Den Wert eines bestimmten Integrals über eine Funktion f berechnet man, indem man ihre Stammfunktion an den beiden Integrationsgrenzen auswertet und die Differenz der beiden bildet ("obere Grenze minus untere Grenze"). Die Konstante %%C%%, die in der allgemeinen Stammfunktion steht, fällt hierbei weg (hebt sich auf).
Allgemeine Berechnung
Die zur Berechnung eines bestimmten Integrals benötigte Formel lautet:
$$\int_a^bf\left(x\right)\mathrm{dx}=F(b)-F(a)$$
wobei %%F%% Stammfunktion von %%f%% ist.
Für den Term %%F\left(b\right)-F\left(a\right)%% werden folgende abkürzende Schreibweisen verwendet:
%%\big|_a^bF(x)%% bzw. %%\big[ F(x)\big]_a^b%% bzw. %%F(x) \big|_a^b%%
Artikel zum Berechnen der Stammfunktion
Wichtige Rechenregeln
Obere Grenze = Untere Grenze
$$\int_ a^ a f( x)\mathrm{d}x=0$$
Umkehren der Grenzen
$$\int_a^bf(x)\mathrm{d}x\;\;=\;\;-\int_b^af(x)\mathrm{d}x$$
Additivitätseigenschaft
$$\int_a^bf(x)\mathrm{d}x\;+\int_b^cf(x)\mathrm{d}x\;\;=\;\;\int_a^cf(x)\mathrm{d}x$$
1. Linearitätseigenschaft
$$\int_a^bc\cdot f(x)\mathrm{d}x\;\;=\;\;c\cdot\int_a^bf(x)\mathrm{d}x$$
2. Linearitätseigenschaft
$$\int_a^b\lbrack f(x)-g(x)\rbrack\mathrm{d}x\;\;=\;\;\int_a^bf(x)\mathrm{d}x\;-\int_a^bg(x)\mathrm{d}x$$
Monotonieeigenschaft
für alle %%\;x\in\left[a;b\right]:%%
$$f\left(x\right)\;\leqslant\;g\left(x\right)\;\;\Rightarrow\;$$ $$\int_a^bf\left(x\right)\mathrm{d}x\;\leqslant\;\int_a^bg\left(x\right)\mathrm{d}x$$
Punktsymmetrische Funktionen
Für eine zum Ursprung punktsymmetrische Funktion %%f%%:
$$\int_{- a}^ a f\left( x\right)\operatorname{d} x=0$$
Achsensymmetrische Funktionen
Für eine zur %%y%%-Achse achsensymmetrische Funktion %%f%%:
$$\int_{- a}^ a f\left( x\right)\operatorname{d} x=2\int_0^ a f\left( x\right)\operatorname{d} x$$
Betrag eines Integrals
$$\left|\int_ a^ b f( x)\operatorname{d} x\right|\;\leq\;\int_ a^ b\left| f( x)\right|\operatorname{d} x$$
Vereinfachungen von Aufgaben mittels Eigenschaften des Integrals
