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Integration durch Substitution

Um verkettete Funktionen abzuleiten, nutzt du die Kettenregel.

Diese Regel lässt sich so anwenden, dass es eine Integrationstechnik ist:

Voraussetzungen

Wenn in einem Integral die Verknüpfung von zwei Funktionen (also irgendeine Art f(g(x))f(g(x))) steht, kann eine Substitution das Integrieren vereinfachen.

Im Idealfall ist der Integrand sogar schon eine verkettete Funktion multipliziert mit der Ableitung der inneren Funktion, also f(g(x))g(x)f(g(x))\cdot g'(x).

BeachteSonderfall: Logarithmisches Integrieren

Logarithmisches Integrieren ist ein Sonderfall der Substitution.

Man wendet diese Methode an, wenn ein Integral die Form 

hat. Dann ist f(x)f(x)dx=lnf(x)\int_{ }^{ }\frac{f'\left(x\right)}{f\left(x\right)}\mathrm{dx}=\ln\left|f\left(x\right)\right|

Vorgehen

Form betrachten

Gegeben ist ein Integral der Form f(g(x))h(x)dx\int f\left(g\left(x\right)\right)\cdot h\left(x\right)\mathrm{dx}, wobei h(x)h\left(x\right) auch in Zusammenhang mit ffund gg stehen oder gleich 1 sein kann.

Beispiel

 mit f(x)=1xf\left(x\right)=\frac1x, g(x)=x3+1g\left(x\right)=x^3+1 und h(x)=g(x)=3x2h\left(x\right)=g'\left(x\right)=3x^2

Substituieren eines Ausdrucks

Man ersetzt einen geeigneten Ausdruck durch eine neue Variable zz. Meistens nimmt man hier die innere der verknüpften Funktionen g(x)g\left(x\right),

Beispiel

Setze z=x3+1z=x^3+1.

Hilfsschritt 1

Man leitet beide Seiten der Substitution ab, die eine nach xx, die andere nach der neuen Variable zz.

Beispiel

Leite von z=x3+1z=x^3+1 die linke Seite nach zz und die rechte nach xx ab.

 1 dz = 3x2dx\Rightarrow\ 1\ \mathrm{dz}\ =\ 3x^2\mathrm{dx}

Hilfsschritt 2

Die Gleichung wird nun nach dx\mathrm{d}x aufgelöst.

Beispiel

Löse 1 dz = 3x2dx1\ \mathrm{dz}\ =\ 3x^2\mathrm{dx} nach dx\mathrm{dx} auf.

1 dz\displaystyle 1\ \mathrm{dz}==3x2  dx\displaystyle 3x^2\;\mathrm{dx}:3x2\displaystyle :3x^2
dz3x2\displaystyle \frac{\mathrm{dz}}{3x^2}==dx\displaystyle \mathrm{dx}
Vorsicht

Dieser Schritt ist formal nicht ganz richtig und dient nur als Stütze. dx\mathrm{dx} ist keine Variable und dzg(x)\frac{\mathrm{dz}}{g'\left(x\right)} ist kein Bruch!

Einsetzen

Man setzt den Ausdruck aus Hilfsschritt 22 für dxdx ein.

Wenn sich alle xx rauskürzen, ist die Substitution erfolgversprechend; andernfalls hilft es höchstens, die Gleichung aus dem ersten Schritt nach xx aufzulösen und einzusetzen. Meistens deutet dies jedoch darauf hin, dass der Lösungsansatz nicht weiterhilft.

Beispiel

Ersetze dx\mathrm{dx} durch dz3x2\frac{\mathrm{dz}}{3x^2}.

3x2x3+1dx\displaystyle \int_{ }^{ }\frac{3x^2}{x^3+1}\mathrm{dx}==3x2zdz3x2\displaystyle \int\frac{3x^2}z\cdot\frac{\mathrm{dz}}{3x^2}

Kürze und schreibe um.

==1zdz\displaystyle \int\frac1z\mathrm{dz}
==lnz+C\displaystyle \ln|z|+C

Es gibt nun zwei Möglichkeiten, fortzufahren.

1. Möglichkeit: Integralgrenzen substituieren

Die Integralgrenzen 00 und 11 werden durch g(0)g\left(0\right) und g(1)g\left(1\right) ersetzt.

Beispiel
g(0)g(1)1zdz\displaystyle \int_{g\left(0\right)}^{g\left(1\right)}\frac1z\mathrm{dz}==[ln(z)]g(0)g(1)\displaystyle \left[\ln\left(z\right)\right]_{g(0)}^{g(1)}

Bestimme g(0)g(0) und g(1)g(1).

==[ln(z)]03+113+1\displaystyle \lbrack\ln(z)\rbrack_{0^3+1}^{1^3+1}
==[ln(z)]12\displaystyle \lbrack\ln(z)\rbrack_1^2
==ln(2)\displaystyle \ln(2)

2. Möglichkeit: Resubstitution

Integralgrenzen beibehalten und nach der Integration zz durch x3+1x^3+1  ersetzen (= resubstituieren).

Beispiel
011zdz\displaystyle \int_0^1\frac1z\mathrm{dz}==[ln(x3+1)]01\displaystyle \left[\ln(x^3+1)\right]_0^1
==ln(2)ln(1)\displaystyle \ln(2)-\ln(1)
==ln(2)\displaystyle \ln(2)

Video zur Integration durch Substitution

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