Aufgaben zu Integralen
Hier findest du Übungsaufgaben zu den Integralen. Wiederhole wichtige Grundlagen und entdecke interessante Eigenschaften der Integrale!
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Begründe, warum es kein k∈R+ gibt, das folgende Gleichung erfüllt:
∫0k(x2+1) dx=−1
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Integral
Wir haben hier ein Integral, bei dem die obere Grenze größer als die untere ist. Damit dieses Integral in einem beliebigen Abschnitt negativ wird, muss die Funktion in diesem Bereich einen größeren Flächeninhalt unterhalb der x-Achse haben als oberhalb. Das kann nur geschehen, wenn es negative Funktionswerte gibt.
Da f(x)=x2+1 eine nach oben geöffnete Parabel ist, die sich vollständig oberhalb der x-Achse befindet, sind aber alle Funktionswerte positiv.
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Berechne die Fläche zwischen der x-Achse und Gf im Bereich von x=a bis x=b.
f(x)=x3 a=0 b=1
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächenberechnung
Im Bereich x=0 bis x=1 hat die Funktion f(x)=x3 keine Nullstellen, so dass es reicht, das Integral in den angegebenen Grenzen zu berechnen.
f(x)=x3 , a=0 , b=1
Integral aufstellen.
∫01x3dx=[4x4]01
In die Klammer wird für x der obere Wert (1) eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert (0) gerechnet.
=(414)−(404)
Zähler berechnen.
=41
Die Fläche zwischen der x-Achse und Gf beträgt A=41FE.
Hast du eine Frage oder Feedback?
f(x)=x3 a=1 b=2
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächenberechnung
Im Bereich x=1 bis x=2 ist die Funktion f(x)=x3 positiv und hat keine Nullstellen, so dass es reicht, das Integral in den angegebenen Grenzen zu berechnen.
f(x)=x3 , a=1 , b=2
Integral aufstellen.
∫12x3dx=[41x4]12
In die Klammer wird für x der obere Wert (2) eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert (1) gerechnet.
=4124−4114
Potenzen berechen.
=416−41
=415=3,75
Die Fläche zwischen der x-Achse und Gf beträgt A=3,75FE.
Hast du eine Frage oder Feedback?
f(x)=−x2+x a=−1 b=0
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächenberechnung
Im Bereich x=−1 bis x=0 hat die Funktion f(x)=−x2+x nur die Nullstelle x=0.
Für die linke Integralgrenze gilt: f(−1)=−2. Die gesuchte Fläche liegt somit unterhalb der x-Achse.
f(x)=−x2+x , a=−1 , b=0
Integral aufstellen und integrieren:
∫−10−x2+x dx=[−31x3+21x2]−10
In die Klammer wird für x der obere Wert (0) eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert (-1) gerechnet.
=(−31⋅03+21⋅02)−(−31⋅(−1)3+21⋅(−1)2)
Die erste Klammer ist gleich "0" diese bleibt und auch das Vorzeichen ( - ) vor der zweiten Klammer.
=0−(31+21)
Hauptnenner (6) bilden und beide Brüche auf diesen erweitern.
=0−(62+63)=−65
Die Fläche zwischen der x-Achse und Gf beträgt A=∣−65∣=65FE.
Hast du eine Frage oder Feedback?
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Berechne
∫0xtdt
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Integration
∫0xtdt = [21t2]0x ↓ In die Klammer wird für t der obere Wert (x) eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert (0) gerechnet.
= 21x2−2102 = 21x2 Hast du eine Frage oder Feedback?
∫1xtdt
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Integration
∫1xtdt = [21t2]1x ↓ In die Klammer wird für t der obere Wert (x) eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert (1) gerechnet.
= 21x2−21⋅1 = 21x2−21 Hast du eine Frage oder Feedback?
∫0x(t2−t−1)dt
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Integration
∫0x(t2−t−1)dt = [31t3−21t2−t]0x ↓ In die Klammer wird für t der obere Wert (x) eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert (0) gerechnet.
