Aufgaben zu Integralen - lernen mit Serlo!

Stelle $f(x)$ integralfrei dar.

$f(x)=\int_0^x\sqrt t\ \mathrm{d}t$

$f(x)=x\cdot\ln x+\int_2^x\ln t\;\ \mathrm{d}t$

$f(x)=\ln x-\int_1^x\frac1t\ \mathrm{d}t$

$f(x)=\int_1^xt\;\ln t\ \mathrm{d}t+\int_x^3t\;\ln t\ \mathrm{d}t$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Integriere

$f(x)=\int_1^xt\;\ln t\ \mathrm{d}t+\int_x^3t\;\ln t\ \mathrm{d}t$

Da die linke Grenze des ersten Integrals und die rechte des zweiten das gleiche sind und es sich beide male um dieselbe Funktion handelt, kann man die beiden Integrale zusammenfassen.

$=\int_1^3t\;\mathrm{lnt}\ \mathrm{d}t$

Es muss partiell Integriert werden. $t$ wird als $u'$ gewählt, da es sich einfacher integrieren lässt.

$u=\frac12t^2$	$u'=t$
$v=\ln t$	$v'=\frac1t$

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle \left[\frac{1}{2}t^2\cdot\ln t\right]_1^3-\int_1^3\left(\frac{1}{2}t^2\cdot\frac{1}{t}\right)\ \mathrm{d}t$
	↓	Im Integral kürzt sich ein $t$ .
	$=$	$\displaystyle \left[\frac{1}{2}t^2\cdot\ln t\right]_1^3-\int_1^3\left(\frac{1}{2}t\right)\ \mathrm{d}t$
	↓	Integrieren.
	$=$	$\displaystyle \left[\frac{1}{2}t^2\cdot\ln t\right]_1^3-\left[\frac{1}{4}t^2\right]_1^3$
	↓	In die Klammer wird für $t$ der obere Wert (3) eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert (1) gerechnet.
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}\cdot3^2\cdot\ln3-\frac{1}{2}\cdot1^2\cdot\ln1-\frac{1}{4}\cdot3^2+\frac{1}{4}\cdot1^2$
	↓	Ausmultiplizieren.
	$=$	$\displaystyle \frac{9}{2}\cdot\ln3-\frac{1}{2}\cdot\ln1-\frac{9}{4}+\frac{1}{4}$
	$=$	$\displaystyle \frac{9}{2}\cdot\ln3-\frac{1}{2}\cdot\ln1-2$
	$≈$	$\displaystyle 2{,}944$

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$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle \int_0^x\sqrt{t}\ \mathrm{d}t$
	↓	Wurzel als Potenz schreiben.
	$=$	$\displaystyle \int_0^xt^{\frac{1}{2}}\ \mathrm{d}t$
	↓	Integriere.
	$=$	$\displaystyle \left[\frac{2}{3}t^{\frac{3}{2}}\right]_0^x$
	↓	In die Klammer wird für $t$ der obere Wert $(x)$ eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert (0) gerechnet.
	$=$	$\displaystyle \left(\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}\right)-\left(\frac{2}{3}0^{\frac{3}{2}}\right)$
	$=$	$\displaystyle \left(\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}\right)$

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle x\cdot\ln x+\int_2^x\ln t\ \mathrm{d}t$
	↓	Integrieren.
	$=$	$\displaystyle x\cdot\ln x+\left[t\cdot\ln t-t\right]_2^x$
	↓	In die Klammer wird für $t$ der obere Wert $(x)$ eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert (2) gerechnet.
	$=$	$\displaystyle x\cdot\ln x+\left(x\cdot\ln x-x\right)-\left(2\cdot\ln2-2\right)$
	↓	Klammern auflösen.
	$=$	$\displaystyle x\cdot\ln x+x\cdot\ln x-x-2\cdot\ln2+2$
	$=$	$\displaystyle 2x\cdot\ln x-x-2\cdot\ln2+2$

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle \ln x-\int_1^x\frac{1}{t}\ \mathrm{d}t$
	↓	Integrieren.
	$=$	$\displaystyle \ln x-\left[\ln t\right]_1^x$
	↓	In die Klammer wird für $t$ der obere Wert $(x)$ eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert (1) gerechnet.
	$=$	$\displaystyle \ln x-(\ln x-\ln1)$
	↓	$\ln 1=0$
	$=$	$\displaystyle \ln x-\ln x$
	$=$	$\displaystyle 0$