Integration durch Substitution

Um verkettete Funktionen abzuleiten, nutzt du die Kettenregel.

Diese Regel lässt sich so anwenden, dass es eine Integrationstechnik ist:

\displaystyle \int\limits_a^bf\left(g\left(x\right)\right)g'\left(x\right)\mathrm{dx}=\int\limits_{g\left(a\right)}^{g\left(b\right)}f\left(z\right)\mathrm{dz}

Voraussetzungen

Wenn in einem Integral die Verknüpfung von zwei Funktionen (also irgendeine Art $f (g (x))$ ) steht, kann eine Substitution das Integrieren vereinfachen.

Im Idealfall ist der Integrand sogar schon eine verkettete Funktion multipliziert mit der Ableitung der inneren Funktion, also $f(g(x))\cdot g'(x)$ .

BeachteSonderfall: Logarithmisches Integrieren

Logarithmisches Integrieren ist ein Sonderfall der Substitution.

Man wendet diese Methode an, wenn ein Integral die Form

\displaystyle \int_{ }^{ }\frac{f'\left(x\right)}{f\left(x\right)}\mathrm{dx}

hat. Dann ist $\int_{ }^{ }\frac{f'\left(x\right)}{f\left(x\right)}\mathrm{dx}=\ln\left|f\left(x\right)\right|$

Vorgehen

Form betrachten

Gegeben ist ein Integral der Form $\int f\left(g\left(x\right)\right)\cdot h\left(x\right)\mathrm{dx}$ , wobei $h\left(x\right)$ auch in Zusammenhang mit $f$ und $g$ stehen oder gleich 1 sein kann.

Beispiel

\displaystyle \int_0^1\frac{3x^2}{x^3+1}\mathrm{dx}

mit $f\left(x\right)=\frac1x$ , $g\left(x\right)=x^3+1$ und $h\left(x\right)=g'\left(x\right)=3x^2$

Substituieren eines Ausdrucks

Man ersetzt einen geeigneten Ausdruck durch eine neue Variable $z$ . Meistens nimmt man hier die innere der verknüpften Funktionen $g\left(x\right)$ ,

Beispiel

Setze $z = x^{3} + 1$ .

Da wir nun über unsere neue Variable $z$ integrieren wollen, müssen wir auch $\mathrm{dx}$ in Abhängigkeit von $\mathrm{dz}$ ausdrücken.

Hilfsschritt 1

Man leitet die Seite der Substitution, in der unsere neue Substitutionsvariable $z$ vorkommt, nach $z$ ab. Um zu signalisieren, dass dieser Teil der Gleichung $z$ charakterisiert, multipliziert man mit $\mathrm{dz}$ .

Die andere Seite leitet man nach der ursprünglichen Variable $x$ ab. Hier multipliziert man mit $\mathrm{dx}$ .

Beispiel

Leite bei $z = x^{3} + 1$ die linke Seite nach $z$ ab und die rechte Seite nach $x$ ab. Füge zudem $\mathrm{dz}$ und $\mathrm{dx}$ ein.

$\Rightarrow\ 1\ \mathrm{dz}\ =\ 3x^2\mathrm{dx}$

Hilfsschritt 2

Die Gleichung wird nun nach $\mathrm{d}x$ aufgelöst.

Beispiel

Löse $1\ \mathrm{dz}\ =\ 3x^2\mathrm{dx}$ nach $\mathrm{dx}$ auf.

$\displaystyle 1\ \mathrm{dz}$	$=$	$\displaystyle 3x^2\;\mathrm{dx}$	$\displaystyle :3x^2$
$\displaystyle \frac{\mathrm{dz}}{3x^2}$	$=$	$\displaystyle \mathrm{dx}$

Vorsicht

Diese Hilfsschritte sind formal nicht ganz richtig und dienen nur als Stütze. $\mathrm{dx}$ ist keine Variable und $\frac{\mathrm{dz}}{g'\left(x\right)}$ ist kein Bruch!

Einsetzen

Man setzt den Ausdruck aus Hilfsschritt $2$ für $d x$ ein.

Wenn sich alle $x$ rauskürzen, ist die Substitution erfolgversprechend; andernfalls hilft es höchstens, die Gleichung aus dem ersten Schritt nach $x$ aufzulösen und einzusetzen. Meistens deutet dies jedoch darauf hin, dass der Lösungsansatz nicht weiterhilft.

Beispiel

Ersetze $\mathrm{dx}$ durch $\frac{\mathrm{dz}}{3x^2}$ .
	↓
$\displaystyle \int_{ }^{ }\frac{3x^2}{x^3+1}\mathrm{dx}$	$=$	$\displaystyle \int\frac{3x^2}z\cdot\frac{\mathrm{dz}}{3x^2}$
	↓	Kürze und schreibe um.
	$=$	$\displaystyle \int\frac1z\mathrm{dz}$
	$=$	$\displaystyle \ln\|z\|+C$

Es gibt nun zwei Möglichkeiten, fortzufahren.

1. Möglichkeit: Integralgrenzen substituieren

Die Integralgrenzen $0$ und $1$ werden durch $g\left(0\right)$ und $g\left(1\right)$ ersetzt.

Beispiel

$\displaystyle \int_{g\left(0\right)}^{g\left(1\right)}\frac1z\mathrm{dz}$	$=$	$\displaystyle \left[\ln\left(z\right)\right]_{g(0)}^{g(1)}$
	↓	Bestimme $g (0)$ und $g (1)$ .
	$=$	$\displaystyle \lbrack\ln(z)\rbrack_{0^3+1}^{1^3+1}$
	$=$	$\displaystyle \lbrack\ln(z)\rbrack_1^2$
	$=$	$\displaystyle \ln(2)$

2. Möglichkeit: Resubstitution

Integralgrenzen beibehalten und nach der Integration $z$ durch $x^{3} + 1$ ersetzen (= resubstituieren).

Beispiel

$\displaystyle \int_0^1\frac1z\mathrm{dz}$	$=$	$\displaystyle \left[\ln(x^3+1)\right]_0^1$
	$=$	$\displaystyle \ln(2)-\ln(1)$
	$=$	$\displaystyle \ln(2)$

Video zur Integration durch Substitution

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