Aufgaben

(nach einer Abituraufgabe von 2012)

a) Begründe, dass jede Integralfunktion mindestens eine Nullstelle hat.

b) Gib einen Term für eine Funktion %%f%% an, sodass die Integralfunktion %%\displaystyle F: x \mapsto \int_{1}^x f(t)\operatorname{d}t%% unendlich viele Nullstellen hat.

Teilaufgabe a)

Für Integrale gilt: %%\displaystyle \int_a^a f(x)\operatorname{d}x =0%%.

Daher hat jede Integralfunktion %%\displaystyle F(x)=\int_a^x f(x)\operatorname{d}x%% die Nullstelle %%x=a%% und damit mindestens eine Nullstelle.

Teilaufgabe b)

Lösung 1: Für unendlich viele Nullstellen muss die Fläche unter dem Funktionsgraphen immer wechselnd unter und über der x-Achse liegen. Für eine solche Funktion bietet sich der %%\sin(x)%% an. Aufgrund der Periodizität des Sinus ist dann für alle %%2\pi k,\, k=1;2;3;\ldots%% die Integralfunktion null.

Lösung 2: Eine einfache Lösung gibt es für %%f=0%%. Dann folgt nämlich, dass die Integralfunktion %%F%% ebenfalls konstant gleich Null ist. Insbesondere hat %%F%% in diesem Fall unendlich viele Nullstellen.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Integral

Damit das Integral in einem beliebigen Abschnitt negativ wird, muss die Funktion in diesem Bereich einen größeren Flächeninhalt unterhalb der x-Achse haben als oberhalb.
Da x2+1x^2+1 eine nach oben geöffnete Parabel ist, die sich vollständig oberhalb der x-Achse befindet, gibt es keinen solchen Bereich.
Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/2319_sFr8fNrGPB.xm

Berechne die Fläche zwischen der x-Achse und %%G_f%% im Bereich von %%x= a%% bis %%x= b%%.

%%f(x)=x^3%%                       %%a=0%%                    %%b=1%%

Flächenberechnung

Im Bereich x=0x=0 bis x=1x=1 hat die Funktion f(x)=x3f(x)=x^3 keine Nullstellen, so dass es reicht, das Integral in den angegebenen Grenzen zu berechnen.
f(x)=x3f(x)=x^3 , a=0a=0 , b=1b=1
Integral aufstellen.
01x3dx=[x44]01\int_0^1x^3\mathrm{d}x=\left[\frac{x^4}4\right]_0^1
In die Klammer wird für xx der obere Wert (1) eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert (0) gerechnet.
=(144)(044)=\left(\frac{1^4}4\right)-\left(\frac{0^4}4\right)
Zähler berechnen.
=14=\frac14
Die Fläche zwischen der xx-Achse und GfG_f beträgt A=14  FEA=\dfrac{1}{4}\; \text{FE}.

%%f(x)=x^3%%                       %%a=1%%                   %%b=2%%

Flächenberechnung

%%f(x)=x^3%% , %%a=1%% , %%b=2%%

Integral aufstellen.

%%\int_1^2 x^3\mathrm{d}x=%%

%%=\left[\frac14x^4\right]_1^2%%

In die Klammer wird für %%x%% der obere Wert (2) eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert (1) gerechnet.

%%=\frac142^4-\frac141^4%%

Potenzen berechen.

%%=\frac{16}4-\frac14%%

%%=\frac{15}4=3,75%%

%%f(x)=-x^2+x%%            %%a=-1%%                %%b=0%%

Flächenberechnung

%%f(x)=-x^2+x%% , %%a=-1%% , %%b=0%%

Integral aufstellen.

%%\int_{-1}^0-x^2+x\ \mathrm{d}x=%%

%%=\left[-\frac13x^3+\frac12x^2\right]_{-1}^0%%

In die Klammer wird für %%x%% der obere Wert (0) eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert (-1) gerechnet.

%%=\left(-\frac13\cdot0^3+\frac12\cdot0^2\right)-\left(-\frac13\cdot\left(-1\right)^3+\frac12\cdot\left(-1\right)^2\right)%%

Erste Klammer fällt weg, zweite Klammer auflösen.

