Ableitung der Umkehrfunktion

Video zur Ableitung einer Umkehrfunktion

Beispiel 1

Bestimmung der Ableitung von $\ln (x)\backslash ln(x)$:

$\ln (x)\backslash ln(x)$ ist die Umkehrfunktion von $e^{x}e^x$, d.h. hier ist $f(x)=e^{x}f(x)=e^x$ und $f^{-1}(x)=\ln (x)f^\{-1\}(x)=\backslash ln(x)$

Da dann $f^{\mathrm{\prime }}(x)=e^{x}f\text{'}(x)=e^x$ ist, ergibt sich für die Ableitung von $\ln (x)\backslash ln(x)$:

Beispiel 2

Bestimmung der Ableitung von $\sqrt{x}\backslash sqrt\; x$ :

$\sqrt{x}\backslash sqrt\; x$ ist die Umkehrfunktion von $x^{2}x^2$, d.h. hier ist $f(x)=x^{2}f(x)=x^2$ und $f^{-1}(x)=\sqrt{x}f^\{-1\}(x)=\backslash sqrt\; x$

Mit  $f^{\mathrm{\prime }}(x)=2xf\text{'}(x)=2x$ ist dann:

Bemerkung

Die Ableitung der Wurzelfunktion lässt sich alternativ auch über die Regeln für Potenzfunktionen oder direkt über den Differenzenquotienten berechnen.

Erklärung

Man sieht, dass die Steigung der blauen Geraden im unteren Bild der Kehrwert der Steigung von der im oberen Bild ist, da sich die beiden Katheten im Steigungsdreieck vertauscht haben.

Im unteren Bild entspricht diese Steigung aber dem Funktionswert von $f^{\mathrm{\prime }}f\text{'}$ an der grün gestrichelten Stelle $yy$.

Es ist also $(f^{-1}{)}^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{1}{f^{\mathrm{\prime }}(y)}}(f^\{-1\})\text{'}(x)=\backslash dfrac1\{f\text{'}(y)\}$.

Ein Blick ins obere Bild zeigt aber: $yy$ ist der Funktionswert von $f^{-1}f^\{-1\}$ an der Stelle $xx$!

Damit ist  $(f^{-1}{)}^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{1}{f^{\mathrm{\prime }}(f^{-1}(x))}}(f^\{-1\})\text{'}(x)=\backslash dfrac1\{f\text{'}(f^\{-1\}(x))\}$

Herleitung der Formel

Diese Formel für die Ableitung der Umkehrfunktion kann man auch mithilfe der Kettenregel herleiten. Dafür nutzt man aus, dass

$x=f(f^{-1}(x))x=f(f^\{-1\}(x))$ ist.

Wir können jetzt beide Seiten ableiten:

${\left(x\right)}^{\mathrm{\prime }}={(f(f^{-1}(x)))}^{\mathrm{\prime }}\backslash left(x\backslash right)\text{'}=\backslash left(f(f^\{-1\}(x))\backslash right)\text{'}$

Mit der Kettenregel bekommen wir

$1=f^{\mathrm{\prime }}(f^{-1}(x))\cdot (f^{-1}{)}^{\mathrm{\prime }}(x)1=\; f\text{'}(f^\{-1\}(x))\backslash cdot(f^\{-1\})\text{'}(x)$

und Umstellen der Formel nach $(f^{-1}{)}^{\mathrm{\prime }}(x)(f^\{-1\})\text{'}(x)$ liefert

$(f^{-1}{)}^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{1}{f^{\mathrm{\prime }}(f^{-1}(x))}}(f^\{-1\})\text{'}(x)=\backslash dfrac1\{f\text{'}(f^\{-1\}(x))\}$.