Den Wert eines bestimmten Integrals über eine Funktion f f f Stammfunktion an den beiden Integrationsgrenzen auswertet und die Differenz der beiden bildet ("obere Grenze minus untere Grenze"). Die Konstante C C C
Allgemeine Berechnung Die zur Berechnung eines bestimmten Integrals benötigte Formel lautet:
∫ a b f ( x ) d x = F ( b ) − F ( a ) \displaystyle \int_a^bf\left(x\right)\mathrm{dx}=F(b)-F(a) ∫ a b f ( x ) dx = F ( b ) − F ( a ) wobei F F F Stammfunktion von f f f
Für den Term F ( b ) − F ( a ) F\left(b\right)-F\left(a\right) F ( b ) − F ( a )
F ( b ) − F ( a ) = ∣ a b F ( x ) F\left(b\right)-F\left(a\right)=\big|_a^bF(x) F ( b ) − F ( a ) = a b F ( x )
F ( b ) − F ( a ) = F\left(b\right)-F\left(a\right)= F ( b ) − F ( a ) = [ F ( x ) ] a b \big[ F(x)\big]_a^b [ F ( x ) ] a b
F ( b ) − F ( a ) = F ( x ) ∣ a b F\left(b\right)-F\left(a\right)=F(x) \big|_a^b F ( b ) − F ( a ) = F ( x ) a b
Artikel zum Berechnen der Stammfunktion Artikel zum Thema
Wichtige Rechenregeln Obere Grenze = Untere Grenze ∫ a a f ( x ) d x = 0 \displaystyle \int_ a^ a f( x)\mathrm{d}x=0 ∫ a a f ( x ) d x = 0 Umkehren der Grenzen ∫ a b f ( x ) d x = − ∫ b a f ( x ) d x \displaystyle \int_a^bf(x)\mathrm{d}x\;\;=\;\;-\int_b^af(x)\mathrm{d}x ∫ a b f ( x ) d x = − ∫ b a f ( x ) d x Additivitätseigenschaft ∫ a b f ( x ) d x + ∫ b c f ( x ) d x = ∫ a c f ( x ) d x \displaystyle \int_a^bf(x)\mathrm{d}x\;+\int_b^cf(x)\mathrm{d}x\;\;=\;\;\int_a^cf(x)\mathrm{d}x ∫ a b f ( x ) d x + ∫ b c f ( x ) d x = ∫ a c f ( x ) d x 1. Linearitätseigenschaft ∫ a b c ⋅ f ( x ) d x = c ⋅ ∫ a b f ( x ) d x \displaystyle \int_a^bc\cdot f(x)\mathrm{d}x\;\;=\;\;c\cdot\int_a^bf(x)\mathrm{d}x ∫ a b c ⋅ f ( x ) d x = c ⋅ ∫ a b f ( x ) d x 2. Linearitätseigenschaft ∫ a b [ f ( x ) − g ( x ) ] d x = ∫ a b f ( x ) d x − ∫ a b g ( x ) d x \displaystyle \int_a^b\lbrack f(x)-g(x)\rbrack\mathrm{d}x\;\;=\;\;\int_a^bf(x)\mathrm{d}x\;-\int_a^bg(x)\mathrm{d}x ∫ a b [ f ( x ) − g ( x )] d x = ∫ a b f ( x ) d x − ∫ a b g ( x ) d x Monotonieeigenschaft für alle x ∈ [ a ; b ] : \;x\in\left[a;b\right]: x ∈ [ a ; b ] :
f ( x ) ⩽ g ( x ) \displaystyle f\left(x\right)\;\leqslant\;g\left(x\right)\;\; f ( x ) ⩽ g ( x ) ⇒ ∫ a b f ( x ) d x ⩽ ∫ a b g ( x ) d x \displaystyle \Rightarrow\int_a^bf\left(x\right)\mathrm{d}x\;\leqslant\;\int_a^bg\left(x\right)\mathrm{d}x ⇒ ∫ a b f ( x ) d x ⩽ ∫ a b g ( x ) d x Punktsymmetrische Funktionen Für eine zum Ursprung punktsymmetrische Funktion f f f
∫ − a a f ( x ) d x = 0 \displaystyle \int_{- a}^ a f\left( x\right)\operatorname{d} x=0 ∫ − a a f ( x ) d x = 0 Achsensymmetrische Funktionen Für eine zur y y y f f f
∫ − a a f ( x ) d x = 2 ∫ 0 a f ( x ) d x \displaystyle \int_{- a}^ a f\left( x\right)\operatorname{d} x=2\int_0^ a f\left( x\right)\operatorname{d} x ∫ − a a f ( x ) d x = 2 ∫ 0 a f ( x ) d x Betrag eines Integrals ∣ ∫ a b f ( x ) d x ∣ ≤ ∫ a b ∣ f ( x ) ∣ d x \displaystyle \left|\int_ a^ b f( x)\operatorname{d} x\right|\;\leq\;\int_ a^ b\left| f( x)\right|\operatorname{d} x ∫ a b f ( x ) d x ≤ ∫ a b ∣ f ( x ) ∣ d x Vereinfachungen von Aufgaben mittels Eigenschaften des Integrals
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