Integration durch Substitution

Die Integration mit Substitution ist eine Integrationstechnik, die sich zunutze macht, dass nach der Kettenregel

\displaystyle \int\limits_a^bf\left(g\left(x\right)\right)g'\left(x\right)\mathrm{dx}=\int\limits_{g\left(a\right)}^{g\left(b\right)}f\left(z\right)\mathrm{dz}

gilt.

Voraussetzungen

Steht in einem Integral die Verknüpfung von zwei Funktionen (evtl. sogar multipliziert mit der Ableitung der inneren Funktion), kann Substitution zur Vereinfachung beitragen.

Logarithmisches Integrieren

Logarithmisches Integrieren ist ein Sonderfall der Substitution.

Man wendet diese Methode an, wenn ein Integral die Form $\int\frac{f'\left(x\right)}{f\left(x\right)}\mathrm{dx}$ hat.

Vorgehen

Beispiel

Form betrachten

Gegeben ist ein Integral der Form $\int f\left(g\left(x\right)\right)\cdot h\left(x\right)\mathrm{dx}$ , wobei $h\left(x\right)$ auch in Zusammenhang mit $f$ und $g$ stehen oder gleich 1 sein kann.

\displaystyle \int\limits_a^bf\left(g\left(x\right)\right)g'\left(x\right)\mathrm{dx}=\int\limits_{g\left(a\right)}^{g\left(b\right)}f\left(z\right)\mathrm{dz}

mit $f\left(x\right)=\frac1x$ , $g\left(x\right)=x^3+1$ , $h\left(x\right)=g'\left(x\right)=3x^2$

Substituieren eines Ausdrucks

Man ersetzt einen geeigneten Ausdruck, meistens die innere der verknüpften Funktionen, $g\left(x\right)$ , durch eine neue Variable $z$ .

\displaystyle \int\limits_a^bf\left(g\left(x\right)\right)g'\left(x\right)\mathrm{dx}=\int\limits_{g\left(a\right)}^{g\left(b\right)}f\left(z\right)\mathrm{dz}

Hilfsschritt 1

Man leitet beide Seiten ab, die eine nach $x$ , die andere nach der neuen Variable $z$ .

\displaystyle \int\limits_a^bf\left(g\left(x\right)\right)g'\left(x\right)\mathrm{dx}=\int\limits_{g\left(a\right)}^{g\left(b\right)}f\left(z\right)\mathrm{dz}

Hilfsschritt 2

Die Gleichung wird nach $\mathrm{d}x$ aufgelöst.

\displaystyle \int\limits_a^bf\left(g\left(x\right)\right)g'\left(x\right)\mathrm{dx}=\int\limits_{g\left(a\right)}^{g\left(b\right)}f\left(z\right)\mathrm{dz}

(Achtung: Dieser Schritt ist formal nicht einwandfrei und dient nur als Stütze. dx ist keine Variable und $\frac{\mathrm{dz}}{g'\left(x\right)}$ ist kein Bruch!)

Einsetzen

Man setzt den Ausdruck aus Hilfsschritt 2 für $dx$ ein.

Wenn sich alle $x$ rauskürzen, ist die Substitution erfolgsversprechend; andernfalls hilft es höchstens, die Gleichung aus dem ersten Schritt nach $x$ aufzulösen und einzusetzen.

\displaystyle \int\limits_a^bf\left(g\left(x\right)\right)g'\left(x\right)\mathrm{dx}=\int\limits_{g\left(a\right)}^{g\left(b\right)}f\left(z\right)\mathrm{dz}

Wenn sich alle $x$ rauskürzen, ist die Substitution erfolgsversprechend; andernfalls hilft es höchstens, die Gleichung aus dem ersten Schritt nach $x$ aufzulösen und einzusetzen.

Meistens deutet dies jedoch darauf hin, dass der Lösungsansatz nicht weiterhilft.

\displaystyle \int\limits_a^bf\left(g\left(x\right)\right)g'\left(x\right)\mathrm{dx}=\int\limits_{g\left(a\right)}^{g\left(b\right)}f\left(z\right)\mathrm{dz}

Es gibt nun zwei Möglichkeiten fortzufahren.

1. Möglichkeit: Integralgrenzen substituieren

Die Integralgrenzen 0 und 1 werden durch $g\left(0\right)$ und $g\left(1\right)$ ersetzt.

\displaystyle \int\limits_a^bf\left(g\left(x\right)\right)g'\left(x\right)\mathrm{dx}=\int\limits_{g\left(a\right)}^{g\left(b\right)}f\left(z\right)\mathrm{dz}

$g(0)$ und $g(1)$ bestimmen.

\displaystyle \int\limits_a^bf\left(g\left(x\right)\right)g'\left(x\right)\mathrm{dx}=\int\limits_{g\left(a\right)}^{g\left(b\right)}f\left(z\right)\mathrm{dz}

Ergebnis angeben.

\displaystyle \int\limits_a^bf\left(g\left(x\right)\right)g'\left(x\right)\mathrm{dx}=\int\limits_{g\left(a\right)}^{g\left(b\right)}f\left(z\right)\mathrm{dz}

2. Möglichkeit: Resubstitution

Integralgrenzen beibehalten und nach der Integration $z$ durch $x^3+1$ ersetzen (= resubstituieren).

\displaystyle \int\limits_a^bf\left(g\left(x\right)\right)g'\left(x\right)\mathrm{dx}=\int\limits_{g\left(a\right)}^{g\left(b\right)}f\left(z\right)\mathrm{dz}

Ergebnis bestimmen.

\displaystyle \int\limits_a^bf\left(g\left(x\right)\right)g'\left(x\right)\mathrm{dx}=\int\limits_{g\left(a\right)}^{g\left(b\right)}f\left(z\right)\mathrm{dz}

Video zur Integration durch Substitution

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