Bogenmaß

Das Bogenmaß ist ein Winkelmaß. Man kann einen bestimmten Winkel sowohl in Bogenmaß als auch in Gradmaß angeben. Folgende Formel gibt die Beziehung zwischen Gradmaß ( $\varphi$ ) und Bogenmaß ( $b$ ) wieder:

\displaystyle \frac{b}{2\pi}=\frac{\varphi}{360^{\circ}}

Umrechnungsformeln

Stellt man diese Formel nach dem Bogenmaß um, so erhält man

\displaystyle b=\frac{\varphi}{360^{\circ}}\cdot2\pi

Damit kann man das Bogenmaß aus dem Gradmaß erhalten. Analog erhält man bei der Umstellung nach dem Gradmaß

\displaystyle \varphi=\frac{b}{\pi}\cdot180°

Wichtige Werte

Gradmaß $\varphi$	Bogenmaß $b$	Umrechnung
$0 °$	$0$	$b = \frac{0°}{360°} \cdot 2\pi = 0$
$90 °$	$\frac{\pi}{2}$	$b = \frac{90°}{360°} \cdot 2\pi = \frac{1}{2}\pi$
$180 °$	$π \pi$	$b = \frac{180°}{360°} \cdot 2\pi = \pi$
$360 °$	$2\pi$	$b = \frac{360°}{360°} \cdot 2\pi = 2\pi$

Weitere Werte:

Gradmaß $\varphi$	Bogenmaß $b$
$15 °$	$\frac{\pi}{12}$
$30 °$	$\frac{\pi}{6}$
$45 °$	$\frac{\pi}{4}$
$60 °$	$\frac{\pi}{3}$

Beispiel

Geg: $\varphi=30^{\circ}$

Ges: $b$

Betrachte die Umrechnungformel.

\displaystyle b=\dfrac\varphi{360^\circ}\cdot2\pi

Setze $\varphi=30^\circ$ ein.

\displaystyle b=\frac{30^{\circ}}{360^{\circ}}\cdot2\pi=\frac{\pi}{6}

Erklärung der Definition

Das Bogenmaß ordnet jedem Gradmaß $\mathrm\varphi$ eine eindeutige Zahl $b$ zu (mit obiger Umrechnungsformel). Wie ist man auf das Bogenmaß gekommen?

Man kann jeden Winkel auch durch zwei gleichlange Schenkel aufspannen.

Winkel zwischen zwei gleichlangen Schenkel

Wähle als Länge $1$ , und betrachte die Bogenlänge $b$ des Kreissektors.

Wie berechnet man $b$ ?

DefinitionBogenlänge

$b=\frac\varphi{360^\circ}\cdot\underbrace{2r}_{=2,\;da\;r=1}\cdot\mathrm\pi=\frac{\mathrm\varphi}{360^\circ}\cdot2\mathrm\pi$

Das Bogenmaß eines Winkels $\alpha$ ist also die Bogenlänge des Kreissektors mit Radius $1$ , der durch den Winkel $\alpha$ aufgespannt wird. Man verwendet dafür auch die Pseudoeinheit $\text{rad}$ ("Pseudo" deswegen, weil es keine physikalische Größe wie z.B. der Meter, das Gewicht oder die Geschwindigkeit ist). Allgemein beschreibt $1\;\text{rad}$ den Winkel in einem Kreis mit Radius $r$ , der einen Kreisbogen der Länge $r$ einschließt. Demnach hat jeder Vollkreis einen Winkel $2\pi\;\text{rad}$ . Dies zeigt auch die folgende Animation.

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