Aufgaben zu Integralen - lernen mit Serlo!

Eine Wetterstation misst die Lufttemperatur. Der Temperaturverlauf während eines Tages wird näherungsweise durch die Funktion $t(x)=-0{,}01x^3+0{,}25x^2+6$ beschrieben ( $x$ ist die Uhrzeit in Stunden und $t(x)$ die Temperatur in $^\circ$ C).

Wie groß ist die mittlere Tagestemperatur?

$\displaystyle \displaystyle {\overline {t}}$	$=$	$\displaystyle \dfrac {1}{24}\displaystyle\int _{0}^{24}(-0{,}01x^3+0{,}25x^2+6)\,\mathrm {d} x$
	↓	Berechne die Stammfunktion.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{1}{24}\left[-\dfrac{0{,}01}{4}x^4+\dfrac{1}{12}x^3+6x\right]_0^{24}$
	↓	In die Klammer wird für $x$ der obere Wert $24$ eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert $0$ gerechnet.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{1}{24}\left(\left(-\dfrac{0{,}01}{4}\cdot24^4+\dfrac{1}{12}\cdot24^3+6\cdot24\right)-0\right)$
	↓	Vereinfache.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{1}{24}\cdot 466{,}56$
	$=$	$\displaystyle 19{,}44$