Aufgaben zu Integralen - lernen mit Serlo!

Stelle $f (x)$ integralfrei dar.

$f (x) = \int_{0}^{x} \sqrt{t} d t$

$f (x) = x \cdot \ln x + \int_{2}^{x} \ln t d t$

$f (x) = \ln x - \int_{1}^{x} \frac{1}{t} d t$

$f (x) = \int_{1}^{x} t \ln t d t + \int_{x}^{3} t \ln t d t$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Integriere

$f (x) = \int_{1}^{x} t \ln t d t + \int_{x}^{3} t \ln t d t$

Da die linke Grenze des ersten Integrals und die rechte des zweiten das gleiche sind und es sich beide male um dieselbe Funktion handelt, kann man die beiden Integrale zusammenfassen.

$= \int_{1}^{3} t lnt d t$

Es muss partiell Integriert werden. $t$ wird als $u^{'}$ gewählt, da es sich einfacher integrieren lässt.

$u = \frac{1}{2} t^{2}$	$u^{'} = t$
$v = \ln t$	$v^{'} = \frac{1}{t}$

$f (x)$	$=$	${[\frac{1}{2} t^{2} \cdot \ln t]}_{1}^{3} - \int_{1}^{3} (\frac{1}{2} t^{2} \cdot \frac{1}{t}) d t$
	↓	Im Integral kürzt sich ein $t$ .
	$=$	${[\frac{1}{2} t^{2} \cdot \ln t]}_{1}^{3} - \int_{1}^{3} (\frac{1}{2} t) d t$
	↓	Integrieren.
	$=$	${[\frac{1}{2} t^{2} \cdot \ln t]}_{1}^{3} - {[\frac{1}{4} t^{2}]}_{1}^{3}$
	↓	In die Klammer wird für $t$ der obere Wert (3) eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert (1) gerechnet.
	$=$	$\frac{1}{2} \cdot 3^{2} \cdot \ln 3 - \frac{1}{2} \cdot 1^{2} \cdot \ln 1 - \frac{1}{4} \cdot 3^{2} + \frac{1}{4} \cdot 1^{2}$
	↓	Ausmultiplizieren.
	$=$	$\frac{9}{2} \cdot \ln 3 - \frac{1}{2} \cdot \ln 1 - \frac{9}{4} + \frac{1}{4}$
	$=$	$\frac{9}{2} \cdot \ln 3 - \frac{1}{2} \cdot \ln 1 - 2$
	$\approx$	$2,944$

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$f (x)$	$=$	$\int_{0}^{x} \sqrt{t} d t$
	↓	Wurzel als Potenz schreiben.
	$=$	$\int_{0}^{x} t^{\frac{1}{2}} d t$
	↓	Integriere.
	$=$	${[\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}}]}_{0}^{x}$
	↓	In die Klammer wird für $t$ der obere Wert $(x)$ eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert (0) gerechnet.
	$=$	$(\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}) - (\frac{2}{3} 0^{\frac{3}{2}})$
	$=$	$(\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}})$

$f (x)$	$=$	$x \cdot \ln x + \int_{2}^{x} \ln t d t$
	↓	Integrieren.
	$=$	$x \cdot \ln x + {[t \cdot \ln t - t]}_{2}^{x}$
	↓	In die Klammer wird für $t$ der obere Wert $(x)$ eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert (2) gerechnet.
	$=$	$x \cdot \ln x + (x \cdot \ln x - x) - (2 \cdot \ln 2 - 2)$
	↓	Klammern auflösen.
	$=$	$x \cdot \ln x + x \cdot \ln x - x - 2 \cdot \ln 2 + 2$
	$=$	$2 x \cdot \ln x - x - 2 \cdot \ln 2 + 2$

$f (x)$	$=$	$\ln x - \int_{1}^{x} \frac{1}{t} d t$
	↓	Integrieren.
	$=$	$\ln x - {[\ln t]}_{1}^{x}$
	↓	In die Klammer wird für $t$ der obere Wert $(x)$ eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert (1) gerechnet.
	$=$	$\ln x - (\ln x - \ln 1)$
	↓	$\ln 1 = 0$
	$=$	$\ln x - \ln x$
	$=$	$0$