= (31x3−21x2−x)−(3103−2102−0) = 31x3−21x2−x Hast du eine Frage oder Feedback?
∫0xsint dt
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Integration
∫0xsint dt = [−cost]0x ↓ In die Klammer wird für t der obere Wert (x) eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert (0) gerechnet.
= (−cosx)−(−cos0) ↓ cos0=1
= −cosx+1 Hast du eine Frage oder Feedback?
∫1054xt2 dt
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Integration
∫1054xt2 dt = [31t3]1054x ↓ In die Klammer wird für t der rechte Wert (x) eingesetzt und minus die Klammer mit dem linken Wert (1054) gerechnet.
= (31⋅x3)−(31⋅10543) = 31⋅x3−310543 = 31⋅x3−31.170.905.464 Hast du eine Frage oder Feedback?
∫12x1+x dx
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Integration
Zerlege zuerst den Bruch in 2 Brüche.
∫12x1+x dx = ∫12(x1+xx) dx ↓ Bruch mit x kürzen.
= ∫12(x1+1) dx ↓ Integrieren. Die Stammfunktion von x1 ist lnx.
= [lnx+x]12 ↓ In die Klammer wird für x der obere Wert 2 eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert 1 gerechnet.
= (ln2+2)−(ln1+1) ↓ ln1=0
= ln2+2−1 = ln2+1 ≈ 1,6931 Hast du eine Frage oder Feedback?
∫1e2xx2+2x+3 dx
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Integration
Zerlege den Bruch in drei Brüche.
∫1e2xx2+2x+3 dx = ∫1e(2xx2+2x2x+2x3) dx = ∫1e(21x+1+23⋅x1) dx ↓ Integriere. Die Stammfunktion von x1 ist lnx.
= [2⋅21x2+x+23lnx]1e ↓ In die Klammer wird für x der obere Wert (e) eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert 1 gerechnet.
= (41e2+e+23lne)−(4112+1+23ln1) ↓ Löse die Klammern auf. Dabei ist lne=1 und ln1=0.
= 4e2+e+23−41−1 ↓ Gleiche Elemente zusammenfassen.
= 4e2+e+41 ≈ 4,8155 Hast du eine Frage oder Feedback?
∫−2+2v2 dv
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Integration
∫−2+2v2 dv = [31⋅v3]−2+2 ↓ In die Klammer wird für v der obere Wert (+2) eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert (-2) gerechnet.
= (31⋅23)−(31⋅(−2)3) ↓ Klammern auflösen und Potenzen ausmultiplizieren.
= 38+38 ↓ = 316 Hast du eine Frage oder Feedback?
∫23t2 dt
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Integration
∫23t2 dt = [31t3]23 ↓ In die Klammer wird für t der obere Wert (3) eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert (2) gerechnet.
= (31⋅33)−(31⋅23) ↓ Klammern auflösen.
= 327−38 ↓ = 319 Hast du eine Frage oder Feedback?
∫23x2 dx
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Integration
∫23x2 dx = [31x3]23 ↓ In die Klammer wird für x der obere Wert (3) eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert (2) gerechnet.
= (31⋅33)−(31⋅23) ↓ Klammern auflösen.
= 327−38 ↓ = 319 Hast du eine Frage oder Feedback?
∫01(x−x2) dx
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Integration
∫01(x−x2) dx = [21x2−31x3]01 ↓ In die Klammer wird für x der obere Wert (1) eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert (0) gerechnet.
= (21⋅12−31⋅13)−(21⋅02−31⋅03) ↓ Klammern auflösen, die zweite Klammer fällt weg.
= 21−31 ↓ = 63−62 = 61 Hast du eine Frage oder Feedback?
∫02x dx
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Integration
∫02x dx = [2x2]02 ↓ In die Klammer wird für x der obere Wert (2) eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert (0) gerechnet.
