Bestimmtes Integral berechnen

Den Wert eines bestimmten Integrals über eine Funktion $f$ berechnet man, indem man ihre Stammfunktion an den beiden Integrationsgrenzen auswertet und die Differenz der beiden bildet ("obere Grenze minus untere Grenze"). Die Konstante $C$ , die in der allgemeinen Stammfunktion steht, fällt hierbei weg (hebt sich auf).

Allgemeine Berechnung

Die zur Berechnung eines bestimmten Integrals benötigte Formel lautet:

\int_{a}^{b} f (x) dx = F (b) - F (a)

wobei $F$ Stammfunktion von $f$ ist.

Für den Term $F (b) - F (a)$ werden folgende abkürzende Schreibweisen verwendet:

$F (b) - F (a) = |_{a}^{b} F (x)$
$F (b) - F (a) =$ $[F (x)]_{a}^{b}$
$F (b) - F (a) = F (x) |_{a}^{b}$

Artikel zum Berechnen der Stammfunktion

Artikel zum Thema

Wichtige Rechenregeln

Obere Grenze = Untere Grenze

\int_{a}^{a} f (x) d x = 0

Umkehren der Grenzen

\int_{a}^{b} f (x) d x = - \int_{b}^{a} f (x) d x

Additivitätseigenschaft

\int_{a}^{b} f (x) d x + \int_{b}^{c} f (x) d x = \int_{a}^{c} f (x) d x

1. Linearitätseigenschaft

\int_{a}^{b} c \cdot f (x) d x = c \cdot \int_{a}^{b} f (x) d x

2. Linearitätseigenschaft

\int_{a}^{b} [f (x) - g (x)] d x = \int_{a}^{b} f (x) d x - \int_{a}^{b} g (x) d x

Monotonieeigenschaft

für alle $x \in [a; b] :$

f (x) ⩽ g (x)

\Rightarrow \int_{a}^{b} f (x) d x ⩽ \int_{a}^{b} g (x) d x

Punktsymmetrische Funktionen

Für eine zum Ursprung punktsymmetrische Funktion $f$ :

\int_{- a}^{a} f (x) d x = 0

Achsensymmetrische Funktionen

Für eine zur $y$ -Achse achsensymmetrische Funktion $f$ :

\int_{- a}^{a} f (x) d x = 2 \int_{0}^{a} f (x) d x

Betrag eines Integrals

| \int_{a}^{b} f (x) d x | \leq \int_{a}^{b} | f (x) | d x

Vereinfachungen von Aufgaben mittels Eigenschaften des Integrals

Übungsaufgaben

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