Berechne
∫0xtdt
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Integration
∫0xtdt = [21t2]0x ↓ In die Klammer wird für t der obere Wert (x) eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert (0) gerechnet.
= 21x2−2102 = 21x2 Hast du eine Frage oder Feedback?
∫1xtdt
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Integration
∫1xtdt = [21t2]1x ↓ In die Klammer wird für t der obere Wert (x) eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert (1) gerechnet.
= 21x2−21⋅1 = 21x2−21 Hast du eine Frage oder Feedback?
∫0x(t2−t−1)dt
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Integration
∫0x(t2−t−1)dt = [31t3−21t2−t]0x ↓ In die Klammer wird für t der obere Wert (x) eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert (0) gerechnet.
= (31x3−21x2−x)−(3103−2102−0) = 31x3−21x2−x Hast du eine Frage oder Feedback?
∫0xsint dt
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Integration
∫0xsint dt = [−cost]0x ↓ In die Klammer wird für t der obere Wert (x) eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert (0) gerechnet.
= (−cosx)−(−cos0) ↓ cos0=1
= −cosx+1 Hast du eine Frage oder Feedback?
∫1054xt2 dt
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Integration
∫1054xt2 dt = [31t3]1054x ↓ In die Klammer wird für t der rechte Wert (x) eingesetzt und minus die Klammer mit dem linken Wert (1054) gerechnet.
= (31⋅x3)−(31⋅10543) = 31⋅x3−310543 = 31⋅x3−31.170.905.464 Hast du eine Frage oder Feedback?
∫12x1+x dx
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Integration
Zerlege zuerst den Bruch in 2 Brüche.
∫12x1+x dx = ∫12(x1+xx) dx ↓ Bruch mit x kürzen.
= ∫12(x1+1) dx ↓ Integrieren. Die Stammfunktion von x1 ist lnx.
= [lnx+x]12 ↓ In die Klammer wird für x der obere Wert 2 eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert 1 gerechnet.
= (ln2+2)−(ln1+1) ↓ ln1=0
= ln2+2−1 = ln2+1 ≈ 1,6931 Hast du eine Frage oder Feedback?
∫1e2xx2+2x+3 dx
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Integration
Zerlege den Bruch in drei Brüche.
∫1e2xx2+2x+3 dx = ∫1e(2xx2+2x2x+2x3) dx = ∫1e(21x+1+23⋅x1) dx ↓ Integriere. Die Stammfunktion von x1 ist lnx.
= [2⋅21x2+x+23lnx]1e ↓ In die Klammer wird für x der obere Wert (e) eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert 1 gerechnet.
= (41e2+e+23lne)−(4112+1+23ln1) ↓ Löse die Klammern auf. Dabei ist lne=1 und ln1=0.
= 4e2+e+23−41−1 ↓ Gleiche Elemente zusammenfassen.
= 4e2+e+41 ≈ 4,8155 Hast du eine Frage oder Feedback?
∫−2+2v2 dv
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Integration
∫−2+2v2 dv = [31⋅v3]−2+2 ↓ In die Klammer wird für v der obere Wert (+2) eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert (-2) gerechnet.
= (31⋅23)−(31⋅(−2)3) ↓ Klammern auflösen und Potenzen ausmultiplizieren.
= 38+38 ↓ = 316 Hast du eine Frage oder Feedback?
∫23t2 dt
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Integration
∫23t2 dt = [31t3]23 ↓ In die Klammer wird für t der obere Wert (3) eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert (2) gerechnet.
= (31⋅33)−(31⋅23) ↓ Klammern auflösen.
= 327−38 ↓ = 319 Hast du eine Frage oder Feedback?
∫23x2 dx
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Integration
∫23x2 dx = [31x3]23 ↓ In die Klammer wird für x der obere Wert (3) eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert (2) gerechnet.
= (31⋅33)−(31⋅23) ↓ Klammern auflösen.
= 327−38 ↓ = 319 Hast du eine Frage oder Feedback?
∫01(x−x2) dx
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Integration
∫01(x−x2) dx = [21x2−31x3]01 ↓ In die Klammer wird für x der obere Wert (1) eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert (0) gerechnet.
= (21⋅12−31⋅13)−(21⋅02−31⋅03) ↓ Klammern auflösen, die zweite Klammer fällt weg.
= 21−31 ↓ = 63−62 = 61 Hast du eine Frage oder Feedback?
∫02x dx
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Integration
∫02x dx = [2x2]02 ↓ In die Klammer wird für x der obere Wert (2) eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert (0) gerechnet.
= 222−202 = 24−0 = 2 Hast du eine Frage oder Feedback?
∫13x dx
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Integration
∫13x dx = [2x2]13 ↓ In die Klammer wird für x der obere Wert (3) eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert (1) gerechnet.
= 232−212 ↓ Zähler berechnen.
= 29−21 = 28 = 4 Hast du eine Frage oder Feedback?
∫−20(−x) dx
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Integration
∫−20(−x) dx = [−2x2]−20 ↓ In die Klammer wird für x der obere Wert (0) eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert (-2) gerechnet.
= (−202)−(−2(−2)2) = 24 = 2 Hast du eine Frage oder Feedback?
∫01(x2+x) dx
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Integration
∫01(x2+x) dx = [3x3+2x2]01 ↓ In die Klammer wird für x der obere Wert (1) eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert (0) gerechnet.
= (313+212)−(303+202) = 31+21 ↓ Hauptnenner (6) bilden und auf diesen erweitern.
= 62+63 = 65 Hast du eine Frage oder Feedback?
∫12x2 dx
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Integration
∫12x2 dx = [31x3]12 ↓ In die Klammer wird für x der obere Wert (2) eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert (1) gerechnet.
= 31⋅23−31⋅13 = 38−31 = 37 Hast du eine Frage oder Feedback?
∫−2−1x2 dx
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Integration
∫−2−1x2 dx = [31x3]−2−1 ↓ In die Klammer wird für x der obere Wert (-1) eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert (-2) gerechnet.
= 31⋅(−1)3−31⋅(−2)3 ↓ Potenzen berechen.
= −31+38 = 37 Hast du eine Frage oder Feedback?
∫−22x2 dx
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Integration
∫−22x2 dx = [31x3]−22 ↓ In die Klammer wird für x der obere Wert (2) eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert (-2) gerechnet.
= 31⋅23−31⋅(−2)3 ↓ Potenzen berechen.
= 38+38 = 316 Hast du eine Frage oder Feedback?
∫02πsinx dx
∫02πcosx dx
∫73220001 dx
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Integration
∫73220001dx = [x]7322000 ↓ In die Klammer wird für x der obere Wert (2000) eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert (732) gerechnet.
= 2000−732 = 1268 Hast du eine Frage oder Feedback?
∫12(x2+x) dx
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Integration
∫12(x2+x) dx = [31x3+21x2]12 ↓ In die Klammer wird für x der obere Wert (2) eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert (1) gerechnet.
= (31⋅23+21⋅22)−(31⋅13+21⋅12) = 38+24−(31+21) ↓ Hauptnenner bilden.
= 38+36−(62+63) = 314−65 ↓ Hauptnenner bilden.
= 628−65 = 623 Hast du eine Frage oder Feedback?
∫02(x2+x) dx
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Integration
∫02(x2+x) dx = [31x3+21x2]02 ↓ In die Klammer wird für x der obere Wert (2) eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert (0) gerechnet
= (31⋅23+21⋅22)−(31⋅03+21⋅02) = 38+24 ↓ Hauptnenner bilden.
= 616+612 = 628 = 314 Hast du eine Frage oder Feedback?
∫−11(5x4−3x2−7) dx
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Integration
∫−11(5x4−3x2−7) dx = [x5−x3−7x]−11 = [15−13−7⋅1−((−1)5−(−1)3−7⋅(−1))] = 1−1−7−(−1−(−1)+7) = −7−(−1+1+7) = −7−7 = −14 Alternative Lösung
f(x) ist achsensymmetrisch zur y-Achse, da f(x)=f(−x):
f(−x)=5⋅(−x)4−3(−x)2−7=5x4−3x2−7=f(x) , weil der Exponent eine gerade Zahl ist
⇒ Das Integral lässt sich in zwei gleich große Teile aufteilen, zwischen -1 und 0 und zwischen 0 und 1
∫−11(5x4−3x2−7) dx = 2⋅∫01(5x4−3x2−7) dx = 2⋅[x5−x3−7x]01 ↓ 0 und 1 einsetzen
= 2⋅[15−13−7⋅1−(05−03−7⋅0)] = 2⋅(1−1−7−0) = 2⋅(−7) = −14 Hast du eine Frage oder Feedback?