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Aufgaben zu Integralen

Hier findest du Übungsaufgaben zu den Integralen. Wiederhole wichtige Grundlagen und entdecke interessante Eigenschaften der Integrale!

  1. 1

    Begründe, warum es kein kR+\mathrm k\in \mathbb{R}^+ gibt, das folgende Gleichung erfüllt:

    0k(x2+1) dx=1\displaystyle\int_0^\mathrm k (x^2+1)\ \mathrm{d}x=-1

  2. 2

    Berechne die Fläche zwischen der x-Achse und GfG_f im Bereich von x=ax= a bis x=bx= b.

    1. f(x)=x3f(x)=x^3                       a=0a=0                    b=1b=1

    2. f(x)=x3f(x)=x^3                       a=1a=1                   b=2b=2

    3. f(x)=x2+xf(x)=-x^2+x            a=1a=-1                b=0b=0

  3. 3

    Berechne

    1. 0xtdt\int_0^xt\mathrm{d}t

    2. 1xtdt\int_1^xt\mathrm{d}t

    3. 0x(t2t1)dt\int_0^x(t^2-t-1)\mathrm{d}t

    4. 0xsint dt\int_0^x\sin t\ \mathrm{d}t

    5. 1054xt2 dt\int_{1054}^xt^2\ \mathrm{d}t

    6. 121+xx dx\int_1^2\frac{1+x}x\ \mathrm{d}x

    7. 1ex2+2x+32x dx\int_1^e\frac{x^2+2x+3}{2x}\ \mathrm{d}x

    8. 2+2v2 dv\int_{-2}^{+2}v^2\ \mathrm{d}v

    9. 23t2 dt\int_2^3t^2\ \mathrm{d}t

    10. 23x2 dx\int_2^3x^2\ \mathrm{d}x

    11. 01(xx2) dx\int_0^1(x-x^2)\ \mathrm{d}x

    12. 02x dx\int_0^2x\ \mathrm{d}x

    13. 13x dx\int_1^3x\ \mathrm{d}x

    14. 20(x) dx\int_{-2}^0\left(-x\right)\ \mathrm{d}x

    15. 01(x2+x) dx\int_0^1\left(x^2+x\right)\ \mathrm{d}x

    16. 12x2 dx\int_1^2x^2\ \mathrm{d}x

    17. 21x2 dx\int_{-2}^{-1}x^2\ \mathrm{d}x

    18. 22x2 dx\int_{-2}^2x^2\ \mathrm{d}x

    19. 0π2sinx dx\int_0^\frac{\pi}2\sin x\ \mathrm{d}x

    20. 0π2cosx dx\int_0^\frac{\pi}2\cos x\ \mathrm{d}x

    21. 73220001 dx\int_{732}^{2000}1\ \mathrm{d}x

    22. 12(x2+x) dx\int_1^2(x^2+x)\ \mathrm{d}x

    23. 02(x2+x) dx\int_0^2(x^2+x)\ \mathrm{d}x

    24. 11(5x43x27) dx\int_{-1}^1\left(5x^4-3x^2-7\right)\ \mathrm{d}x

  4. 4

    Was kann man über die ff sagen, wenn man weiß:

    1. 01f(x)dx=0\int_0^1f(x)\mathrm{d}x=0

    2. 01f(x)dx>0\int_0^1f(x)\mathrm{d}x>0

    3. 01f(x)dx<0\int_0^1f(x)\mathrm{d}x<0

    4. 10f(x)dx>0\int_1^0f(x)\mathrm{d}x>0

  5. 5

    Berechne die Integrale: a(x)=6124x2 ; Da=Ra(x)=6-\frac{1}{24}x^2\ ;\ D_a=\mathbb{R}

    1. 012a(x)dx\int_0^{12}a(x)\mathrm{d}x

    2. 1212a(x)dx\int_{-12}^{12}a(x)\mathrm{d}x

    3. 0123a(x)dx\int_0^{12\sqrt3}a(x)\mathrm{d}x

  6. 6

    Berechne.

    1. 11ex dx\int_{-1}^1e^{\left|x\right|}\ \mathrm{d}x

    2. 20ex dx\int_{-2}^0e^{-\left|x\right|}\ \mathrm{d}x

    3. 20ex+1 dx\int_{-2}^0e^{\left|x+1\right|}\ \mathrm{d}x

    4. 77ttet dt\int_{-7}^7\frac{\left|t\right|}te^{\left|t\right|}\ \mathrm{d}t

  7. 7

    Stelle f(x)f(x) integralfrei dar.

    1. f(x)=0xt dtf(x)=\int_0^x\sqrt t\ \mathrm{d}t

    2. f(x)=xlnx+2xlnt   dtf(x)=x\cdot\ln x+\int_2^x\ln t\;\ \mathrm{d}t

    3. f(x)=lnx1x1t dtf(x)=\ln x-\int_1^x\frac1t\ \mathrm{d}t

    4. f(x)=1xt  lnt dt+x3t  lnt dtf(x)=\int_1^xt\;\ln t\ \mathrm{d}t+\int_x^3t\;\ln t\ \mathrm{d}t

  8. 8

    Löse die Aufgabe (nach einer Abituraufgabe von 2012)

    1. Begründe, dass jede Integralfunktion mindestens eine Nullstelle hat.

    2. Gib einen Term für eine Funktion ff an, sodass die Integralfunktion

      F:x1xf(t)dt\displaystyle F: x \mapsto \int_{1}^x f(t)\operatorname{d}t unendlich viele Nullstellen hat.

  9. 9

    Die Funktion v(t)=15t2+90tv(t)=-15t^2+90t gibt zu jedem Zeitpunkt die momentane Geschwindigkeit eines Autos in kmh\dfrac{\text{km}}{\text{h}} während einer sechsstündigen Autofahrt an.

    Welche durchschnittliche Geschwindigkeit hatte das Auto bei seiner Fahrt?

  10. 10

    Gegeben ist die Funktion f(x)=2x2+4xf(x)=-2x^2+4x.

    1. Berechne die Sekantensteigung im Intervall [0;1][0;1].

    2. Berechne mithilfe der Integralrechnung die mittlere Steigung im Intervall [0;1][0;1].

      Vergleiche mit dem Ergebnis aus Aufgabe a).

  11. 11

    Nachdem ein Heißluftballon zur Zeit t=0t=0 seine Reisehöhe erreicht hat, wird seine Flughöhe durch die Funktion h(t)=0,03t3+0,4t2+300h(t)=-0{,}03t^3+0{,}4t^2+300 beschrieben (hh in Metern und tt in Stunden).

    Welche durchschnittliche Reisehöhe hatte der Ballon zwischen der 2.2. und 10.10. Stunde?

  12. 12

    Eine Wetterstation misst die Lufttemperatur. Der Temperaturverlauf während eines Tages wird näherungsweise durch die Funktion t(x)=0,01x3+0,25x2+6t(x)=-0{,}01x^3+0{,}25x^2+6 beschrieben (xx ist die Uhrzeit in Stunden und t(x)t(x) die Temperatur in ^\circ C).

    Wie groß ist die mittlere Tagestemperatur?


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