Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung (kurz HDI) oder Fundamentalsatz der Analysis führt die Berechnung bestimmter Integrale auf die Berechnung unbestimmter Integrale (also auf die Ermittlung von Stammfunktionen) zurück.

SatzHauptsatz der Differential- und Integralrechnung

Unter der Voraussetzung, dass $F(x)$ eine Stammfunktion der stetigen Funktion $f(x)$ ist, also $F'(x)=f(x)$ , gilt nach dem HDI:

\displaystyle \int_a^bf(x)\mathrm{d}x=\left[F(x)\right]_a^b=F(b)-F(a).

Video zum Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

Laden

HDI in Worten erklärt

Man kann also den Wert eines bestimmten Integrals einer Funktion $f$ berechnen, indem man vom Funktionswert $F(b)$ einer Stammfunktion von $f$ an der oberen Integrationsgrenze den Funktionswert $F(a)$ dieser Stammfunktion an der unteren Integrationsgrenze subtrahiert.

Weitere Version des HDI

Den Hauptsatz der Differentialrechnung gibt es auch noch in einer anderen, äquivalenten Darstellung. Manchmal ist auch folgende Version des HDI nützlich:

Satz

Für eine stetige Funktion $f$ ist die Integralfunktion $F(\textbf{x})=\int_a^\textbf{x}f(s)ds$ eine Stammfunktion zu $f$ .

In Kurzform:

\displaystyle \int_a^bf(x)\mathrm{d}x=\left[F(x)\right]_a^b=F(b)-F(a).

In Worten: Die Ableitung der Integralfunktion ist gleich der Integrandenfunktion an der oberen Integrationsgrenze.

\displaystyle \int_a^bf(x)\mathrm{d}x=\left[F(x)\right]_a^b=F(b)-F(a).

Man erkennt an dieser Version recht gut, dass es unendlich viele Stammfunktionen einer Funktion gibt, die sich jeweils durch eine Konstante unterscheiden.

So gibt $\displaystyle \int_a^xf(s)ds + C$ eine Stammfunktion zu $f$ , denn $\displaystyle \frac{d}{dx} \left[ \int_a^xf(s)ds+C\right]=f(x)$

(wobei $C$ eine beliebige, reelle Konstante ist).

Siehe auch hier: Mathe für Nicht-Freaks

Du hast noch nicht genug vom Thema?

Hier findest du noch weitere passende Inhalte zum Thema:

Artikel

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?