%%=-\frac13-\frac12%%

%%=-\frac26-\frac36=-\frac{5}{6}%%

Berechne
1xtdt\int_1^xt\mathrm{d}t

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Integration

1xtdt\int_1^xt\mathrm{d}t==[12t2]1x\left[\frac{1}{2}t^2\right]_1^x
In die Klammer wird für tt der obere Wert (x)(x) eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert (1) gerechnet.
==12x2121\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{2}\cdot1
==12x212\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{2}
0x(t2t1)dt\int_0^x(t^2-t-1)\mathrm{d}t

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Integration

0x(t2t1)dt\int_0^x(t^2-t-1)\mathrm{d}t==[13t312t2t]0x\left[\frac{1}{3}t^3-\frac{1}{2}t^2-t\right]_0^x
In die Klammer wird für tt der obere Wert (x)(x) eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert (0) gerechnet.
==(13x312x2x)(130312020)\left(\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{2}x^2-x\right)-\left(\frac{1}{3}0^3-\frac{1}{2}0^2-0\right)
==13x312x2x\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{2}x^2-x
0xsint dt\int_0^x\sin t\ \mathrm{d}t

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Integration

0xsint dt\int_0^x\sin t\ \mathrm{d}t==[cost]0x[-\cos t]_0^x
In die Klammer wird für tt der obere Wert (x)(x) eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert (0) gerechnet.
==(cosx)(cos0)\left(-\cos x\right)-\left(-\cos0\right)
cos0=1\cos 0 =1
==cosx+1-\cos x+1
1054xt2 dt\int_{1054}^xt^2\ \mathrm{d}t

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Integration

1054xt2 dt\int_{1054}^xt^2\ \mathrm{d}t==[13t3]1054x\left[\frac{1}{3}t^3\right]_{1054}^x
In die Klammer wird für tt der rechte Wert (x)(x) eingesetzt und minus die Klammer mit dem linken Wert (1054) gerechnet.
==(13x3)(1310543)\left(\frac{1}{3}\cdot x^3\right)-\left(\frac{1}{3}\cdot1054^3\right)
==13x3105433\frac{1}{3}\cdot x^3-\frac{1054^3}{3}
==13x31.170.905.4643\frac{1}{3}\cdot x^3-\frac{1.170.905.464}{3}
121+xx dx\int_1^2\frac{1+x}x\ \mathrm{d}x

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Integration

Zerlege zuerst den Bruch in 2 Brüche.
121+xx dx\int_1^2\frac{1+x}{x}\ \mathrm{d}x==12(1x+xx) dx\int_1^2\left(\frac{1}{x}+\frac{x}{x}\right)\ \mathrm{d}x
Bruch mit xx kürzen.
==12(1x+1) dx\int_1^2\left(\frac{1}{x}+1\right)\ \mathrm{d}x
Integrieren. Die Stammfunktion von 1x\frac1x ist lnx\ln x.
==[lnx+x]12\left[\ln x+x\right]_1^2
In die Klammer wird für xx der obere Wert 2 eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert 1 gerechnet.
==(ln2+2)(ln1+1)\left(\ln2+2\right)-\left(\ln1+1\right)
ln1=0\ln1=0
==ln2+21\ln2+2-1
==ln2+1\ln2+1
1,69311,6931
1ex2+2x+32x dx\int_1^e\frac{x^2+2x+3}{2x}\ \mathrm{d}x

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Integration

Zerlege den Bruch in drei Brüche.
1ex2+2x+32x dx\int_1^e\frac{x^2+2x+3}{2x}\ \mathrm{d}x==1e(x22x+2x2x+32x) dx\int_1^e\left(\frac{x^2}{2x}+\frac{2x}{2x}+\frac{3}{2x}\right)\ \mathrm{d}x
==1e(12x+1+321x) dx\int_1^e\left(\frac{1}{2}x+1+\frac{3}{2}\cdot\frac{1}{x}\right)\ \mathrm{d}x
Integrieren . Die Stammfunktion von 1x\frac1x ist lnx\ln x.
==[122x2+x+32lnx]1e\left[\frac{1}{2\cdot2}x^2+x+\frac{3}{2}\ln x\right]_1^e
In die Klammer wird für xx der obere Wert (e)(e) eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert 1 gerechnet.
==(14e2+e+32lne)(1412+1+32ln1)\left(\frac{1}{4}e^2+e+\frac{3}{2}\ln e\right)-\left(\frac{1}{4}1^2+1+\frac{3}{2}\ln1\right)
Klammern auflösen, lne=1\ln e=1, ln1=0\ln1=0.
==e24+e+32141\frac{e^2}{4}+e+\frac{3}{2}-\frac{1}{4}-1
Gleiche Elemente zusammenfassen.
==e24+e+14\frac{e^2}{4}+e+\frac{1}{4}
4,81554,8155
2+2v2 dv\int_{-2}^{+2}v^2\ \mathrm{d}v

