Bogenmaß

Das Bogenmaß ist ein Winkelmaß. Man kann einen bestimmten Winkel sowohl in Bogenmaß als auch in Gradmaß angeben. Folgende Formel gibt die Beziehung zwischen Gradmaß ( $φ$ ) und Bogenmaß ( $b$ ) wieder:

\frac{b}{2 π} = \frac{φ}{360^{\circ}}

Umrechnungsformeln

Stellt man diese Formel nach dem Bogenmaß um, so erhält man

b = \frac{φ}{360^{\circ}} \cdot 2 π

Damit kann man das Bogenmaß aus dem Gradmaß erhalten. Analog erhält man bei der Umstellung nach dem Gradmaß

φ = \frac{b}{π} \cdot 180 °

Wichtige Werte

Gradmaß $φ$	Bogenmaß $b$	Umrechnung
$0 °$	$0$	$b = \frac{0 °}{360 °} \cdot 2 π = 0$
$90 °$	$\frac{π}{2}$	$b = \frac{90 °}{360 °} \cdot 2 π = \frac{1}{2} π$
$180 °$	$π$	$b = \frac{180 °}{360 °} \cdot 2 π = π$
$360 °$	$2 π$	$b = \frac{360 °}{360 °} \cdot 2 π = 2 π$

Weitere Werte:

Gradmaß $φ$	Bogenmaß $b$
$15 °$	$\frac{π}{12}$
$30 °$	$\frac{π}{6}$
$45 °$	$\frac{π}{4}$
$60 °$	$\frac{π}{3}$

Beispiel

Geg: $φ = 30^{\circ}$

Ges: $b$

Betrachte die Umrechnungformel.

b = \frac{φ}{360^{\circ}} \cdot 2 π

Setze $φ = 30^{\circ}$ ein.

b = \frac{30^{\circ}}{360^{\circ}} \cdot 2 π = \frac{π}{6}

Erklärung der Definition

Das Bogenmaß ordnet jedem Gradmaß $φ$ eine eindeutige Zahl $b$ zu (mit obiger Umrechnungsformel). Wie ist man auf das Bogenmaß gekommen?

Man kann jeden Winkel auch durch zwei gleichlange Schenkel aufspannen.

Winkel zwischen zwei gleichlangen Schenkel

Wähle als Länge $1$ , und betrachte die Bogenlänge $b$ des Kreissektors.

Wie berechnet man $b$ ?

DefinitionBogenlänge

$b = \frac{φ}{360^{\circ}} \cdot \underset{= 2, d a r = 1}{\underset{⏟}{2 r}} \cdot π = \frac{φ}{360^{\circ}} \cdot 2 π$

Das Bogenmaß eines Winkels $α$ ist also die Bogenlänge des Kreissektors mit Radius $1$ , der durch den Winkel $α$ aufgespannt wird. Man verwendet dafür auch die Pseudoeinheit $rad$ ("Pseudo" deswegen, weil es keine physikalische Größe wie z.B. der Meter, das Gewicht oder die Geschwindigkeit ist). Allgemein beschreibt $1 rad$ den Winkel in einem Kreis mit Radius $r$ , der einen Kreisbogen der Länge $r$ einschließt. Demnach hat jeder Vollkreis einen Winkel $2 π rad$ . Dies zeigt auch die folgende Animation.

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