Bestimmtes und unbestimmtes Integral

Der Hauptunterschied zwischen einem bestimmten und einem unbestimmten Integral ist das Vorhandensein (bestimmtes Integral) bzw. Fehlen (unbestimmtes Integral) der Integrationsgrenzen.

Ein bestimmtes Integral beschreibt einen orientierten Flächeninhalt, ist also ein einfacher Zahlenwert.

Ein unbestimmtes Integral ist die Menge aller sogenannten Stammfunktionen.

Bestimmtes Integral der Funktion $f\left(x\right)=x$ in den Grenzen a=0 und b=3.

Bestimmte Integrale

Wenn Integralgrenzen angegeben werden, handelt es sich um ein bestimmtes Integral:

$\int_a^bf\left(x\right)\;\mathrm{d}x\;=\;w,\;w\in \mathbb{R}$

Man berechnet den Wert des Integrals mit dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung:

$\int_a^bf\left(x\right)\mathrm{d}x=\left[F\left(x\right)\right]_a^b=F\left(b\right)-F\left(a\right)_{ }$ ,

wobei $F$ eine Stammfunktion von $f$ ist.

Das Ergebnis ist ein konkreter Zahlenwert. Das Ergebnis ist damit eindeutig.

$\int_a^bf\left(x\right)\;\mathrm{d}x\;=\;w,\;w\in \mathbb{R}$

Unbestimmte Integrale

Unbestimmte Integrale haben keine Integralgrenzen.

Sie zu berechnen bedeutet, eine Stammfunktion der Funktion im Integral (dem sogenannten Integranden) zu finden. Diese ist jedoch nur bis auf eine Konstante eindeutig: Da eine Stammfunktion abgeleitet wieder die Funktion ergeben muss, kann eine beliebige konstante Zahl zu einer Stammfunktion addiert werden und die neue Funktion ist immer noch eine Stammfunktion, da Konstanten beim Ableiten verschwinden.

Eine Funktion hat also immer unendlich viele Stammfunktionen. Man verdeutlicht dies, indem man hinter eine allgemeine Stammfunktion den Term $+C$ ergänzt, wobei die sogenannte Integrationskonstante C für eine beliebige Zahl aus $\mathbb{R}$ steht:

$\int f\left(x\right)\;\mathrm{d}x=F\left(x\right)+C$ für eine allgemeine Stammfunktion $F$ mit $F'(x)=f(x)$ .

Vom unbestimmten zum bestimmten Integral

Wenn ein bestimmtes Integral gesucht ist, können wir zunächst das unbestimmte Integral bestimmen und durch die Wahl eines konkreten $C$ das bestimmte Integral ermitteln.

Beispiel

Man berechne $\int_2^4(x^3+5)\mathrm{d}x$ .

Das unbestimmte Integral ist gegeben durch $\int_{}^{}(x^3+5)dx={\textstyle\frac14}x^4+5x+C$ .

Mit dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung gilt nun:

$\int_2^4(x^3+5)dx=\left[\frac14x^4+5x+C\right]_2^4=(64+20+C)-(4+10+C)=70+C-C=70$ .

Hier sieht man, dass die konkrete Wahl der additiven Konstanten $C$ keinen Einfluss auf den Wert des bestimmten Integrals hat.

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