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Integration

2+2v2 dv\int_{-2}^{+2}v^2\ \mathrm{d}v==[13v3]2+2\left[\frac{1}{3}\cdot v^3\right]_{-2}^{+2}
In die Klammer wird für vv der obere Wert (+2) eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert (-2) gerechnet.
==(1323)(13(2)3)\left(\frac{1}{3}\cdot2^3\right)-\left(\frac{1}{3}\cdot\left(-2\right)^3\right)
Klammern auflösen und Potenzen ausmultiplizieren.
==83+83\frac{8}{3}+\frac{8}{3}
==163\frac{16}{3}
23t2 dt\int_2^3t^2\ \mathrm{d}t

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Integration

23t2 dt\int_2^3t^2\ \mathrm{d}t==[13t3]23\left[\frac{1}{3}t^3\right]_2^3
In die Klammer wird für tt der obere Wert (3) eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert (2) gerechnet.
==(1333)(1323)\left(\frac{1}{3}\cdot3^3\right)-\left(\frac{1}{3}\cdot2^3\right)
Klammern auflösen.
==27383\frac{27}{3}-\frac{8}{3}
==193\frac{19}{3}
23x2 dx\int_2^3x^2\ \mathrm{d}x

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Integration

23x2 dx\int_2^3x^2\ \mathrm{d}x==[13x3]23\left[\frac{1}{3}x^3\right]_2^3
In die Klammer wird für xx der obere Wert (3) eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert (2) gerechnet.
==(1333)(1323)\left(\frac{1}{3}\cdot3^3\right)-\left(\frac{1}{3}\cdot2^3\right)
Klammern auflösen.
==27383\frac{27}{3}-\frac{8}{3}
==193\frac{19}{3}
01(xx2) dx\int_0^1(x-x^2)\ \mathrm{d}x

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Integration

01(xx2) dx\int_0^1(x-x^2)\ \mathrm{d}x==[12x213x3]01\left[\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{3}x^3\right]_0^1
In die Klammer wird für xx der obere Wert (1) eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert (0) gerechnet.
==(12121313)(12021303)\left(\frac{1}{2}\cdot1^2-\frac{1}{3}\cdot1^3\right)-\left(\frac{1}{2}\cdot0^2-\frac{1}{3}\cdot0^3\right)
Klammern auflösen, die zweite Klammer fällt weg.
==1213\frac{1}{2}-\frac{1}{3}
==3626\frac{3}{6}-\frac{2}{6}
==16\frac{1}{6}
02x dx\int_0^2x\ \mathrm{d}x

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Integration

02x dx\int_0^2x\ \mathrm{d}x==[x22]02\left[\frac{x^2}{2}\right]_0^2
In die Klammer wird für xx der obere Wert (2) eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert (0) gerechnet.
==222022\frac{2^2}{2}-\frac{0^2}{2}
==420\frac{4}{2}-0
==22
13x dx\int_1^3x\ \mathrm{d}x

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Integration

13x dx\int_1^3x\ \mathrm{d}x==[x22]13\left[\frac{x^2}{2}\right]_1^3
In die Klammer wird für xx der obere Wert (3) eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert (1) gerechnet.
==322122\frac{3^2}{2}-\frac{1^2}{2}
Zähler berechnen.
==9212\frac{9}{2}-\frac{1}{2}
==82\frac{8}{2}
==44
20(x) dx\int_{-2}^0\left(-x\right)\ \mathrm{d}x

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Integration

20(x) dx\int_{-2}^0\left(-x\right)\ \mathrm{d}x==[x22]20\left[-\frac{x^2}{2}\right]_{-2}^0
In die Klammer wird für xx der obere Wert (0) eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert (-2) gerechnet.
==(022)((2)22)\left(-\frac{0^2}{2}\right)-\left(-\frac{(-2)^2}{2}\right)
==42\frac{4}{2}
==22
01(x2+x) dx\int_0^1\left(x^2+x\right)\ \mathrm{d}x

