Die Integration mit Substitution ist eine Integrationstechnik, die sich zunutze macht, dass nach der Kettenregel
gilt.
Voraussetzungen
Steht in einem Integral die Verknüpfung von zwei Funktionen (evtl. sogar multipliziert mit der Ableitung der inneren Funktion), kann Substitution zur Vereinfachung beitragen.
Logarithmisches Integrieren
Logarithmisches Integrieren ist ein Sonderfall der Substitution.
Man wendet diese Methode an, wenn ein Integral die Form hat.
Vorgehen
Beispiel
Form betrachten
Gegeben ist ein Integral der Form , wobei auch in Zusammenhang mit und stehen oder gleich 1 sein kann.
mit , ,
Substituieren eines Ausdrucks
Man ersetzt einen geeigneten Ausdruck, meistens die innere der verknüpften Funktionen, , durch eine neue Variable .
Hilfsschritt 1
Man leitet beide Seiten ab, die eine nach , die andere nach der neuen Variable .
Hilfsschritt 2
Die Gleichung wird nach aufgelöst.
(Achtung: Dieser Schritt ist formal nicht einwandfrei und dient nur als Stütze. dx ist keine Variable und ist kein Bruch!)
Einsetzen
Man setzt den Ausdruck aus Hilfsschritt 2 für ein.
Wenn sich alle rauskürzen, ist die Substitution erfolgsversprechend; andernfalls hilft es höchstens, die Gleichung aus dem ersten Schritt nach aufzulösen und einzusetzen.
Wenn sich alle rauskürzen, ist die Substitution erfolgsversprechend; andernfalls hilft es höchstens, die Gleichung aus dem ersten Schritt nach aufzulösen und einzusetzen.
Meistens deutet dies jedoch darauf hin, dass der Lösungsansatz nicht weiterhilft.
Es gibt nun zwei Möglichkeiten fortzufahren.
1. Möglichkeit: Integralgrenzen substituieren
Die Integralgrenzen 0 und 1 werden durch und ersetzt.
und bestimmen.
Ergebnis angeben.
2. Möglichkeit: Resubstitution
Integralgrenzen beibehalten und nach der Integration durch ersetzen (= resubstituieren).
Ergebnis bestimmen.