Ableitung der Umkehrfunktion

Die Ableitung einer Umkehrfunktion lässt sich mithilfe der folgenden Formel bestimmen:

Video zur Ableitung einer Umkehrfunktion

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Beispiel 1

Bestimmung der Ableitung von ln(x)\ln(x):

ln(x)\ln(x) ist die Umkehrfunktion von exe^x, d.h. hier ist f(x)=exf(x)=e^x und f1(x)=ln(x)f^{-1}(x)=\ln(x)

Da dann f(x)=exf'(x)=e^x ist, ergibt sich für die Ableitung von ln(x)\ln(x):

Beispiel 2

Bestimmung der Ableitung von x\sqrt x :

x\sqrt x ist die Umkehrfunktion von x2x^2, d.h. hier ist f(x)=x2f(x)=x^2 und f1(x)=xf^{-1}(x)=\sqrt x

Mit  f(x)=2xf'(x)=2x ist dann:

Bemerkung

Die Ableitung der Wurzelfunktion lässt sich alternativ auch über die Regeln für Potenzfunktionen oder direkt über den Differenzenquotienten berechnen.

Erklärung

Man will die Ableitung von f1f^{-1} an der Stelle xx (rot gestrichelt) herausfinden, und betrachte dazu den Funktionsgraphen von f1f^{-1}:

Nun spiegle man ihn an der Winkelhalbierenden des ersten und dritten Quadranten, sodass man den Graphen von ff vor sich hat:

Man sieht, dass die Steigung der blauen Geraden im unteren Bild der Kehrwert der Steigung von der im oberen Bild ist, da sich die beiden Katheten im Steigungsdreieck vertauscht haben.

Im unteren Bild entspricht diese Steigung aber dem Funktionswert von f  f\;' an der grün gestrichelten Stelle yy.

Es ist also (f1)(x)=1f(y)(f^{-1})'(x)=\dfrac1{f'(y)}.

Ein Blick ins obere Bild zeigt aber: yy ist der Funktionswert von f1f^{-1} an der Stelle xx!

Damit ist  (f1)(x)=1f(f1(x))(f^{-1})'(x)=\dfrac1{f'(f^{-1}(x))}

Herleitung der Formel

Diese Formel für die Ableitung der Umkehrfunktion kann man auch mithilfe der Kettenregel herleiten. Dafür nutzt man aus, dass

ist. Wir können jetzt beide Seiten ableiten:

Mit der Kettenregel bekommen wir

und Umstellen der Formel nach (f1)(x)(f^{-1})'(x) liefert

(f1)(x)=1f  (f1(x))(f^{-1})'(x)=\dfrac1{f\;'(f^{-1}(x))}.


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