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Integration

01(x2+x) dx\int_0^1\left(x^2+x\right)\ \mathrm{d}x==[x33+x22]01\left[\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}\right]_0^1
In die Klammer wird für xx der obere Wert (1) eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert (0) gerechnet.
==(133+122)(033+022)\left(\frac{1^3}{3}+\frac{1^2}{2}\right)-\left(\frac{0^3}{3}+\frac{0^2}{2}\right)
==13+12\frac{1}{3}+\frac{1}{2}
Hauptnenner (6) bilden und auf diesen erweitern.
==26+36\frac{2}{6}+\frac{3}{6}
==56\frac{5}{6}
12x2 dx\int_1^2x^2\ \mathrm{d}x

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Integration

12x2 dx\int_1^2x^2\ \mathrm{d}x==[13x3]12\left[\frac{1}{3}x^3\right]_1^2
In die Klammer wird für xx der obere Wert (2) eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert (1) gerechnet.
==13231313\frac{1}{3}\cdot2^3-\frac{1}{3}\cdot1^3
==8313\frac{8}{3}-\frac{1}{3}
==73\frac{7}{3}
21x2 dx\int_{-2}^{-1}x^2\ \mathrm{d}x

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Integration

21x2 dx\int_{-2}^{-1}x^2\ \mathrm{d}x==[13x3]21\left[\frac{1}{3}x^3\right]_{-2}^{-1}
In die Klammer wird für xx der obere Wert (-1) eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert (-2) gerechnet.
==13(1)313(2)3\frac{1}{3}\cdot\left(-1\right)^3-\frac{1}{3}\cdot\left(-2\right)^3
Potenzen berechen.
==13+83-\frac{1}{3}+\frac{8}{3}
==73\frac{7}{3}
22x2 dx\int_{-2}^2x^2\ \mathrm{d}x

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Integration

22x2 dx\int_{-2}^2x^2\ \mathrm{d}x==[13x3]22\left[\frac{1}{3}x^3\right]_{-2}^2
In die Klammer wird für xx der obere Wert (2) eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert (-2) gerechnet.
==132313(2)3\frac{1}{3}\cdot2^3-\frac{1}{3}\cdot\left(-2\right)^3
Potenzen berechen.
==83+83\frac{8}{3}+\frac{8}{3}
==163\frac{16}{3}
0π2sinx dx\int_0^\frac{\pi}2\sin x\ \mathrm{d}x

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Integration

0π2sinx dx\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin x\ \mathrm{d}x==[cosx]0π2\left[-\cos x\right]_0^{\frac{\mathrm{\pi}}{2}}
In die Klammer wird für x der rechte Wert (π2)\left(\frac{\mathrm\pi}2\right) eingesetzt und minus die Klammer mit dem linken Wert (0) gerechnet.
==cosπ2+cos0-\cos\frac{\mathrm{\pi}}{2}+\cos0
Kosinus im Bogenmaß berechnen.
==0+10+1
==11
0π2cosx dx\int_0^\frac{\pi}2\cos x\ \mathrm{d}x

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Integration

0π2cosx dx\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos x\ \mathrm{d}x==[sinx]0π2\left[\sin x\right]_0^{\frac{\mathrm{\pi}}{2}}
In die Klammer wird für xx der obere Wert (π2)\left(\frac{\pi}{2}\right) eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert (0) gerechnet.
==sinπ2sin0\sin\frac{\mathrm{\pi}}{2}-\sin0
Kosinus im Bogenmaß berechnen.
==1+01+0
==11
73220001 dx\int_{732}^{2000}1\ \mathrm{d}x

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Integration

73220001dx\int_{732}^{2000}1\mathrm{dx}==[x]7322000\left[x\right]_{732}^{2000}
In die Klammer wird für xx der obere Wert (2000) eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert (732) gerechnet.
==20007322000-732
==12681268
12(x2+x) dx\int_1^2(x^2+x)\ \mathrm{d}x

