Um verkettete Funktionen abzuleiten, nutzt du die Kettenregel.
Diese Regel lässt sich so anwenden, dass es eine Integrationstechnik ist:
Voraussetzungen
Wenn in einem Integral die Verknüpfung von zwei Funktionen (also irgendeine Art ) steht, kann eine Substitution das Integrieren vereinfachen.
Im Idealfall ist der Integrand sogar schon eine verkettete Funktion multipliziert mit der Ableitung der inneren Funktion, also .
Vorgehen
Form betrachten
Gegeben ist ein Integral der Form , wobei auch in Zusammenhang mit und stehen oder gleich 1 sein kann.
Substituieren eines Ausdrucks
Man ersetzt einen geeigneten Ausdruck durch eine neue Variable . Meistens nimmt man hier die innere der verknüpften Funktionen ,
Da wir nun über unsere neue Variable integrieren wollen, müssen wir auch in Abhängigkeit von ausdrücken.
Hilfsschritt 1
Man leitet die Seite der Substitution, in der unsere neue Substitutionsvariable vorkommt, nach ab. Um zu signalisieren, dass dieser Teil der Gleichung charakterisiert, multipliziert man mit .
Die andere Seite leitet man nach der ursprünglichen Variable ab. Hier multipliziert man mit .
Einsetzen
Man setzt den Ausdruck aus Hilfsschritt für ein.
Wenn sich alle rauskürzen, ist die Substitution erfolgversprechend; andernfalls hilft es höchstens, die Gleichung aus dem ersten Schritt nach aufzulösen und einzusetzen. Meistens deutet dies jedoch darauf hin, dass der Lösungsansatz nicht weiterhilft.
Ersetze durch . | |||
↓ | |||
↓ | Kürze und schreibe um. | ||
Es gibt nun zwei Möglichkeiten, fortzufahren.
1. Möglichkeit: Integralgrenzen substituieren
Die Integralgrenzen und werden durch und ersetzt.
↓ | Bestimme und . | ||
2. Möglichkeit: Resubstitution
Integralgrenzen beibehalten und nach der Integration durch ersetzen (= resubstituieren).
Video zur Integration durch Substitution
Du hast noch nicht genug vom Thema?
Hier findest du noch weitere passende Inhalte zum Thema: