Aufgaben zu Integralen

1

(nach einer Abituraufgabe von 2012)

a) Begründe, dass jede Integralfunktion mindestens eine Nullstelle hat.

b) Gib einen Term für eine Funktion ff an, sodass die Integralfunktion F:x1xf(t)dt\displaystyle F: x \mapsto \int_{1}^x f(t)\operatorname{d}t unendlich viele Nullstellen hat.

2

Begründe, warum es kein kR+\mathrm k\in \mathbb{R}^+ gibt, das folgende Gleichung erfüllt:

0k(x2+1) dx=1\displaystyle\int_0^\mathrm k (x^2+1)\ \mathrm{d}x=-1

3

Berechne die Fläche zwischen der x-Achse und GfG_f im Bereich von x=ax= a bis x=bx= b.

  1. f(x)=x3f(x)=x^3                       a=0a=0                    b=1b=1

  2. f(x)=x3f(x)=x^3                       a=1a=1                   b=2b=2

  3. f(x)=x2+xf(x)=-x^2+x            a=1a=-1                b=0b=0

4

Berechne

  1. 0xtdt\int_0^xt\mathrm{d}t

  2. 1xtdt\int_1^xt\mathrm{d}t

  3. 0x(t2t1)dt\int_0^x(t^2-t-1)\mathrm{d}t

  4. 0xsint dt\int_0^x\sin t\ \mathrm{d}t

  5. 1054xt2 dt\int_{1054}^xt^2\ \mathrm{d}t

  6. 121+xx dx\int_1^2\frac{1+x}x\ \mathrm{d}x

  7. 1ex2+2x+32x dx\int_1^e\frac{x^2+2x+3}{2x}\ \mathrm{d}x

  8. 2+2v2 dv\int_{-2}^{+2}v^2\ \mathrm{d}v

  9. 23t2 dt\int_2^3t^2\ \mathrm{d}t

  10. 23x2 dx\int_2^3x^2\ \mathrm{d}x

  11. 01(xx2) dx\int_0^1(x-x^2)\ \mathrm{d}x

  12. 02x dx\int_0^2x\ \mathrm{d}x

  13. 13x dx\int_1^3x\ \mathrm{d}x

  14. 20(x) dx\int_{-2}^0\left(-x\right)\ \mathrm{d}x

  15. 01(x2+x) dx\int_0^1\left(x^2+x\right)\ \mathrm{d}x

  16. 12x2 dx\int_1^2x^2\ \mathrm{d}x

  17. 21x2 dx\int_{-2}^{-1}x^2\ \mathrm{d}x

  18. 22x2 dx\int_{-2}^2x^2\ \mathrm{d}x

  19. 0π2sinx dx\int_0^\frac{\pi}2\sin x\ \mathrm{d}x

  20. 0π2cosx dx\int_0^\frac{\pi}2\cos x\ \mathrm{d}x

  21. 73220001 dx\int_{732}^{2000}1\ \mathrm{d}x

  22. 12(x2+x) dx\int_1^2(x^2+x)\ \mathrm{d}x

  23. 02(x2+x) dx\int_0^2(x^2+x)\ \mathrm{d}x

  24. 11(5x43x27) dx\int_{-1}^1\left(5x^4-3x^2-7\right)\ \mathrm{d}x

5

Was kann man über die ff sagen, wenn man weiß:

  1. 01f(x)dx=0\int_0^1f(x)\mathrm{d}x=0

  2. 01f(x)dx>0\int_0^1f(x)\mathrm{d}x>0

  3. 01f(x)dx<0\int_0^1f(x)\mathrm{d}x<0

  4. 10f(x)dx>0\int_1^0f(x)\mathrm{d}x>0

6

Berechne die Integrale: a(x)=6124x2 ; Da=Ra(x)=6-\frac{1}{24}x^2\ ;\ D_a=\mathbb{R}

  1. 012a(x)dx\int_0^{12}a(x)\mathrm{d}x

  2. 1212a(x)dx\int_{-12}^{12}a(x)\mathrm{d}x

  3. 0123a(x)dx\int_0^{12\sqrt3}a(x)\mathrm{d}x

7

Berechne.

  1. 11ex dx\int_{-1}^1e^{\left|x\right|}\ \mathrm{d}x

  2. 20ex dx\int_{-2}^0e^{-\left|x\right|}\ \mathrm{d}x

  3. 20ex+1 dx\int_{-2}^0e^{\left|x+1\right|}\ \mathrm{d}x

  4. 77ttet dt\int_{-7}^7\frac{\left|t\right|}te^{\left|t\right|}\ \mathrm{d}t

8

Stelle f(x)f(x) integralfrei dar.

  1. f(x)=0xt dtf(x)=\int_0^x\sqrt t\ \mathrm{d}t

  2. f(x)=xlnx+2xlnt   dtf(x)=x\cdot\ln x+\int_2^x\ln t\;\ \mathrm{d}t

  3. f(x)=lnx1x1t dtf(x)=\ln x-\int_1^x\frac1t\ \mathrm{d}t

  4. f(x)=1xt  lnt dt+x3t  lnt dtf(x)=\int_1^xt\;\ln t\ \mathrm{d}t+\int_x^3t\;\ln t\ \mathrm{d}t

9

Löse die Aufgabe (nach einer Abituraufgabe von 2012)

  1. Begründe, dass jede Integralfunktion mindestens eine Nullstelle hat.

  2. Gib einen Term für eine Funktion ff an, sodass die Integralfunktion

    F:x1xf(t)dt\displaystyle F: x \mapsto \int_{1}^x f(t)\operatorname{d}t unendlich viele Nullstellen hat.


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