan(x)\arctan(x)

arctan(x)=11+x2\arctan'(x) = \frac1{1+x^2}

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