Voraussetzungen Wenn in einem Integral die Verknüpfung von zwei Funktionen (also irgendeine Art f ( g ( x ) ) f(g(x)) f ( g ( x ))
Im Idealfall ist der Integrand sogar schon eine verkettete Funktion multipliziert mit der Ableitung der inneren Funktion, also f ( g ( x ) ) ⋅ g ′ ( x ) f(g(x))\cdot g'(x) f ( g ( x )) ⋅ g ′ ( x )
Sonderfall: Logarithmisches Integrieren Logarithmisches Integrieren ist ein Sonderfall der Substitution.
Man wendet diese Methode an, wenn ein Integral die Form
∫ f ′ ( x ) f ( x ) d x \displaystyle \int_{ }^{ }\frac{f'\left(x\right)}{f\left(x\right)}\mathrm{dx} ∫ f ( x ) f ′ ( x ) dx hat. Dann ist ∫ f ′ ( x ) f ( x ) d x = ln ∣ f ( x ) ∣ \int_{ }^{ }\frac{f'\left(x\right)}{f\left(x\right)}\mathrm{dx}=\ln\left|f\left(x\right)\right| ∫ f ( x ) f ′ ( x ) dx = ln ∣ f ( x ) ∣
Vorgehen Form betrachten Gegeben ist ein Integral der Form ∫ f ( g ( x ) ) ⋅ h ( x ) d x \int f\left(g\left(x\right)\right)\cdot h\left(x\right)\mathrm{dx} ∫ f ( g ( x ) ) ⋅ h ( x ) dx h ( x ) h\left(x\right) h ( x ) f f f g g g
∫ 0 1 3 x 2 x 3 + 1 d x \displaystyle \int_0^1\frac{3x^2}{x^3+1}\mathrm{dx} ∫ 0 1 x 3 + 1 3 x 2 dx mit f ( x ) = 1 x f\left(x\right)=\frac1x f ( x ) = x 1 g ( x ) = x 3 + 1 g\left(x\right)=x^3+1 g ( x ) = x 3 + 1 h ( x ) = g ′ ( x ) = 3 x 2 h\left(x\right)=g'\left(x\right)=3x^2 h ( x ) = g ′ ( x ) = 3 x 2
Substituieren eines Ausdrucks Man ersetzt einen geeigneten Ausdruck durch eine neue Variable z z z g ( x ) g\left(x\right) g ( x )
Da wir nun über unsere neue Variable z z z d x \mathrm{dx} dx d z \mathrm{dz} dz
Hilfsschritt 1 Man leitet die Seite der Substitution, in der unsere neue Substitutionsvariable z z z z z z z z z d z \mathrm{dz} dz
Die andere Seite leitet man nach der ursprünglichen Variable x x x d x \mathrm{dx} dx
Leite bei z = x 3 + 1 z=x^3+1 z = x 3 + 1 z z z x x x d z \mathrm{dz} dz d x \mathrm{dx} dx
⇒ 1 d z = 3 x 2 d x \Rightarrow\ 1\ \mathrm{dz}\ =\ 3x^2\mathrm{dx} ⇒ 1 dz = 3 x 2 dx
Hilfsschritt 2 Die Gleichung wird nun nach d x \mathrm{d}x d x
Löse 1 d z = 3 x 2 d x 1\ \mathrm{dz}\ =\ 3x^2\mathrm{dx} 1 dz = 3 x 2 dx d x \mathrm{dx} dx
1 d z \displaystyle 1\ \mathrm{dz} 1 dz = = = 3 x 2 d x \displaystyle 3x^2\;\mathrm{dx} 3 x 2 dx : 3 x 2 \displaystyle :3x^2 : 3 x 2 d z 3 x 2 \displaystyle \frac{\mathrm{dz}}{3x^2} 3 x 2 dz = = = d x \displaystyle \mathrm{dx} dx
Diese Hilfsschritte sind formal nicht ganz richtig und dienen nur als Stütze. d x \mathrm{dx} dx keine Variable und d z g ′ ( x ) \frac{\mathrm{dz}}{g'\left(x\right)} g ′ ( x ) dz kein Bruch !
Einsetzen Man setzt den Ausdruck aus Hilfsschritt 2 2 2 d x dx d x
Wenn sich alle x x x x x x
Ersetze d x \mathrm{dx} dx d z 3 x 2 \frac{\mathrm{dz}}{3x^2} 3 x 2 dz
↓ ∫ 3 x 2 x 3 + 1 d x \displaystyle \int_{ }^{ }\frac{3x^2}{x^3+1}\mathrm{dx} ∫ x 3 + 1 3 x 2 dx = = = ∫ 3 x 2 z ⋅ d z 3 x 2 \displaystyle \int\frac{3x^2}z\cdot\frac{\mathrm{dz}}{3x^2} ∫ z 3 x 2 ⋅ 3 x 2 dz ↓ Kürze und schreibe um.
= = = ∫ 1 z d z \displaystyle \int\frac1z\mathrm{dz} ∫ z 1 dz = = = ln ∣ z ∣ + C \displaystyle \ln|z|+C ln ∣ z ∣ + C
Es gibt nun zwei Möglichkeiten, fortzufahren.
1. Möglichkeit: Integralgrenzen substituieren Die Integralgrenzen 0 0 0 1 1 1 g ( 0 ) g\left(0\right) g ( 0 ) g ( 1 ) g\left(1\right) g ( 1 )
∫ g ( 0 ) g ( 1 ) 1 z d z \displaystyle \int_{g\left(0\right)}^{g\left(1\right)}\frac1z\mathrm{dz} ∫ g ( 0 ) g ( 1 ) z 1 dz = = = [ ln ( z ) ] g ( 0 ) g ( 1 ) \displaystyle \left[\ln\left(z\right)\right]_{g(0)}^{g(1)} [ ln ( z ) ] g ( 0 ) g ( 1 ) ↓ Bestimme g ( 0 ) g(0) g ( 0 ) g ( 1 ) g(1) g ( 1 )
= = = [ ln ( z ) ] 0 3 + 1 1 3 + 1 \displaystyle \lbrack\ln(z)\rbrack_{0^3+1}^{1^3+1} [ ln ( z ) ] 0 3 + 1 1 3 + 1 = = = [ ln ( z ) ] 1 2 \displaystyle \lbrack\ln(z)\rbrack_1^2 [ ln ( z ) ] 1 2 = = = ln ( 2 ) \displaystyle \ln(2) ln ( 2 )
2. Möglichkeit: Resubstitution Integralgrenzen beibehalten und nach der Integration z z z x 3 + 1 x^3+1 x 3 + 1
∫ 0 1 1 z d z \displaystyle \int_0^1\frac1z\mathrm{dz} ∫ 0 1 z 1 dz = = = [ ln ( x 3 + 1 ) ] 0 1 \displaystyle \left[\ln(x^3+1)\right]_0^1 [ ln ( x 3 + 1 ) ] 0 1 = = = ln ( 2 ) − ln ( 1 ) \displaystyle \ln(2)-\ln(1) ln ( 2 ) − ln ( 1 ) = = = ln ( 2 ) \displaystyle \ln(2) ln ( 2 )
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