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Integration

12(x2+x) dx\int_1^2(x^2+x)\ \mathrm{d}x==[13x3+12x2]12\left[\frac{1}{3}x^3+\frac{1}{2}x^2\right]_1^2
In die Klammer wird für xx der obere Wert (2) eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert (1) gerechnet.
==(1323+1222)(1313+1212)\left(\frac{1}{3}\cdot2^3+\frac{1}{2}\cdot2^2\right)-\left(\frac{1}{3}\cdot1^3+\frac{1}{2}\cdot1^2\right)
==83+42(13+12)\frac{8}{3}+\frac{4}{2}-\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{2}\right)
Hauptnenner bilden.
==83+63(26+36)\frac{8}{3}+\frac{6}{3}-\left(\frac{2}{6}+\frac{3}{6}\right)
==14356\frac{14}{3}-\frac{5}{6}
Hauptnenner bilden.
==28656\frac{28}{6}-\frac{5}{6}
==236\frac{23}{6}
02(x2+x) dx\int_0^2(x^2+x)\ \mathrm{d}x

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Integration

02(x2+x) dx\int_0^2(x^2+x)\ \mathrm{d}x==[13x3+12x2]02\left[\frac{1}{3}x^3+\frac{1}{2}x^2\right]_0^2
In die Klammer wird für xx der obere Wert (2) eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert (0) gerechnet
==(1323+1222)(1303+1202)\left(\frac{1}{3}\cdot2^3+\frac{1}{2}\cdot2^2\right)-\left(\frac{1}{3}\cdot0^3+\frac{1}{2}\cdot0^2\right)
==83+42\frac{8}{3}+\frac{4}{2}
Hauptnenner bilden.
==166+126\frac{16}{6}+\frac{12}{6}
==286\frac{28}{6}
==143\frac{14}{3}
11(5x43x27) dx\int_{-1}^1\left(5x^4-3x^2-7\right)\ \mathrm{d}x

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Integration

11(5x43x27) dx\int_{-1}^1\left(5x^4-3x^2-7\right)\ \mathrm{d}x==[x5x37x]11\left[x^5-x^3-7x\right]_{-1}^1
==[151371((1)5(1)37(1))]\left[1^5-1^3-7\cdot1-\left(\left(-1\right)^5-\left(-1\right)^3-7\cdot\left(-1\right)\right)\right]
==117(1(1)+7)1-1-7-\left(-1-\left(-1\right)+7\right)
==7(1+1+7)-7-\left(-1+1+7\right)
==77-7-7
==14-14

Alternative Lösung

f(x)f (x) ist achsensymmetrisch zur y-Achse, da f(x)=f(x)f(x)=f( -x):
f(x)=5(x)43(x)27=5x43x27=f(x)f(-x)=5\cdot\left(-x\right)^4-3\left(-x\right)^2-7=5x^4-3x^2-7=f(x) , weil der Exponent eine gerade Zahl ist

\Rightarrow Das Integral lässt sich in zwei gleich große Teile aufteilen, zwischen -1 und 0 und zwischen 0 und 1
11(5x43x27) dx\int_{-1}^1\left(5x^4-3x^2-7\right)\ \mathrm{d}x==201(5x43x27) dx2\cdot\int_0^1\left(5x^4-3x^2-7\right)\ \mathrm{d}x
==2[x5x37x]012\cdot\left[x^5-x^3-7x\right]_0^1
0 und 1 einsetzen
==2[151371(050370)]2\cdot\left[1^5-1^3-7\cdot1-\left(0^5-0^3-7\cdot0\right)\right]
==2(1170)2\cdot\left(1-1-7-0\right)
==2(7)2\cdot(-7)
==14-14

Was kann man über die %%f%% sagen, wenn man weiß:

%%\int_0^1f(x)\mathrm{d}x=0%%

%%\int_0^1f(x)\mathrm{d}x=0%%

Es gibt zwei Möglichkeiten:

  1. Die Funktion verläuft zwischen 0 und 1 auf der x-Achse.

  2. Die Flächen ober- und unterhalb der x-Achse sind im Bereich 0 bis 1 gleich groß und heben sich so auf.

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/2305_sHIjU5173N.xml

%%\int_1^0f(x)\mathrm{d}x>0%%

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Integralrechnung



10f(x)dx>0\int_1^0f(x)\mathrm{dx}>0
01f(x)dx>0-\int_0^1f(x)\mathrm{dx}>0
Dividiere durch (1)(-1).
01f(x)dx<0\int_0^1f(x)\mathrm{d}x<0

Mögliche Lösung: siehe Teilaufgabe c.

Berechne die Integrale: