Aufgaben zu Integralen
Hier findest du Übungsaufgaben zu den Integralen. Wiederhole wichtige Grundlagen und entdecke interessante Eigenschaften der Integrale!
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Begründe, warum es kein k∈R+ gibt, das folgende Gleichung erfüllt:
∫0k(x2+1) dx=−1
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Integral
Wir haben hier ein Integral, bei dem die obere Grenze größer als die untere ist. Damit dieses Integral in einem beliebigen Abschnitt negativ wird, muss die Funktion in diesem Bereich einen größeren Flächeninhalt unterhalb der x-Achse haben als oberhalb. Das kann nur geschehen, wenn es negative Funktionswerte gibt.
Da f(x)=x2+1 eine nach oben geöffnete Parabel ist, die sich vollständig oberhalb der x-Achse befindet, sind aber alle Funktionswerte positiv.
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Berechne die Fläche zwischen der x-Achse und Gf im Bereich von x=a bis x=b.
f(x)=x3 a=0 b=1
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächenberechnung
Im Bereich x=0 bis x=1 hat die Funktion f(x)=x3 keine Nullstellen, so dass es reicht, das Integral in den angegebenen Grenzen zu berechnen.
f(x)=x3 , a=0 , b=1
Integral aufstellen.
∫01x3dx=[4x4]01
In die Klammer wird für x der obere Wert (1) eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert (0) gerechnet.
=(414)−(404)
Zähler berechnen.
=41
Die Fläche zwischen der x-Achse und Gf beträgt A=41FE.
Hast du eine Frage oder Feedback?
f(x)=x3 a=1 b=2
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächenberechnung
Im Bereich x=1 bis x=2 ist die Funktion f(x)=x3 positiv und hat keine Nullstellen, so dass es reicht, das Integral in den angegebenen Grenzen zu berechnen.
f(x)=x3 , a=1 , b=2
Integral aufstellen.
∫12x3dx=[41x4]12
In die Klammer wird für x der obere Wert (2) eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert (1) gerechnet.
=4124−4114
Potenzen berechen.
=416−41
=415=3,75
Die Fläche zwischen der x-Achse und Gf beträgt A=3,75FE.
Hast du eine Frage oder Feedback?
f(x)=−x2+x a=−1 b=0
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächenberechnung
Im Bereich x=−1 bis x=0 hat die Funktion f(x)=−x2+x nur die Nullstelle x=0.
Für die linke Integralgrenze gilt: f(−1)=−2. Die gesuchte Fläche liegt somit unterhalb der x-Achse.
f(x)=−x2+x , a=−1 , b=0
Integral aufstellen und integrieren:
∫−10−x2+x dx=[−31x3+21x2]−10
In die Klammer wird für x der obere Wert (0) eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert (-1) gerechnet.
=(−31⋅03+21⋅02)−(−31⋅(−1)3+21⋅(−1)2)
Die erste Klammer ist gleich "0" diese bleibt und auch das Vorzeichen ( - ) vor der zweiten Klammer.
=0−(31+21)
Hauptnenner (6) bilden und beide Brüche auf diesen erweitern.
=0−(62+63)=−65
Die Fläche zwischen der x-Achse und Gf beträgt A=∣−65∣=65FE.
Hast du eine Frage oder Feedback?
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Berechne
∫0xtdt
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Integration
∫0xtdt = [21t2]0x ↓ In die Klammer wird für t der obere Wert (x) eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert (0) gerechnet.
= 21x2−2102 = 21x2 Hast du eine Frage oder Feedback?
∫1xtdt
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Integration
∫1xtdt = [21t2]1x ↓ In die Klammer wird für t der obere Wert (x) eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert (1) gerechnet.
= 21x2−21⋅1 = 21x2−21 Hast du eine Frage oder Feedback?
∫0x(t2−t−1)dt
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Integration
∫0x(t2−t−1)dt = [31t3−21t2−t]0x ↓ In die Klammer wird für t der obere Wert (x) eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert (0) gerechnet.
= (31x3−21x2−x)−(3103−2102−0) = 31x3−21x2−x Hast du eine Frage oder Feedback?
∫0xsint dt
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Integration
∫0xsint dt = [−cost]0x ↓ In die Klammer wird für t der obere Wert (x) eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert (0) gerechnet.
= (−cosx)−(−cos0) ↓ cos0=1
= −cosx+1 Hast du eine Frage oder Feedback?
∫1054xt2 dt
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Integration
∫1054xt2 dt = [31t3]1054x ↓ In die Klammer wird für t der rechte Wert (x) eingesetzt und minus die Klammer mit dem linken Wert (1054) gerechnet.
