Integration durch Substitution

Um verkettete Funktionen abzuleiten, nutzt du die Kettenregel.

Diese Regel lässt sich so anwenden, dass es eine Integrationstechnik ist:

\int_{a}^{b} f (g (x)) g^{'} (x) dx = \int_{g (a)}^{g (b)} f (z) dz

Voraussetzungen

Wenn in einem Integral die Verknüpfung von zwei Funktionen (also irgendeine Art $f (g (x))$ ) steht, kann eine Substitution das Integrieren vereinfachen.

Im Idealfall ist der Integrand sogar schon eine verkettete Funktion multipliziert mit der Ableitung der inneren Funktion, also $f (g (x)) \cdot g^{'} (x)$ .

BeachteSonderfall: Logarithmisches Integrieren

Logarithmisches Integrieren ist ein Sonderfall der Substitution.

Man wendet diese Methode an, wenn ein Integral die Form

\int_{}^{} \frac{f^{'} (x)}{f (x)} dx

hat. Dann ist $\int_{}^{} \frac{f^{'} (x)}{f (x)} dx = \ln | f (x) |$

Vorgehen

Form betrachten

Gegeben ist ein Integral der Form $\int f (g (x)) \cdot h (x) dx$ , wobei $h (x)$ auch in Zusammenhang mit $f$ und $g$ stehen oder gleich 1 sein kann.

Beispiel

\int_{0}^{1} \frac{3 x^{2}}{x^{3} + 1} dx

mit $f (x) = \frac{1}{x}$ , $g (x) = x^{3} + 1$ und $h (x) = g^{'} (x) = 3 x^{2}$

Substituieren eines Ausdrucks

Man ersetzt einen geeigneten Ausdruck durch eine neue Variable $z$ . Meistens nimmt man hier die innere der verknüpften Funktionen $g (x)$ ,

Beispiel

Setze $z = x^{3} + 1$ .

Da wir nun über unsere neue Variable $z$ integrieren wollen, müssen wir auch $dx$ in Abhängigkeit von $dz$ ausdrücken.

Hilfsschritt 1

Man leitet die Seite der Substitution, in der unsere neue Substitutionsvariable $z$ vorkommt, nach $z$ ab. Um zu signalisieren, dass dieser Teil der Gleichung $z$ charakterisiert, multipliziert man mit $dz$ .

Die andere Seite leitet man nach der ursprünglichen Variable $x$ ab. Hier multipliziert man mit $dx$ .

Beispiel

Leite bei $z = x^{3} + 1$ die linke Seite nach $z$ ab und die rechte Seite nach $x$ ab. Füge zudem $dz$ und $dx$ ein.

$\Rightarrow 1 dz = 3 x^{2} dx$

Hilfsschritt 2

Die Gleichung wird nun nach $d x$ aufgelöst.

Beispiel

Löse $1 dz = 3 x^{2} dx$ nach $dx$ auf.

$1 dz$	$=$	$3 x^{2} dx$	$: 3 x^{2}$
$\frac{dz}{3 x^{2}}$	$=$	$dx$

Vorsicht

Diese Hilfsschritte sind formal nicht ganz richtig und dienen nur als Stütze. $dx$ ist keine Variable und $\frac{dz}{g^{'} (x)}$ ist kein Bruch!

Einsetzen

Man setzt den Ausdruck aus Hilfsschritt $2$ für $d x$ ein.

Wenn sich alle $x$ rauskürzen, ist die Substitution erfolgversprechend; andernfalls hilft es höchstens, die Gleichung aus dem ersten Schritt nach $x$ aufzulösen und einzusetzen. Meistens deutet dies jedoch darauf hin, dass der Lösungsansatz nicht weiterhilft.

Beispiel

Ersetze $dx$ durch $\frac{dz}{3 x^{2}}$ .
	↓
$\int_{}^{} \frac{3 x^{2}}{x^{3} + 1} dx$	$=$	$\int \frac{3 x^{2}}{z} \cdot \frac{dz}{3 x^{2}}$
	↓	Kürze und schreibe um.
	$=$	$\int \frac{1}{z} dz$
	$=$	$\ln \| z \| + C$

Es gibt nun zwei Möglichkeiten, fortzufahren.

1. Möglichkeit: Integralgrenzen substituieren

Die Integralgrenzen $0$ und $1$ werden durch $g (0)$ und $g (1)$ ersetzt.

Beispiel

$\int_{g (0)}^{g (1)} \frac{1}{z} dz$	$=$	${[\ln (z)]}_{g (0)}^{g (1)}$
	↓	Bestimme $g (0)$ und $g (1)$ .
	$=$	$[\ln (z)]_{0^{3} + 1}^{1^{3} + 1}$
	$=$	$[\ln (z)]_{1}^{2}$
	$=$	$\ln (2)$

2. Möglichkeit: Resubstitution

Integralgrenzen beibehalten und nach der Integration $z$ durch $x^{3} + 1$ ersetzen (= resubstituieren).

Beispiel

$\int_{0}^{1} \frac{1}{z} dz$	$=$	${[\ln (x^{3} + 1)]}_{0}^{1}$
	$=$	$\ln (2) - \ln (1)$
	$=$	$\ln (2)$

Video zur Integration durch Substitution

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