= 222−202 = 24−0 = 2 Hast du eine Frage oder Feedback?
∫13x dx
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Integration
∫13x dx = [2x2]13 ↓ In die Klammer wird für x der obere Wert (3) eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert (1) gerechnet.
= 232−212 ↓ Zähler berechnen.
= 29−21 = 28 = 4 Hast du eine Frage oder Feedback?
∫−20(−x) dx
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Integration
∫−20(−x) dx = [−2x2]−20 ↓ In die Klammer wird für x der obere Wert (0) eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert (-2) gerechnet.
= (−202)−(−2(−2)2) = 24 = 2 Hast du eine Frage oder Feedback?
∫01(x2+x) dx
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Integration
∫01(x2+x) dx = [3x3+2x2]01 ↓ In die Klammer wird für x der obere Wert (1) eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert (0) gerechnet.
= (313+212)−(303+202) = 31+21 ↓ Hauptnenner (6) bilden und auf diesen erweitern.
= 62+63 = 65 Hast du eine Frage oder Feedback?
∫12x2 dx
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Integration
∫12x2 dx = [31x3]12 ↓ In die Klammer wird für x der obere Wert (2) eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert (1) gerechnet.
= 31⋅23−31⋅13 = 38−31 = 37 Hast du eine Frage oder Feedback?
∫−2−1x2 dx
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Integration
∫−2−1x2 dx = [31x3]−2−1 ↓ In die Klammer wird für x der obere Wert (-1) eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert (-2) gerechnet.
= 31⋅(−1)3−31⋅(−2)3 ↓ Potenzen berechen.
= −31+38 = 37 Hast du eine Frage oder Feedback?
∫−22x2 dx
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Integration
∫−22x2 dx = [31x3]−22 ↓ In die Klammer wird für x der obere Wert (2) eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert (-2) gerechnet.
= 31⋅23−31⋅(−2)3 ↓ Potenzen berechen.
= 38+38 = 316 Hast du eine Frage oder Feedback?
∫02πsinx dx
∫02πcosx dx
∫73220001 dx
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Integration
∫73220001dx = [x]7322000 ↓ In die Klammer wird für x der obere Wert (2000) eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert (732) gerechnet.
= 2000−732 = 1268 Hast du eine Frage oder Feedback?
∫12(x2+x) dx
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Integration
∫12(x2+x) dx = [31x3+21x2]12 ↓ In die Klammer wird für x der obere Wert (2) eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert (1) gerechnet.
= (31⋅23+21⋅22)−(31⋅13+21⋅12) = 38+24−(31+21) ↓ Hauptnenner bilden.
= 38+36−(62+63) = 314−65 ↓ Hauptnenner bilden.
= 628−65 = 623 Hast du eine Frage oder Feedback?
∫02(x2+x) dx
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Integration
∫02(x2+x) dx = [31x3+21x2]02 ↓ In die Klammer wird für x der obere Wert (2) eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert (0) gerechnet
= (31⋅23+21⋅22)−(31⋅03+21⋅02) = 38+24 ↓ Hauptnenner bilden.
= 616+612 = 628 = 314 Hast du eine Frage oder Feedback?
∫−11(5x4−3x2−7) dx
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Integration
∫−11(5x4−3x2−7) dx = [x5−x3−7x]−11 = [15−13−7⋅1−((−1)5−(−1)3−7⋅(−1))] = 1−1−7−(−1−(−1)+7) = −7−(−1+1+7) = −7−7 = −14 Alternative Lösung
f(x) ist achsensymmetrisch zur y-Achse, da f(x)=f(−x):
f(−x)=5⋅(−x)4−3(−x)2−7=5x4−3x2−7=f(x) , weil der Exponent eine gerade Zahl ist
⇒ Das Integral lässt sich in zwei gleich große Teile aufteilen, zwischen -1 und 0 und zwischen 0 und 1
∫−11(5x4−3x2−7) dx = 2⋅∫01(5x4−3x2−7) dx = 2⋅[x5−x3−7x]01 ↓ 0 und 1 einsetzen
= 2⋅[15−13−7⋅1−(05−03−7⋅0)] = 2⋅(1−1−7−0) = 2⋅(−7) = −14 Hast du eine Frage oder Feedback?