= (31⋅x3)−(31⋅10543) = 31⋅x3−310543 = 31⋅x3−31.170.905.464 Hast du eine Frage oder Feedback?
∫12x1+x dx
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Integration
Zerlege zuerst den Bruch in 2 Brüche.
∫12x1+x dx = ∫12(x1+xx) dx ↓ Bruch mit x kürzen.
= ∫12(x1+1) dx ↓ Integrieren. Die Stammfunktion von x1 ist lnx.
= [lnx+x]12 ↓ In die Klammer wird für x der obere Wert 2 eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert 1 gerechnet.
= (ln2+2)−(ln1+1) ↓ ln1=0
= ln2+2−1 = ln2+1 ≈ 1,6931 Hast du eine Frage oder Feedback?
∫1e2xx2+2x+3 dx
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Integration
Zerlege den Bruch in drei Brüche.
∫1e2xx2+2x+3 dx = ∫1e(2xx2+2x2x+2x3) dx = ∫1e(21x+1+23⋅x1) dx ↓ Integriere. Die Stammfunktion von x1 ist lnx.
= [2⋅21x2+x+23lnx]1e ↓ In die Klammer wird für x der obere Wert (e) eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert 1 gerechnet.
= (41e2+e+23lne)−(4112+1+23ln1) ↓ Löse die Klammern auf. Dabei ist lne=1 und ln1=0.
= 4e2+e+23−41−1 ↓ Gleiche Elemente zusammenfassen.
= 4e2+e+41 ≈ 4,8155 Hast du eine Frage oder Feedback?
∫−2+2v2 dv
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Integration
∫−2+2v2 dv = [31⋅v3]−2+2 ↓ In die Klammer wird für v der obere Wert (+2) eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert (-2) gerechnet.
= (31⋅23)−(31⋅(−2)3) ↓ Klammern auflösen und Potenzen ausmultiplizieren.
= 38+38 ↓ = 316 Hast du eine Frage oder Feedback?
∫23t2 dt
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Integration
∫23t2 dt = [31t3]23 ↓ In die Klammer wird für t der obere Wert (3) eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert (2) gerechnet.
= (31⋅33)−(31⋅23) ↓ Klammern auflösen.
= 327−38 ↓ = 319 Hast du eine Frage oder Feedback?
∫23x2 dx
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Integration
∫23x2 dx = [31x3]23 ↓ In die Klammer wird für x der obere Wert (3) eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert (2) gerechnet.
= (31⋅33)−(31⋅23) ↓ Klammern auflösen.
= 327−38 ↓ = 319 Hast du eine Frage oder Feedback?
∫01(x−x2) dx
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Integration
∫01(x−x2) dx = [21x2−31x3]01 ↓ In die Klammer wird für x der obere Wert (1) eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert (0) gerechnet.
= (21⋅12−31⋅13)−(21⋅02−31⋅03) ↓ Klammern auflösen, die zweite Klammer fällt weg.
= 21−31 ↓ = 63−62 = 61 Hast du eine Frage oder Feedback?
∫02x dx
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Integration
∫02x dx = [2x2]02 ↓ In die Klammer wird für x der obere Wert (2) eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert (0) gerechnet.
= 222−202 = 24−0 = 2 Hast du eine Frage oder Feedback?
∫13x dx
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Integration
∫13x dx = [2x2]13 ↓ In die Klammer wird für x der obere Wert (3) eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert (1) gerechnet.
= 232−212 ↓ Zähler berechnen.
= 29−21 = 28 = 4 Hast du eine Frage oder Feedback?
∫−20(−x) dx
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Integration
∫−20(−x) dx = [−2x2]−20 ↓ In die Klammer wird für x der obere Wert (0) eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert (-2) gerechnet.
= (−202)−(−2(−2)2) = 24 = 2 Hast du eine Frage oder Feedback?
∫01(x2+x) dx
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Integration
∫01(x2+x) dx = [3x3+2x2]01 ↓ In die Klammer wird für x der obere Wert (1) eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert (0) gerechnet.
= (313+212)−(303+202) = 31+21 ↓ Hauptnenner (6) bilden und auf diesen erweitern.
= 62+63 = 65 Hast du eine Frage oder Feedback?
∫12x2 dx
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Integration
∫12x2 dx = [31x3]12 ↓ In die Klammer wird für x der obere Wert (2) eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert (1) gerechnet.
= 31⋅23−31⋅13 = 38−31 = 37 Hast du eine Frage oder Feedback?
∫−2−1x2 dx
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Integration
∫−2−1x2 dx = [31x3]−2−1 ↓ In die Klammer wird für x der obere Wert (-1) eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert (-2) gerechnet.
= 31⋅(−1)3−31⋅(−2)3 ↓ Potenzen berechen.
