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Bogenmaß

Das Bogenmaß ist ein Winkelmaß. Man kann einen bestimmten Winkel sowohl in Bogenmaß als auch in Gradmaß angeben. Folgende Formel gibt die Beziehung zwischen Gradmaß (φ) und Bogenmaß (b) wieder:

b2π=φ360

Umrechnungsformeln

Stellt man diese Formel nach dem Bogenmaß um, so erhält man

b=φ3602π

Damit kann man das Bogenmaß aus dem Gradmaß erhalten. Analog erhält man bei der Umstellung nach dem Gradmaß

φ=bπ180°

Wichtige Werte

Gradmaß φ

Bogenmaß b

Umrechnung

0°

0

b=0°360°2π=0

90°

π2

b=90°360°2π=12π

180°

π

b=180°360°2π=π

360°

2π

b=360°360°2π=2π

Weitere Werte:

Gradmaß φ

Bogenmaß b

15°

π12

30°

π6

45°

π4

60°

π3

Beispiel

Geg: φ=30

Ges: b

Betrachte die Umrechnungformel.

b=φ3602π

Setze φ=30 ein.

b=303602π=π6

Erklärung der Definition

Das Bogenmaß ordnet jedem Gradmaß  φ eine eindeutige Zahl b zu (mit obiger Umrechnungsformel). Wie ist man auf das Bogenmaß gekommen?

Man kann jeden Winkel auch durch zwei gleichlange Schenkel aufspannen.

Winkel zwischen zwei gleichlangen Schenkel

Wähle als Länge 1, und betrachte die Bogenlänge b des Kreissektors.

Schenkel mit Länge 1

Wie berechnet man b?

DefinitionBogenlänge

b=φ3602r=2,dar=1π=φ3602π

Das Bogenmaß eines Winkels α ist also die Bogenlänge des Kreissektors mit Radius 1, der durch den Winkel α aufgespannt wird. Man verwendet dafür auch die Pseudoeinheit rad ("Pseudo" deswegen, weil es keine physikalische Größe wie z.B. der Meter, das Gewicht oder die Geschwindigkeit ist). Allgemein beschreibt 1rad den Winkel in einem Kreis mit Radius r, der einen Kreisbogen der Länge r einschließt. Demnach hat jeder Vollkreis einen Winkel 2πrad. Dies zeigt auch die folgende Animation.

Bogenmaß - Umfang

Übungsaufgaben

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