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Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung (kurz HDI) oder Fundamentalsatz der Analysis führt die Berechnung bestimmter Integrale auf die Berechnung unbestimmter Integrale (also auf die Ermittlung von Stammfunktionen) zurück.

Unter der Voraussetzung, dass F(x)\sf F(x) eine Stammfunktion der stetigen Funktion f(x)\sf f(x) ist, also F(x)=f(x)\sf F'(x)=f(x), gilt nach dem HDI:

Video zum Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

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HDI in Worten

Man kann also den Wert eines bestimmten Integrals einer Funktion f\sf f berechnen, indem man vom Funktionswert F(b)\sf F(b) einer Stammfunktion von f\sf f an der oberen Integrationsgrenze den Funktionswert F(a)\sf F(a) dieser Stammfunktion an der unteren Integrationsgrenze subtrahiert.

Weitere Version des HDI

Den Hauptsatz der Differentialrechnung gibt es auch noch in einer anderen, äquivalenten Darstellung. Manchmal ist auch folgende Version des HDI nützlich:

Für eine stetige Funktion f\sf f ist die Integralfunktion F(x)=axf(s)ds\sf F(\textbf{x})=\int_a^\textbf{x}f(s)ds eine Stammfunktion zu f\sf f.

In Kurzform:

In Worten: Die Ableitung der Integralfunktion ist gleich der Integrandenfunktion an der oberen Integrationsgrenze.

Man erkennt an dieser Version recht gut, dass es unendlich viele Stammfunktionen einer Funktion gibt, die sich jeweils durch eine Konstante unterscheiden.

So gibt axf(s)ds+C\sf \int_a^xf(s)ds + C eine Stammfunktion zu f\sf f, denn ddx[axf(s)ds+C]=f(x)\sf \dfrac{d}{dx} \left[ \int_a^xf(s)ds+C\right]=f(x)

(wobei C\sf C eine beliebige, reelle Konstante ist).

Siehe auch hier: Mathe für Nicht-Freaks


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