= −31+38 = 37 Hast du eine Frage oder Feedback?
∫−22x2 dx
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Integration
∫−22x2 dx = [31x3]−22 ↓ In die Klammer wird für x der obere Wert (2) eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert (-2) gerechnet.
= 31⋅23−31⋅(−2)3 ↓ Potenzen berechen.
= 38+38 = 316 Hast du eine Frage oder Feedback?
∫02πsinx dx
∫02πcosx dx
∫73220001 dx
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Integration
∫73220001dx = [x]7322000 ↓ In die Klammer wird für x der obere Wert (2000) eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert (732) gerechnet.
= 2000−732 = 1268 Hast du eine Frage oder Feedback?
∫12(x2+x) dx
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Integration
∫12(x2+x) dx = [31x3+21x2]12 ↓ In die Klammer wird für x der obere Wert (2) eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert (1) gerechnet.
= (31⋅23+21⋅22)−(31⋅13+21⋅12) = 38+24−(31+21) ↓ Hauptnenner bilden.
= 38+36−(62+63) = 314−65 ↓ Hauptnenner bilden.
= 628−65 = 623 Hast du eine Frage oder Feedback?
∫02(x2+x) dx
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Integration
∫02(x2+x) dx = [31x3+21x2]02 ↓ In die Klammer wird für x der obere Wert (2) eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert (0) gerechnet
= (31⋅23+21⋅22)−(31⋅03+21⋅02) = 38+24 ↓ Hauptnenner bilden.
= 616+612 = 628 = 314 Hast du eine Frage oder Feedback?
∫−11(5x4−3x2−7) dx
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Integration
∫−11(5x4−3x2−7) dx = [x5−x3−7x]−11 = [15−13−7⋅1−((−1)5−(−1)3−7⋅(−1))] = 1−1−7−(−1−(−1)+7) = −7−(−1+1+7) = −7−7 = −14 Alternative Lösung
f(x) ist achsensymmetrisch zur y-Achse, da f(x)=f(−x):
f(−x)=5⋅(−x)4−3(−x)2−7=5x4−3x2−7=f(x) , weil der Exponent eine gerade Zahl ist
⇒ Das Integral lässt sich in zwei gleich große Teile aufteilen, zwischen -1 und 0 und zwischen 0 und 1
∫−11(5x4−3x2−7) dx = 2⋅∫01(5x4−3x2−7) dx = 2⋅[x5−x3−7x]01 ↓ 0 und 1 einsetzen
= 2⋅[15−13−7⋅1−(05−03−7⋅0)] = 2⋅(1−1−7−0) = 2⋅(−7) = −14 Hast du eine Frage oder Feedback?
- 4
Was kann man über die f sagen, wenn man weiß:
∫01f(x)dx=0
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Integralrechnung
∫01f(x)dx=0
Es gibt zwei Möglichkeiten:
Die Funktion verläuft zwischen 0 und 1 auf der x-Achse.
Die Flächen ober- und unterhalb der x-Achse sind im Bereich 0 bis 1 gleich groß und heben sich so auf.
Hast du eine Frage oder Feedback?
∫01f(x)dx>0
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Integralrechnung
∫01f(x)dx>0
Die Flächen oberhalb der x-Achse sind im Bereich 0 bis 1 größer als die unterhalb.
Hast du eine Frage oder Feedback?
∫01f(x)dx<0
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Integralrechnung
∫01f(x)dx<0
Die Flächen unterhalb der x-Achse sind im Bereich 0 bis 1 größer als die oberhalb.
Hast du eine Frage oder Feedback?
∫10f(x)dx>0
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Integralrechnung
∫10f(x)dx > 0 −∫01f(x)dx > 0 :(−1) ↓ Dividiere durch (−1). Dadurch dreht sich das Größer-Zeichen um.
∫01f(x)dx < 0 Mögliche Lösung: siehe Teilaufgabe c.
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- 5
Berechne die Integrale: a(x)=6−241x2 ; Da=R
∫012a(x)dx
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Integration
∫0126−241x2dx = ↓ = [6x−24⋅31x3]012 ↓ In die Klammer wird für x der obere Wert (12) eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert (0) gerechnet.
= (6⋅12−721⋅123)−(6⋅0−721⋅03) ↓ Klammern auflösen, die zweite Klammer fällt weg.
= 72−721728 ↓ = 72−24 = 48 Hast du eine Frage oder Feedback?
∫−1212a(x)dx
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Integration
∫−12126−241x2 dx = ↓ = [6x−24⋅31x3]−1212 ↓ In die Klammer wird für x der obere Wert (12) eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert (-12) gerechnet.
= (6⋅12−721⋅123)−(6⋅(−12)−721⋅(−12)3) ↓ Klammer auflösen.