- 4
Was kann man über die f sagen, wenn man weiß:
∫01f(x)dx=0
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Integralrechnung
∫01f(x)dx=0
Es gibt zwei Möglichkeiten:
Die Funktion verläuft zwischen 0 und 1 auf der x-Achse.
Die Flächen ober- und unterhalb der x-Achse sind im Bereich 0 bis 1 gleich groß und heben sich so auf.
Hast du eine Frage oder Feedback?
∫01f(x)dx>0
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Integralrechnung
∫01f(x)dx>0
Die Flächen oberhalb der x-Achse sind im Bereich 0 bis 1 größer als die unterhalb.
Hast du eine Frage oder Feedback?
∫01f(x)dx<0
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Integralrechnung
∫01f(x)dx<0
Die Flächen unterhalb der x-Achse sind im Bereich 0 bis 1 größer als die oberhalb.
Hast du eine Frage oder Feedback?
∫10f(x)dx>0
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Integralrechnung
∫10f(x)dx > 0 −∫01f(x)dx > 0 :(−1) ↓ Dividiere durch (−1). Dadurch dreht sich das Größer-Zeichen um.
∫01f(x)dx < 0 Mögliche Lösung: siehe Teilaufgabe c.
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- 5
Berechne die Integrale: a(x)=6−241x2 ; Da=R
∫012a(x)dx
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Integration
∫0126−241x2dx = ↓ = [6x−24⋅31x3]012 ↓ In die Klammer wird für x der obere Wert (12) eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert (0) gerechnet.
= (6⋅12−721⋅123)−(6⋅0−721⋅03) ↓ Klammern auflösen, die zweite Klammer fällt weg.
= 72−721728 ↓ = 72−24 = 48 Hast du eine Frage oder Feedback?
∫−1212a(x)dx
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Integration
∫−12126−241x2 dx = ↓ = [6x−24⋅31x3]−1212 ↓ In die Klammer wird für x der obere Wert (12) eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert (-12) gerechnet.
= (6⋅12−721⋅123)−(6⋅(−12)−721⋅(−12)3) ↓ Klammer auflösen.
= 72−721728+72−721728 ↓ = 72−24+72−24 = 96 Hast du eine Frage oder Feedback?
∫0123a(x)dx
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Integration
∫01236−241x2 dx = ↓ = [6x−24⋅31x3]0123 ↓ In die Klammer wird für x der obere Wert (123 ) eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert (0) gerechnet.
= (6⋅12⋅3−72(12⋅3)3)−(6⋅0−721⋅0) ↓ Klammern auflösen, die zweite Klammer fällt weg.
= 72⋅3−725184⋅3 ↓ = 72⋅3−72⋅3=0 Hast du eine Frage oder Feedback?
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Berechne.
∫−11e∣x∣ dx
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Integrieren
∫−11e∣x∣ dx
Fallunterscheidung für x≥0 und x<0
Für x≥0 ist der Betrag immer positiv und kann weggelassen werden.
Für x<0 muss der Betrag durch ein Minuszeichen vor x ersetzt werden, da −x für negatives x positiv wird.
Fall x≥0
∫01ex dx = ↓ = [ex]01 ↓ In die Klammer wird für x der obere Wert 1 eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert 0 gerechnet.
= e1−e0 = e−1 Fall x<0
∫−10e−x dx = ↓ = [−e−x]−10 ↓ In die Klammer wird für x der obere Wert 0 eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert (−1) gerechnet.
= (−e−0)−(−e−(−1)) ↓ Klammern auflösen.
= −e0+e1 = −1+e Gesamtfläche berechnen
A = (e−1)+(−1+e) ↓ Klammern auflösen.
= e−1−1+e = 2e−2 Alternative Lösung
Du kannst hier ausnutzen, dass die Funktion achsensymmetrisch ist. Damit ist der Flächeninhalt, der zwischen −1 und 0 eingeschlossen ist, genauso groß wie der Flächeninhalt, der zwischen 0 und 1 eingeschlossen ist (siehe Abbildung rechts).
⇒ ∫−11e∣x∣ dx=2⋅∫01ex dx
Gleiche Rechnung wie oben.
=2⋅[ex]01=2⋅[e1−e0]=2⋅(e−1)= 2e−2
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∫−20e−∣x∣ dx
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Integrieren
∫−20e−∣x∣ dx = ↓ Da x immer negativ ( bzw. 0 ) ist, kann der Betrag durch ein minus ersetzt werden.
= ∫−20e−(−x) dx = ∫−20ex dx ↓ = [ex]−20 ↓ In die Klammer wird für x der obere Wert 0 eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert (-2) gerechnet.
= e0−e−2 = 1−e21 ≈ 0,86467 Hast du eine Frage oder Feedback?
∫−20e∣x+1∣ dx
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Integrieren
∫−20e∣x+1∣ dx
Fallunterscheidung für x≥−1 und x<−1
Für x≥−1 ist der Betrag immer positiv und kann weggelassen werden.
Für x<−1 ist der Betrag immer negativ und kann durch ein Minus ersetzt werden.
Fall x≥−1
∫−10ex+1 dx = ↓ Integrieren.
= [ex+1]−10 ↓ In die Klammer wird für x der obere Wert 0 eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert −1 gerechnet.
= e1−e0 = e−1 Fall x<−1
∫−2−1e−(x+1) dx = ↓ Klammern auflösen.
= ∫−2−1e−x−1 dx ↓ Integrieren.
= [−e−x−1]−2−1 ↓ In die Klammer wird für x der obere Wert −1 eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert −2 gerechnet.
= (−e−(−1)−1)−(−e−(−2)−1) ↓ Klammern auflösen.
= −e0+e1 = −1+e Gesamtfläche berechnen
A = (e−1)+(−1+e) = e−1−1+e = 2⋅e−2 = 2⋅(e−1) ≈ 3,4366 Hast du eine Frage oder Feedback?
∫−77t∣t∣e∣t∣ dt
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Integrieren
∫−77t∣t∣e∣t∣ dt
Fallunterscheidung für t≥0 und t<0.
Für t≥0 ist der Betrag immer positiv und kann weggelassen werden.
Für t<0 ist der Betrag immer negativ und kann durch ein Minus ersetzt werden.
Fall t≥0
∫07ttet dt = ↓ Mit t kürzen.
= ∫07et dt ↓ = [et]07 ↓ In die Klammer wird für tt der obere Wert (7) eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert (0) gerechnet.
= e7−e0 = e7−1 Fall t<0
∫−70t−te−t dt = ↓ Mit t kürzen.
= ∫−70−e−t dt ↓ = [e−t]−70 ↓ In die Klammer wird für t der obere Wert (0) eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert (-7) gerechnet.
= e0−e−(−7) = 1−e7 Gesamtfläche berechnen
A = (e7−1)+(1−e7) = e7−1+1−e7 = 0 Hast du eine Frage oder Feedback?
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Stelle f(x) integralfrei dar.
f(x)=∫0xt dt
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Integriere
f(x) = ∫0xt dt ↓ = ∫0xt21 dt ↓ = [32t23]0x ↓ In die Klammer wird für t der obere Wert (x) eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert (0) gerechnet.
