Trigonometrische Umkehrfunktionen

Die Funktionen Arkussinus, Arkuskosinus und Arkustangens (gebräuchlich sind die Bezeichnungen $\arcsin, \sin^{- 1}, asin$ ) sind die Umkehrfunktionen der trigonometrischen Funktionen Sinus, Kosinus und Tangens, das heißt, sie ordnen einem Verhältnis einen Winkel zu.

Ist beispielsweise $\cos (α) = x$ , so folgt $\arccos (x) = α$ durch Anwendung des Arkuskosinus.

Definitions- und Wertemengen

Funktion	Definitionsmenge	Wertemenge
$\arcsin (x)$	$D = [- 1; 1]$	$W = [- \frac{π}{2}; \frac{π}{2}]$
$\arccos (x)$	$D = [- 1; 1]$	$W = [0; π]$
$\arctan (x)$	$D = ℝ$	$W =] - \frac{π}{2}; \frac{π}{2} [$

Graphen

Beispiel

$\sin (x + π)$	$=$	$1$
	↓	Wende auf beiden Seiten die Umkehrfunktion $\arcsin$ an.
$x + π$	$=$	$\arcsin (1)$
	↓	Löse nach $x$ auf.
$x$	$=$	$\arcsin (1) - π$
	↓	Verwende, dass $\arcsin (1) = \frac{π}{2} .$ Betrachte hierzu den obigen Graphen von Arkussinus.
$x$	$=$	$- \frac{π}{2}$

Ableitungen

Die Ableitungen der trigonometrischen Umkehrfunktionen lassen sich mithilfe der Regel für die Ableitung einer Umkehrfunktion ermiteln:

Funktion	Ableitung
$\arcsin (x)$	$\arcsin^{'} (x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$
$\arccos (x)$	$\arccos^{'} (x) = - \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$
$\arctan (x)$	$\arctan^{'} (x) = \frac{1}{1 + x^{2}}$

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