= 72−721728+72−721728 ↓ = 72−24+72−24 = 96 Hast du eine Frage oder Feedback?
∫0123a(x)dx
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Integration
∫01236−241x2 dx = ↓ = [6x−24⋅31x3]0123 ↓ In die Klammer wird für x der obere Wert (123 ) eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert (0) gerechnet.
= (6⋅12⋅3−72(12⋅3)3)−(6⋅0−721⋅0) ↓ Klammern auflösen, die zweite Klammer fällt weg.
= 72⋅3−725184⋅3 ↓ = 72⋅3−72⋅3=0 Hast du eine Frage oder Feedback?
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Berechne.
∫−11e∣x∣ dx
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Integrieren
∫−11e∣x∣ dx
Fallunterscheidung für x≥0 und x<0
Für x≥0 ist der Betrag immer positiv und kann weggelassen werden.
Für x<0 muss der Betrag durch ein Minuszeichen vor x ersetzt werden, da −x für negatives x positiv wird.
Fall x≥0
∫01ex dx = ↓ = [ex]01 ↓ In die Klammer wird für x der obere Wert 1 eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert 0 gerechnet.
= e1−e0 = e−1 Fall x<0
∫−10e−x dx = ↓ = [−e−x]−10 ↓ In die Klammer wird für x der obere Wert 0 eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert (−1) gerechnet.
= (−e−0)−(−e−(−1)) ↓ Klammern auflösen.
= −e0+e1 = −1+e Gesamtfläche berechnen
A = (e−1)+(−1+e) ↓ Klammern auflösen.
= e−1−1+e = 2e−2 Alternative Lösung
Du kannst hier ausnutzen, dass die Funktion achsensymmetrisch ist. Damit ist der Flächeninhalt, der zwischen −1 und 0 eingeschlossen ist, genauso groß wie der Flächeninhalt, der zwischen 0 und 1 eingeschlossen ist (siehe Abbildung rechts).
⇒ ∫−11e∣x∣ dx=2⋅∫01ex dx
Gleiche Rechnung wie oben.
=2⋅[ex]01=2⋅[e1−e0]=2⋅(e−1)= 2e−2
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∫−20e−∣x∣ dx
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Integrieren
∫−20e−∣x∣ dx = ↓ Da x immer negativ ( bzw. 0 ) ist, kann der Betrag durch ein minus ersetzt werden.
= ∫−20e−(−x) dx = ∫−20ex dx ↓ = [ex]−20 ↓ In die Klammer wird für x der obere Wert 0 eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert (-2) gerechnet.
= e0−e−2 = 1−e21 ≈ 0,86467 Hast du eine Frage oder Feedback?
∫−20e∣x+1∣ dx
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Integrieren
∫−20e∣x+1∣ dx
Fallunterscheidung für x≥−1 und x<−1
Für x≥−1 ist der Betrag immer positiv und kann weggelassen werden.
Für x<−1 ist der Betrag immer negativ und kann durch ein Minus ersetzt werden.
Fall x≥−1
∫−10ex+1 dx = ↓ Integrieren.
= [ex+1]−10 ↓ In die Klammer wird für x der obere Wert 0 eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert −1 gerechnet.
= e1−e0 = e−1 Fall x<−1
∫−2−1e−(x+1) dx = ↓ Klammern auflösen.
= ∫−2−1e−x−1 dx ↓ Integrieren.
= [−e−x−1]−2−1 ↓ In die Klammer wird für x der obere Wert −1 eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert −2 gerechnet.
= (−e−(−1)−1)−(−e−(−2)−1) ↓ Klammern auflösen.
= −e0+e1 = −1+e Gesamtfläche berechnen
A = (e−1)+(−1+e) = e−1−1+e = 2⋅e−2 = 2⋅(e−1) ≈ 3,4366 Hast du eine Frage oder Feedback?
∫−77t∣t∣e∣t∣ dt
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Integrieren
∫−77t∣t∣e∣t∣ dt
Fallunterscheidung für t≥0 und t<0.
Für t≥0 ist der Betrag immer positiv und kann weggelassen werden.
Für t<0 ist der Betrag immer negativ und kann durch ein Minus ersetzt werden.
Fall t≥0
∫07ttet dt = ↓ Mit t kürzen.
= ∫07et dt ↓ = [et]07 ↓ In die Klammer wird für tt der obere Wert (7) eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert (0) gerechnet.
= e7−e0 = e7−1 Fall t<0
∫−70t−te−t dt = ↓ Mit t kürzen.
= ∫−70−e−t dt ↓ = [e−t]−70 ↓ In die Klammer wird für t der obere Wert (0) eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert (-7) gerechnet.
= e0−e−(−7)