= (32x23)−(32023) = (32x23) Hast du eine Frage oder Feedback?
f(x)=x⋅lnx+∫2xlnt dt
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Integriere
f(x) = x⋅lnx+∫2xlnt dt ↓ = x⋅lnx+[t⋅lnt−t]2x ↓ In die Klammer wird für t der obere Wert (x) eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert (2) gerechnet.
= x⋅lnx+(x⋅lnx−x)−(2⋅ln2−2) ↓ Klammern auflösen.
= x⋅lnx+x⋅lnx−x−2⋅ln2+2 = 2x⋅lnx−x−2⋅ln2+2 Hast du eine Frage oder Feedback?
f(x)=lnx−∫1xt1 dt
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Integriere
f(x) = lnx−∫1xt1 dt ↓ = lnx−[lnt]1x ↓ In die Klammer wird für t der obere Wert (x) eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert (1) gerechnet.
= lnx−(lnx−ln1) ↓ ln1=0
= lnx−lnx = 0 Hast du eine Frage oder Feedback?
f(x)=∫1xtlnt dt+∫x3tlnt dt
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Integriere
f(x)=∫1xtlnt dt+∫x3tlnt dt
=∫13tlnt dt
Es muss partiell Integriert werden.t wird als u′ gewählt, da es sich einfacher integrieren lässt.
u=21t2
u′=t
v=lnt
v′=t1
f(x) = [21t2⋅lnt]13−∫13(21t2⋅t1) dt ↓ Im Integral kürzt sich ein t.
= [21t2⋅lnt]13−∫13(21t) dt ↓ Integrieren.
= [21t2⋅lnt]13−[41t2]13 ↓ In die Klammer wird für t der obere Wert (3) eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert (1) gerechnet.
= 21⋅32⋅ln3−21⋅12⋅ln1−41⋅32+41⋅12 ↓ Ausmultiplizieren.
= 29⋅ln3−21⋅ln1−49+41 = 29⋅ln3−21⋅ln1−2 ≈ 2,944 Hast du eine Frage oder Feedback?
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Löse die Aufgabe (nach einer Abituraufgabe von 2012)
Begründe, dass jede Integralfunktion mindestens eine Nullstelle hat.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: integrale
Für Integrale gilt: ∫aaf(x)dx=0.
Daher hat jede Integralfunktion F(x)=∫axf(x)dx die Nullstelle x=a und damit mindestens eine Nullstelle.
Hast du eine Frage oder Feedback?
Gib einen Term für eine Funktion f an, sodass die Integralfunktion
F:x↦∫1xf(t)dt unendlich viele Nullstellen hat.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: integrale
Lösung 1: Für unendlich viele Nullstellen muss die Fläche unter dem Funktionsgraphen immer wechselnd unter und über der x-Achse liegen. Für eine solche Funktion bietet sich der sin(x) an. Aufgrund der Periodizität des Sinus ist dann für alle 2πk,k=1;2;3;… die Integralfunktion null.
Lösung 2: Eine einfache Lösung gibt es für f=0. Dann folgt nämlich, dass die Integralfunktion F ebenfalls konstant gleich Null ist. Insbesondere hat F in diesem Fall unendlich viele Nullstellen.
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Die Funktion v(t)=−15t2+90t gibt zu jedem Zeitpunkt die momentane Geschwindigkeit eines Autos in hkm während einer sechsstündigen Autofahrt an.
Welche durchschnittliche Geschwindigkeit hatte das Auto bei seiner Fahrt?
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Mittelwertberechnung mithilfe eines Integrals
Es ist v=6−01∫06v(t)dt=61∫06(−15t2+90t)dt.
v = 61∫06(−15t2+90t)dt ↓ Bilde die Stammfunktion.
= 61[−315t3+45t2]06 ↓ In die Klammer wird für
t der obere Wert 6 eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert 0 gerechnet.
= 61((−315⋅63+45⋅62)−0) ↓ Berechne die Klammer.
= 61(−1080+1620) ↓ Fasse zusammen.
= 6540 ↓ Kürze.
