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Kettenregel

Die Kettenregel bildet eine Möglichkeit, die Ableitung der Verkettung zweier differenzierbarer Funktionen uu und vv auszurechnen:

Das Multiplizieren mit v(x)v'(x) heißt auch Nachdifferenzieren.

Um die Ableitung der Verkettung von uu und vv zu berechnen, setzt man also v(x)v\left(x\right) in die Ableitung uu' ein und differenziert nach.

Einfach gesagt: "Äußere Ableitung mal innere Ableitung":

Zerlegung der Funktion in innere und äußere Funktionen

Betrachten wir als Beispiel die verkettete Funktion ff mit f(x)=(x+1)2f\left(x\right)=\left(x+1\right)^2. Wir möchten sie mit der Kettenregel ableiten. Dazu muss ff zunächst in die beiden Teilfunktionen uu und vv zerlegt werden.

Grafik Verkettung von Funktionen

Diese Zerlegung veranschaulichen wir, indem wir uu als "a¨ußere Funktion\textcolor{cc0000}{\text{äußere Funktion}}" und vv als "innere Funktion\textcolor{0099cc}{\text{innere Funktion}}" betrachten. Im Beispiel ist die innere Funktion v(x)=x+1\textcolor{0099cc}{v\left(x\right)=x+1}. Die äußere Funktion ist die Quadratfunktion, also u(v)=v2\textcolor{cc0000}{u\left(v\right)=v^2}.

Setzen wir den inneren Funktionsterm von v(x)\textcolor{0099cc}{v\left(x\right)} in den äußeren Funktionsterm von u\textcolor{cc0000}{u} ein, erhalten wir die Verkettung der beiden Funktionen: f(x)=u(v(x))f(x)=\textcolor{cc0000}{u(}\textcolor{0099cc}{v\left(x\right)}\textcolor{cc0000}{)},

Das führt wie gewünscht zur Ausgangsfunktion  f(x)=(x+1)2f\left(x\right)=\textcolor{cc0000}{(}\textcolor{0099cc}{x+1}\textcolor{cc0000}{)^2}.

Vorsicht

Die umgekehrte Reihenfolge bei der Verkettung führt in der Regel zu einer völlig anderen Funktion.

v(u(x))u(v(x))v(u(x))\neq u(v(x))

Beispiel:

u(x)=x2u(x) = x^2 und v(x)=x+1v(x)=x+1

u(v(x))=(x+1)2u(v(x))=(x+1)^2

v(u(x))=x2+1v(u(x))=x^2+1

Mit der nachfolgenden Animation kannst du dir die (punktweise) Entstehung des Schaubildes einer verketteten Funktion aus den Schaubildern der inneren und äußeren Funktionen mit verschiedenen Beispielen veranschaulichen.

Video zur Kettenregel

Beispiele

Funktion f(x)=u(v(x))f(x)=\textcolor{cc0000}{u(}\textcolor{0099cc}{v(x)}\color{cc0000}{)}

äußere Funktion u(x)\color{cc0000}{u(x)}

innere Funktion v(x)\color{0099cc}{v(x)}

f(x)=(2x1)3f(x)=\textcolor{cc0000}{(}\color{0099cc}{2x-1}\textcolor{cc0000}{)^3}

u(x)=x3\color{cc0000}{u(x)=x^3}

v(x)=2x1\color{0099cc}{v(x)=2x-1}

f(x)=sin(x+π2)f\left(x\right)=\textcolor{cc0000}{\sin(}\color{0099cc}{x+\frac{\mathrm\pi}2}\textcolor{cc0000}{)}

u(x)=sin(x)\color{cc0000}{u\left(x\right)=\sin\left(x\right)}

v(x)=x+π2\color{0099cc}{v\left(x\right)=x+\frac{\mathrm\pi}2}

f(x)=ex2+1f\left(x\right)=\textcolor{cc0000}{e}^{\color{0099cc}{x^2+1}}

u(x)=ex\color{cc0000}{u\left(x\right)=e^x}

v(x)=x2+1\color{0099cc}{v\left(x\right)=x^2+1}

Anwendung der Kettenregel am Beispiel

Berechne die Ableitung der Funktion f(x)=sin(x4+2x2)f\left(x\right)=\sin(x^4+2x^2).

Zunächst zerlegt man ff in uu und vv mit f(x)=u(v(x))f(x) = \color{cc0000}{u(}\color{0099cc}{v(x)}\color{cc0000}{)}.

Dann berechnet man die Ableitungen von uu und vv

… und setzt v(x)v(x) in uu' ein.

Zuletzt muss man noch nachdifferenzieren und erhält insgesamt die Ableitung von ff.

Übungsaufgaben

Weitere Aufgaben zum Thema findest du im folgenden Aufgabenordner:
Aufgaben zur Kettenregel

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