Ableitung der Umkehrfunktion

Video zur Ableitung einer Umkehrfunktion

Beispiel 1

Bestimmung der Ableitung von $\ln (x)$:

$\ln (x)$ ist die Umkehrfunktion von $e^x$, d.h. hier ist $f(x)=e^x$ und $f^{-1}(x)=\ln (x)$

Da dann $f^{\prime }(x)=e^x$ ist, ergibt sich für die Ableitung von $\ln (x)$:

Beispiel 2

Bestimmung der Ableitung von $\sqrt{x}$ :

$\sqrt{x}$ ist die Umkehrfunktion von $x^2$, d.h. hier ist $f(x)=x^2$ und $f^{-1}(x)=\sqrt{x}$

Mit  $f^{\prime }(x)=2x$ ist dann:

Bemerkung

Die Ableitung der Wurzelfunktion lässt sich alternativ auch über die Regeln für Potenzfunktionen oder direkt über den Differenzenquotienten berechnen.

Erklärung

Man sieht, dass die Steigung der blauen Geraden im unteren Bild der Kehrwert der Steigung von der im oberen Bild ist, da sich die beiden Katheten im Steigungsdreieck vertauscht haben.

Im unteren Bild entspricht diese Steigung aber dem Funktionswert von $f^{\prime }$ an der grün gestrichelten Stelle $y$.

Es ist also $(f^{-1}{)}^{\prime }(x)={\displaystyle \frac{1}{f^{\prime }(y)}}$.

Ein Blick ins obere Bild zeigt aber: $y$ ist der Funktionswert von $f^{-1}$ an der Stelle $x$!

Damit ist  $(f^{-1}{)}^{\prime }(x)={\displaystyle \frac{1}{f^{\prime }(f^{-1}(x))}}$

Herleitung der Formel

Diese Formel für die Ableitung der Umkehrfunktion kann man auch mithilfe der Kettenregel herleiten. Dafür nutzt man aus, dass

$x=f(f^{-1}(x))$ ist.

Wir können jetzt beide Seiten ableiten:

${\left(x\right)}^{\prime }={(f(f^{-1}(x)))}^{\prime }$

Mit der Kettenregel bekommen wir

$1=f^{\prime }(f^{-1}(x))\cdot (f^{-1}{)}^{\prime }(x)$

und Umstellen der Formel nach $(f^{-1}{)}^{\prime }(x)$ liefert

$(f^{-1}{)}^{\prime }(x)={\displaystyle \frac{1}{f^{\prime }(f^{-1}(x))}}$.