= 90 Die durchschnittliche Geschwindigkeit des Autos bei seiner Fahrt beträgt 90hkm.
Die Autofahrt dauert 6 Stunden.
Berechne das Integral: v=6−01∫06v(t)dt.
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Gegeben ist die Funktion f(x)=−2x2+4x.
Berechne die Sekantensteigung im Intervall [0;1].
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ableitung von Funktionen
Es ist f(x)=−2x2+4x.
Sekantensteigung allgemein:
mS=b−af(b)−f(a)
Hier folgt:
mS=1−0f(1)−f(0)=12−0=2
Hast du eine Frage oder Feedback?
Berechne mS=b−af(b)−f(a).
Berechne mithilfe der Integralrechnung die mittlere Steigung im Intervall [0;1].
Vergleiche mit dem Ergebnis aus Aufgabe a).
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Mittelwertberechnung mithilfe eines Integrals
Es ist f(x)=−2x2+4x⇒f′(x)=−4x+4 und das Intervall ist [0;1].
Dann gilt: f′=1−01∫01(−4x+4)dx
f′ = ∫01(−4x+4)dx ↓ Bilde die Stammfunktion.
= [−2⋅x2+4⋅x]01 ↓ In die Klammer wird für x der obere Wert 1 eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert 0 gerechnet.
= (−2⋅12+4⋅1)−0 ↓ Fasse zusammen.
= 2 Die mittlere Steigung im Intervall [0;1] beträgt 2.
Vergleiche mit dem Ergebnis aus Aufgabe a).
In beiden Fällen erhält man das gleiche Ergebnis.
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Berechne die Ableitung f′ von f.
Berechne dann f′=b−a1∫abf′(x)dx.
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Nachdem ein Heißluftballon zur Zeit t=0 seine Reisehöhe erreicht hat, wird seine Flughöhe durch die Funktion h(t)=−0,03t3+0,4t2+300 beschrieben (h in Metern und t in Stunden).
Welche durchschnittliche Reisehöhe hatte der Ballon zwischen der 2. und 10. Stunde?
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Mittelwertberechnung mithilfe eines Integrals
Es ist:
h=10−21∫210h(t)dt=81∫210(−0,03t3+0,4t2+300)dt
h = 81∫210(−0,03t3+0,4t2+300)dt ↓ Bilde die Stammfunktion.
= 81[−40,03t4+30,4t3+300t]210 ↓ In die Klammer wird für t der obere Wert 10 eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert 2 gerechnet.
= 81((−40,03⋅104+30,4⋅103+300⋅10)−(−40,03⋅24+30,4⋅23+300⋅2))) = 81(3058,33333−600,94667) ≈ 307,17 Der Ballon hatte zwischen der 2. und 10. Stunde eine durchschnittliche Reisehöhe von rund 307 Metern.
Berechne h=b−a1∫abh(t)dt für das Intervall [2;10].
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Eine Wetterstation misst die Lufttemperatur. Der Temperaturverlauf während eines Tages wird näherungsweise durch die Funktion t(x)=−0,01x3+0,25x2+6 beschrieben (x ist die Uhrzeit in Stunden und t(x) die Temperatur in ∘ C).
Wie groß ist die mittlere Tagestemperatur?
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Mittelwertberechnung mithilfe eines Integrals
Es gilt:
t=24−01∫024t(x)dx=241∫024(−0,01x3+0,25x2+6)dx
t = 241∫024(−0,01x3+0,25x2+6)dx ↓ Berechne die Stammfunktion.
= 241[−40,01x4+121x3+6x]024 ↓ In die Klammer wird für x der obere Wert 24 eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert 0 gerechnet.
= 241((−40,01⋅244+121⋅243+6⋅24)−0) ↓ Vereinfache.
= 241⋅466,56 = 19,44 Die mittlere Tagestemperatur beträgt 19,44 ∘C
Berechne t=24−01∫024t(x)dx
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