Bestimmtes Integral berechnen

Den Wert eines bestimmten Integrals über eine Funktion $f$ berechnet man, indem man ihre Stammfunktion an den beiden Integrationsgrenzen auswertet und die Differenz der beiden bildet ("obere Grenze minus untere Grenze"). Die Konstante $C$ , die in der allgemeinen Stammfunktion steht, fällt hierbei weg (hebt sich auf).

Allgemeine Berechnung

Die zur Berechnung eines bestimmten Integrals benötigte Formel lautet:

\displaystyle \int_a^bf\left(x\right)\mathrm{dx}=F(b)-F(a)

wobei $F$ Stammfunktion von $f$ ist.

Für den Term $F\left(b\right)-F\left(a\right)$ werden folgende abkürzende Schreibweisen verwendet:

$F\left(b\right)-F\left(a\right)=\big|_a^bF(x)$
$F\left(b\right)-F\left(a\right)=$ $\big[ F(x)\big]_a^b$
$F\left(b\right)-F\left(a\right)=F(x) \big|_a^b$

Artikel zum Berechnen der Stammfunktion

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Wichtige Rechenregeln

Obere Grenze = Untere Grenze

\displaystyle \int_a^bf\left(x\right)\mathrm{dx}=F(b)-F(a)

Umkehren der Grenzen

\displaystyle \int_a^bf\left(x\right)\mathrm{dx}=F(b)-F(a)

Additivitätseigenschaft

\displaystyle \int_a^bf\left(x\right)\mathrm{dx}=F(b)-F(a)

1. Linearitätseigenschaft

\displaystyle \int_a^bf\left(x\right)\mathrm{dx}=F(b)-F(a)

2. Linearitätseigenschaft

\displaystyle \int_a^bf\left(x\right)\mathrm{dx}=F(b)-F(a)

Monotonieeigenschaft

für alle $\;x\in\left[a;b\right]:$

\displaystyle \int_a^bf\left(x\right)\mathrm{dx}=F(b)-F(a)

\displaystyle \int_a^bf\left(x\right)\mathrm{dx}=F(b)-F(a)

Punktsymmetrische Funktionen

Für eine zum Ursprung punktsymmetrische Funktion $f$ :

\displaystyle \int_a^bf\left(x\right)\mathrm{dx}=F(b)-F(a)

Achsensymmetrische Funktionen

Für eine zur $y$ -Achse achsensymmetrische Funktion $f$ :

\displaystyle \int_a^bf\left(x\right)\mathrm{dx}=F(b)-F(a)

Betrag eines Integrals

\displaystyle \int_a^bf\left(x\right)\mathrm{dx}=F(b)-F(a)

Vereinfachungen von Aufgaben mittels Eigenschaften des Integrals

Übungsaufgaben: Bestimmtes Integral berechnen

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